Алгебраические критерии устойчивости
В соответствие с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (jw — li) находиться на мнимой оси. Рассмотрим характеристическое уравнение системы Если li, i=1,2,…nкорни этого уравнения, то. Аргумент вектора D (jw) равен сумме аргументов элементарных векторов: В котором все коэффициенты аi, i=1,2,…n, будут строго больше нуля. Это выражение и определяет принцип… Читать ещё >
Алгебраические критерии устойчивости (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Необходимое условие устойчивости. Характеристическое уравнение системы после определения его корней может быть представлено в виде.
Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы:
В котором все коэффициенты аi, i=1,2,…n, будут строго больше нуля.
Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше нуля.
Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования.
Частотные критерии устойчивости
Принцип аргумента. Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы Если li, i=1,2,…nкорни этого уравнения, то.
Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем ЅliЅ, проведенного из начала координат. Сделаем замену s=jw и получим:
В соответствие с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (jw — li) находиться на мнимой оси.
Аргумент вектора D (jw) равен сумме аргументов элементарных векторов:
Направление вращения вектора (jw — li) против часовой стрелки при изменении частоты от -Ґ до +Ґ принято считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n — m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от -Ґ до +Ґ каждый вектор (jw — li), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол +p, а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости — на уголp. Изменение аргумента вектора D (jw) при этом будет.
Это выражение и определяет принцип аргумента.
Изменение аргумента вектора D (jw) при изменении частоты от -Ґ до +Ґ равно разности между числом (n-m) корней уравнения D (s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на p.