Математическое моделирование пространственно-временного хаоса распределенных механических структур

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе описаны разработанные рабочие алгоритмы и созданный • V ' единыи программный комплекс для, решения целого класса задач для разных механических структур. Для достоверности результатов задачи решены различными методами. В программном комплексе реализована возможность учитывать разные типы нелинейностей (геометрическую, физическую, конструктивную), а также контактное взаимодействие структур с малыми зазорами. В случае многослойной структуры на каждом временном шаге строится итерационная процедура учета контактного давления. Создан программный комплекс анализа знаков показателей Ляпунова, основанный на алгоритме Бенеттина с использованием нейронных сетей. Для каждого класса задач построена своя математическая модель.

Также первая глава посвящена математическому моделированию сложных колебаний гибких оболочек, прямоугольных в плане с постоянной жесткостью и плотностью при действии знакопеременного внешнего давления.

Решен новый класс задач для оболочек отрицательной гауссовой кривизны, называемых гипарами (гиперболическими параболоидами). Выявлен новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гиперболического параболоида.

Вторая глава посвящена математическому моделированию нелинейных колебаний однослойных балок с разными типами нелинейности.

Исследовано влияние величины коэффициента диссипации среды на характер колебаний для балки с учетом геометрической нелинейности. Найдено критическое значение данного коэффициента. Установлено, что учет физической нелинейности приводит к новому модифицированному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза перехода колебаний от гармонических к хаотическим.

В третьей главе разработана методология вейлет-анализа сложных колебаний многослойных систем в виде балок и пластинок с малыми зазорами между ними, которые при действии нагрузки на верхний слой вступают во взаимодействие между собой. Разработанный алгоритм и программный 4 * ", ., ., ,, ,. і (комплекс, описанный в первой главе, позволяют’решать различные классы задач с возможностью контактного взаимодействия:

1) математическое моделирование контактного взаимодействия перекрестных и параллельных балок с малыми зазорами;

2) математическое моделирование контактного взаимодействия пластин с малым зазором;

3) математическое моделирование контактного взаимодействия пластины и балки с малым зазором;

4) математическое моделирование контактного взаимодействия пластины и двух параллельных балок с малым зазором.

Разработанный программный комплекс может быть применен для любого количества слоев в структуре. '.

Список использованной литературы включает 147 наименований.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

1. Разработан комплексный численно-аналитический метод моделирования для решения контактных задач, основанный на последовательном применении метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода Рунге-Кутты, отличающийся от известных возможностью учета геометрической, физической, конструктивной нелинейности и любого количества слоев в системе.

2. На основе развитых методов разработаны рабочие алгоритмы и программные комплексы для расчета сложных колебаний конструктивно нелинейных балок и пластинок, а также различных сочетаний этих элементов. Установлена достаточная сходимость разработанных методов (метода конечных разностей и метода Бубнова-Галеркина) в зависимости от исследуемых параметров для многослойного пакета пластин.

3. Для консольных балок Бернулли-Эйлера с учетом геометрической и физической нелинейности выявлено критическое значение коэффициента диссипации среды с помощью > вейвлет-анализа., Показано, чтотип нелинейности существенно влияет на сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

4. Впервые проведено изучение фазовой хаотической синхронизации для многослойных механических систем, состоящих из пластинки и одной или двух балок, при помощи вейвлет-анализа, а также исследование управления их колебаниями. Получены сценарии перехода колебаний указанных систем от гармонических к хаотическим в зависимости от параметров и типа внешнего воздействия, величины зазора, параметра диссипации среды.

5. Проведено исследование колебаний оболочек отрицательной гауссовой кривизны. Обнаружен новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для таких оболочек под знакопеременным внешним поперечным ¦ давлением. '',¦,.¦¦•'¦,.¦. .:. ¦¦ ./ ,¦,¦,.

• >.¦¦, ¦" I ' 1. , 1 * ' | ' 1 ¦¦

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также применением различных численных методов с взаимным контролем результатов (сравнение результатов, полученных принципиально разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина и методом Рунге-Кутты), методов математического и компьютерного моделирования, а также с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для контактного взаимодействия балочно-пластинчато-оболочечных структур. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания конструктивно нелинейных механических систем в зависимости от управляющих параметров и изучать их фазовую хаотическую синхронизацию, результаты диссертации использовались при выполнении,.

• • И ' ГЧ < И, 1 I * V, / * (, 1, I —. | > | I ч { ', А '* 1 > ^ ' Ич * I.

— гранта Президента РФ ^ для государственной {поддержки молодых российских ученых МК-3877.2009.8, 2009 год;

— гранта «Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ, 2009 год;

— ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 годы, проект 2012;1.4−12−000−1004−006, 2012 год;

— конкурса научных проектов, выполняемых молодыми учеными (Мой первый грант), РФФИ, на 2012;2013 годы проект 12−01−31 204, 2012 года также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ со студентами специальности «Прикладная математика и информатика» на кафедре «Математика и моделирование» СГТУ имени Гагарина Ю.А.

Получены 4 свидетельства о государственной регистрации > программы для ЭВМ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на:

1) XVII, XVIII и XIX международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2010 (грамота за лучший доклад), 2011, 2012);

2) XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва, 2010);

3) X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011);

4) 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology (Австрия, 2011);

5) 11th conference on «Dynamical Systems — Theory and Applications» (Lodz, Poland, 2011);

6) Международной, выставке молодежных работ в, области информационно-коммуникационных технологий, научно-исследовательских и инвестиционных проектов «Цифровой ветер -2012» (Саратов, 2012), (диплом II степени);

7) Международных научно-практических конференциях «Инженерные системы — 2010, 2011» (РУДН, Москва, 2010, 2011);

8) VII и VIII Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010,2011);

9) IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии» (ТПУ, Томск, 2011);

10) Молодежном научно-инновационном конкурсе «У.М.Н.И.К.» (Саратов, 2011);

11) XV Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 2011);

12) VIII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011).

Данная диссертационная работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете имени Гагарина Ю. А. на кафедре «Математика и моделирование».

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В. А. Крысько (Саратов, 2012) — на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В. Б. Байбурина (Саратов, 2012). 1! «ч Г ^ ' f. • «.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 печатных работах, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели обеспечивают анализ гармонических и хаотических колебательных режимов для балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом их контактного взаимодействия.

2. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейности.

3. Получены новые явления фазовой хаотической синхронизации колебаний в многослойных системах, состоящих из балок и пластинок. На базе вейвлет-анализа найдены диапазоны частот, на которых происходит фазовая синхронизация.

4. Найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гипара под знакопеременным распределенным внешним нагружением, согласно которому после серии зависимых частот и бифуркаций Хопфа система переходит в хаос с удвоением периода. Учет физической нелинейности существенно влияет на сценарий перехода колебаний балок от гармонических к хаотическим.

5. Программный комплекс анализа знаков показателей Ляпунова, основанный на алгоритме Бенеттина с использованием нейронных сетей.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю — Заслуженному деятелю науки и техники РФ, Почетному профессору Технического университета г. Лодзь, Соросовскому профессору, доктору технических наук, профессору Вадиму Анатольевичу Крысько за поставленные задачи, постоянное и пристальное внимание к работе и большую поддержку на протяжении всего времени исследования.

Используемые обозначения, а — длина структуры- 2к — высота структурыи^х,/1) — прогиб структурыи (х,() — перемещение срединной поверхности вдоль оси ОХ;

Р{х, у,1) — функция усилия;

Х (х,() — поперечный сдвиге — коэффициенты затухания для прогиба м?- д = - поперечная нагрузка;

Е — модуль Юнгаg — ускорение свободного паденияр — плотность материалау — объемный вес материала балкисо — частота вынуждающей силыд0 — амплитуда вынуждающей силы- - зазор между слоямикх, кукривизны оболочкифаза сигнала.