Сети систем массового обслуживания

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА СЕТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

«Моделирование систем»

Управление в современном мире становится все более трудным делом, поскольку организационная структура общества усложняется. Исследованию подвергаются все более и более сложные системы, в которых изменение одной из характеристик может легко привести к изменениям во всей системе или создать потребность в изменениях в других частях системы. Соответственно, возникает необходимость в использовании все более сложных методов научных исследований.

Целью проекта является систематизация, закрепление и расширение знаний по построению моделей сетей массового обслуживания; исследование работы данной сети с помощью построения аналитической и вычислительной моделей, получение оценок всех важнейших характеристик сети, проверка адекватности модели.

1. Построение схемы сети

Построим схему сети в виде графа передач (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 — Граф передач

На рисунке 2.1 введены обозначения: И — источник; СМО1 — Регистратура; СМО2 — Врач; СМО3 — Лаборатория анализов

2. Расчет интенсивностей входных потоков для каждой СМО

Интенсивности потоков заявок в каждой СМО — среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени в установившемся режиме i.

Для расчета интенсивностей необходимо по графу передач построить матрицу вероятностей поступления заявок из одной СМО в другую. Такая матрица имеет название матрица переходов T.

Построим систему уравнений для расчета интенсивностей входных потоков:

Решаем систему, учитывая, что заявки/мин., получаем:

заявки/мин.

заявки/мин.

заявки/мин.

Для каждой СМО рассчитаем [1]:

3. Проверка стационарности сети

Сеть переходит в стационарный режим при условии: [1]

при S1 = 1;

при S2 = 7;

при S3 = 4.

Для того чтобы сеть была стационарна необходимо наличие в больнице: одного регистратора, семь врачей и четверо работников в лабораторию анализов.

4. Модель сети на языке моделирования GPSS

Язык GPSS позволяет очень легко строить модели, получать требуемые результаты и проводить их анализ. Модель может быть легко изменена, что позволяет быстро подбирать для СМО наилучшие характеристики и структуру.

В результате работы была построена модель сети следующего вида:

reg storage 1

vrach storage 7

analiz storage 4

perexod function rn1, D3

.4,vixod/.9,c_vrach/1,c_analiz

generate (exponential (1,0,5))

queue sis

c_reg queue q_reg

enter reg

depart q_reg

queue q2_reg

advance (exponential (1,0,3))

depart q2_reg

leave reg

c_vrach queue q_vrach

enter vrach

depart q_vrach

queue q2_vrach

advance (exponential (1,0,12))

depart q2_vrach

leave vrach

transfer, fn$perexod

c_analiz queue q_analiz

enter analiz

depart q_analiz

queue q2_analiz

advance (exponential (1,0,60))

depart q2_analiz

leave analiz

transfer, c_vrach

vixod depart sis

terminate

generate (364#24#60)

terminate 1

start 1

5. Расчет характеристик сети

Для вычисления характеристик сети рассчитаем коэффициенты загрузки каждой СМО

[1]:

;

;

.

Учитывая то что СМО1 — одноканальная с ожиданием, а СМО2 и СМО3 — многоканальные с ожиданием, рассчитаем необходимые характеристики сети.

5.1 Среднее количество заявок в очередях сети

Среднее количество заявок в очереди СМО1 будет равно:

Для расчета среднего количества человек в очередях сети СМО1 и СМО2 необходимо сначала рассчитать P0 — вероятность отсутствия заявок в сети:

Среднее количество заявок в очереди СМО2 и СМО3 будет равно:

Тогда среднее количество заявок в очередях сети будет равно:

.

5.2 Среднее время нахождения заявки в очередях сети

Зная, что для любой СМО среднее время пребывания заявки в очереди системы равно среднему числу заявок в этой очереди, деленному на интенсивность потока заявок, определим среднее время нахождения заявки в очередях каждой СМО:

Тогда среднее время нахождения заявки в очередях сети:

.

5.3 Среднее количество заявок в сети

Среднее количество заявок в СМО1:

;

Среднее количество заявок СМО2 и СМО3 при условии что :

;

Тогда среднее количество заявок в сети:

.

5.4 Среднее время нахождения заявки в сети

Зная, что для любой СМО среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок, определим среднее время нахождения заявки в каждой СМО:

;

;

Тогда среднее время нахождения заявки в сети:

.

6. Проверка адекватности модели

Для проверки адекватности модели необходимо сравнить расчетные и экспериментальные данные по любому статистическому критерию.

Проведем эксперимент из 10-ти опытов, результаты представим в виде таблицы 7.1, а так же рассчитаем средние значения и выборочные дисперсии для каждого из параметров, а результаты представим в виде таблицы 7.2

— среднее арифметическое значение параметра,

где n — количество опытов в эксперименте,

Xi — экспериментальное значение параметра,

— выборочная дисперсия параметра.

Таблица 6.1 — Экспериментальные данные

Выберем гипотезы для проверки адекватности:

H0: экспериментальные средние совпадают с теоретическими модель адекватна;

H1: расхождение велико модель неадекватна.

Проверим гипотезы по критерию Стьюдента:

Где — среднее арифметическое значение параметра,

n — количество опытов в эксперименте,

Mo — математическое ожидание параметра, рассчитанное теоретическим путем,

— выборочное среднеквадратическое отклонение, .

Сравним tнабл с табличным значением и сделаем вывод. Гипотеза H0 принимается в случае, когда, при выбранном уровне значимости.

Таблица 6.2 — Результаты проверки

Так как все tнабл < tтабл, можно сделать вывод что построенная наша модель адекватна.

Все расчеты по проверки адекватности представлены в приложении А.

7. Аналитические расчеты

Для того чтобы рассчитать вероятность нахождения в сети ровно 10 заявок, необходимо рассчитать сумму всех возможных произведений вероятностей, при которых n1+n2+n3 = 10.

Вероятности будем считать по следующим формулам:

Тогда вероятность одного набора будет равна:

Вероятность нахождения в сети ровно 10 заявок равна:

Заключение

В результате выполнения проекта были закреплены теоретические знания по системам массового обслуживания, была смоделирована сеть СМО больницы, а именно, построена схема сети, рассчитаны интенсивности входных потоков, основные характеристики сети. Экспериментальные данные были получены из построенной модели сети на языке моделирования GPSS. Путем сравнения расчетных и экспериментальных данных по критерию Стьюдента была доказана адекватность сети. Таким образом, на уровне значимости = 0,05 можно с полной уверенностью утверждать, что выводы, сделанные с помощью предложенной модели, применимы и к реальной модели.

Список использованных источников

1 Салмина Н. Ю. Моделирование систем: Учебное пособие. — Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2003. — 197 с.

2 Салмина Н. Ю. Язык моделирования GPSS: Учебное пособие к курсу «Моделирование систем». — Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2006. — 71 с.

Приложение А

Расчеты при проверке адекватности модели (MathCad)

Расчеты для проверки среднего количество заявок в сети:

Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в сети:

Расчеты для проверки среднего количества заявок находящихся в очереди в СМО1:

Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в очереди в СМО1:

Расчеты для проверки среднего количества заявок находящихся в очереди в СМО2:

Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в очереди в СМО2:

Расчеты для проверки среднего количества заявок находящихся в очереди в СМО3:

Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в очереди в СМО3: