Теория вероятностей
Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии) Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x (1), x (n)) на 5−6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической случайный выборка… Читать ещё >
Теория вероятностей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство высшего образования Российской Федерации Ижевский Государственный Университет Кафедра ВТ Курсовая работа Вариант Ж — 5
Выполнил: студент гр. 462
Проверил: Веркиенко Ю. В.
2006 г.
Цель работы Задание
1. Генерирование выборок
2. Поиск оценок для выборок
3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии
4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции
5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)
6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической
7. Проверка гипотезы о величине среднего (?), дисперсии (?2), о нормальном законе распределения (по ?2 и по Колмогорову)
8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках
9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии
10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза
11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам Выводы
Цель работы Выполнить все одиннадцать пунктов работы по заданию и сделать выводы.
Задание На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N (, 2) генерировать две выборки объема n
x1,xn (1)
y1,yn (2)
Для выборок (1), (2) найти оценки Ex, Sx, wx, wy.
Для (1) построить доверительные интервалы для математического ожидания (считая 2 известной и неизвестной) и дисперсии.
Для (1), (2) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.
Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии) Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x (1), x (n)) на 5−6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.
Проверить гипотезы: о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову).
Проверить гипотезу о независимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.
Для уравнения (модели) с заданными коэффициентами i составить систему условных уравнений, считая и найти по МНК оценки коэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона или с равномерным шагом на отрезке [-1, 1].
Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза в точках x=-1, 0, 1.
По доверительным интервалам оценить значимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, если доверительный интервал накрывает значение, равное нулю.
При выполнении курсовой работы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборок равна 1. Уровень значимости = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.
1. Генерирование выборок На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N (, 2) генерируем две выборки объема n = 17, где = 3 и 2 = 1
x1,xn (1)
y1,yn (2)
Вариационные ряды:
(1) (2)
2. Поиск оценок для выборок Для найденных выборок (1), (2) находим оценки Ex, Sx, wx, wy.
Выборочное среднее:
Квадрат средне — квадратичного отклонения:
Оценка центрального момента 3-го порядка:
Оценка центрального момента 4-го порядка:
Коэффициент эксцесса:
Коэффициент асимметрии:
Оценка корреляционного момента:
Оценка коэффициента корреляции:
Размах выборки:
3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии Для (1) строим доверительные интервалы для математического ожидания (считая 2 известной и неизвестной) и дисперсии.
Считаем 2 известной.
Считаем 2 неизвестной.
Таким образом, при различных вариантах мmin, мmax имеют почти одинаковые значения.
Подставляем табличные значения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что
4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции Для (1), (2) строим доверительный интервал для коэффициента корреляции.
U = 1,96
Так как, то пусть, отсюда z = 0,693
То есть |z|? 0,693.
Если z = -0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициента корреляции -0,6 < Rxy < 0,6.
5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии) Создание ступенчатой функции, при скачке высотой 1/n.
Построение эмпирических Fx (u), Fy (u) и теоретических интегральных функций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленным оценкам математического ожидания и с. к. о.
Пусть u = 0, 0.001…6, тогда
— - - - теоретическая функция распределения.
____ функция для нормального закона с оценками среднего и дисперсии.
6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической случайный выборка доверительный интервал Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х (1), х (n)) на несколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.
k*sigx — ширина интервалов разбиения, k — коэффициент шага разбиния. взято симметрично от среднего значения по 4 интервала
— - - - теоретическая функция плотности распределения.
____ эмпирическая кривая плотности распределения.
7. Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову) Проверка по критерию согласия Пирсона:
По данным выборки найдем теоретические частоты, затем, сравнивая их с наблюдаемыми частотами, рассмотрим статистику — случайная физическая величина, имеющая распределение с k степенями свободы. Если сумма, то выборочные данные согласуются с нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Определим с степенями свободы:
Как видно условие выполняется.
Проверка по критерию согласия Колмогорова:
Условие:
где, где максимальное значение разности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.
при для X, и при для Y.
— критическое значение квантиля распределения Колмогорова.
Так как условие — выполняется, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.
8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках Чтобы из выборки х получить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).
Проверим гипотезу о независимости :
Так как из нормального закона, то
Так как условие — выполняется, то выборки независимы.
Теперь нам необходимо проверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках
:
так как F<, то нет оснований, отвергать нулевую гипотезу.
9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.
Для уравнения модели
Генерируем выборку с шагом
h = 1/N, где N = 100
Пусть даны коэффициенты регрессии:
в0 = 0; в1 = 1; в2 = 1; в3 = 0; в4 = 0; в5 = 1;
Значения матрицы плана Сформируем элементы матрицы, А вида:
Формирование правых частей нормальной системы Где случайная величина, сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.
Информационная матрица
Решение относительно коэффициентов регрессии.
Для нахождения вида уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии данного уравнения.
Уравнение регрессии :
Графики уравнения регрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициенты регрессии:
— - - - уравнение регрессии
____ случайная выборка из нормального закона
10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза Доверительные интервалы будем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии .
В случае нормальных ошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:
где — остаточная сумма квадратов; - диагональный элемент ковариационной матрицы вида
так как слагаемых в уравнении регрессии шесть.
(1)
(2)
(3)
Строим интервал для коэф-та регрессии:
Доверительный интервал, где из таблицы находим.
k = 6;
Тогда для r = [1…6] будем брать соответствующий элемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1) (2) (3).
Нахождение доверительного интервала для (фактор):
;
Нахождение доверительного интервала для (фактор):
Нахождение доверительного интервала для (фактор):
Нахождение доверительного интервала для (фактор):
Нахождение доверительного интервала для (фактор):
Нахождение доверительного интервала для (фактор):
Доверительные интервалы для, не накрывают значение равное нулю, следовательно, факторы, являются значимыми, а факторы , — незначимыми.
11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам Исключив из уравнения регрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду:
Таким образом, из графика видно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график не изменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии
при .
А доверительный интервал найдём из следующего двойного неравенства:
Таким образом, доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:
Выводы Таким образом, в данной курсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальным законом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии и построены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оценены значимости факторов по доверительным интервалам.