Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам

Актуальность работы.

Методы томографического, то есть послойного исследования структуры неоднородных объектов, благодаря успехам вычислительной математики и современному аппаратному оснащению, последние 50 лет развивались очень интенсивно. Наибольшее признание вычислительная томография завоевала в биологии и медицине. Особенно стремительным был рост популярности сначала рентгено-диагностической, а затем ЯМР-диагностической вычислительной томографии.

В то же время быстрый прогресс медицинской томографии сопровождался зарождением и развитием многих других приложений этого весьма универсального и информативного метода интроскопии. Методы вычислительной томографии стали все глубже проникать в технику физического эксперимента, геофизику, физику космоса и астрономию, биологию и аналитическую химию, внесли кардинальные перемены в дефектоскопию промышленных изделий. Таким образом, крупные достижения диагностической вычислительной томографии в 70-ые годы явились мощным стимулом для развития приложений в различных областях естествознания и техники [16].

Выделим основные черты и особенности томографических методов. Наиболее характерная черта таких исследований состоит в том, что способы измерений не разрушают объект. Так, в трансмиссионной томографии используется активное зондирующее излучение (физическое поле), взаимодействующее со средой и измеряемое после прохождения объекта. Измерения же в эмиссионной томографии осуществляются с использованием собственных источников излучения [5].

Второй особенностью неразрушающих методов является обоснованно предполагаемый способ взаимодействия поля со средой. Именно, информация о среде «накапливается» вдоль луча и регистрируется на выходев подавляющем большинстве моделей используется исключительно лучевое приближение. Заметим, что в качестве зондирующего излучения используются как электромагнитные поля с различным спектром, так и поля другой физической природы. Иными словами, наряду с рентгеновским излучением, электромагнитными полями в оптическом, инфракрасном и радиодиапазонах, используются ультразвуковые источники излучения, упругие волны в сплошной среде и др. [10].

Детектироваться могут как широкие, так и узкие (приближенно-монохроматические) участки спектров испускания, поглощения, рассеяния. Измеряются также фазовые искажения фронта волны (шлирен-, теневые и интерферометрические методы), сигналы свободной индукции (ЯМР-интроскопия), углы поворота плоскости поляризации (вычислительная томография, основанная на эффекте Фарадея) и т. п. С середины 80-ых годов широко используется эффект электрон-позитронной аннигиляции с применением схемы совпадений (однофотонная эмиссионная томография), а с середины 90-ых — эффект доплеровского смещения с целью реконструкции векторного поля [17].

Еще одной неотъемлемой чертой томографии является многократное проведение однотипных измерений. Этим достигается цель получения достаточного для приемлемого решения задачи объема данных. Недостаточность данных ведет к большому произволу в решении, а неточности в измерениях ведут к еще большей неопределенности. Здесь может помочь лишь априорная информация об объекте [4].

Математические модели томографии постоянно развиваются, появляются новые постановки, развиваются адекватные постановкам методы решения. Такова диффузионная томография, термотомография, томография векторных и тензорных полей. Математические модели (от простых до очень сложных) в томографии сочетают в себе глубокие идеи и развитый аппарат, разнообразие конструктивных методов и широкий класс используемых алгоритмов. Разнообразие математических постановок связаны, прежде всего, с потребностью реконструкции характеристик и свойств сред различной сложности. Прежде всего это вычислительная трансмиссионная и эмиссионная томография неоднородных сред с прямолинейным характером распространения лучей, томография рефрагирующих сред, в которых учитывается явление искривления лучей. Наконец, это томография векторных и тензорных полей, разработанная прежде всего с целью определения нескалярных характеристик неоднородных и анизотропных сред [3], [15].

Математические формулировки задач восстановления векторных и тензорных полей возникли сравнительно недавно (см., например, работу В. Г. Романова [19]). Дальнейшее их развитие привело к постановкам обратных задач с данными томографического типа, которые естественно рассматривать как приложения интегральной геометрии скалярных [18], векторных и тензорных полей на римановом многообразии [55]. Метод восстановления скалярных свойств объектов по томографическим данным общеизвестен и изучен в деталях, в то время как методы решения задач векторной и тензорной томографии развиты не в полной мере [31].

По-видимому, первой проблемой, поставленной как задача векторной томографии, была проблема восстановления распределения скоростей океанического течения по измерениям значений времен прохождения звука [45]. Значительно позднее была поставлена задача доплеровской томографии, в которой на основе измерений доплеровского смещения частоты ультразвука восстанавливается распределение скорости кровотока в кровеносных сосудах [39]. К постановкам векторной томографии приводят и задачи, связанные с восстановлением распределения напряжений вещества в металлах или электромагнитного поля в плазме [17].

Теория и практика векторной томографии изучались многими исследователями. Джонсон предложил восстанавливать скорость трехмерного потока по измерениям акустической трансмиссии [38]. Им был развит численный подход и установлено, что решение задачи неединственно. Нортон рассмотрел двумерную задачу, доказал двумерную проекционную теорему и показал, с использованием разложения Гельмгольца векторных полей, что потенциальная компонента не вносит вклад в измерения стандартного лучевого интеграла [47]. Этим объясняется неединственность решения. Нортон предложил отдельно восстанавливать потенциальную компоненту по граничным измерениям в предположении отсутствия источников и стоков внутри области. Браун и Хоук вновь рассмотрели двумерную задачу с применением разложения Гельмгольца, но предложили использовать другое зондирующее направление для восстановления потенциальной компоненты [27]. Их подход не требует отсутствия источников и стоков [48]. Принс обобщил результат Брауна и Хоука на случай трехмерного векторного поля и произвольного зондирующего направления [51]. Было показано, что потенциальная и соленоидальная компоненты произвольного трехмерного векторного поля могут быть восстановлены по измерениям, полученным с использованием одного или двух зондирующих направлений соответственно. В частности, для восстановления трехмерного потенциального векторного поля Принс использовал формулу обращения для преобразования Радона, действующего на образующий поле потенциал. Отметим обзор Т. Шустера [54], посвященный наиболее важным теоретическим и численным достижениям в области векторной томографии за последние два десятилетия.

Кратко упомянем основные математические средства, на которых основаны приближенные методы и алгоритмы томографии. Наиболее привлекательны, с математической точки зрения, формулы обращения. В работах [11], [25], [28] получены формулы обращения для коэффициентов поглощения из классов С°° и С2. Другие формулы обращения были получены в работах [49], [50], [46], [37], [26].

Широкое распространение получили также и алгебраические методы, в которых на первом этапе задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами. Ряд алгоритмов томографии основан на Фурье-анализе и так называемой теореме о центральном сечении, связывающей преобразования Фурье и Радона. Интересны алгоритмы, в которых учитывается априорная информация как о самом объекте, так и о форме «законов сохранения» (соотношения Асгейрссона, моменты и т. п.). Эти алгоритмы также носят итерационный характер. Наконец, применимы и хорошо известные вариационные подходы типа метода наименьших квадратов или, с привлечением функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов [5], [10].

Ранее метод наименьших квадратов (МНК) успешно использовался для решения двумерных задач эмиссионной [35], векторной [6] и 2-тензорной томографии [7]. В частности, в работах Е. Ю. Деревцова [6] и [7] МНК применялся для восстановления соленоидальной части векторного и 2-тензорного поля, соответственно, для случая прямолинейного характера распространения лучей. В этих трех работах в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов. В работе [8] было предложено для решения задачи двумерной эмиссионной томографии использовать двумерные В-сплайны в качестве аппроксимирующей последовательности. Численные эксперименты показали безусловное преимущество предложенного алгоритма. В дальнейшем подход с использованием МНК с базисными полями, построенными на основе двумерных Б-сплайнов, был развит на случай векторных [20], [36] и симметричных 2-тензорных полей [20], [21]. Однако у этого подхода есть и недостаток, а именно для численной реализации алгоритма необходимы большие временные затраты (по сравнению с другими подходами). Это связано с тем, что для хорошей точности восстановления необходимо с большой точностью вычислять образы базисных полей под действием лучевых преобразований.

Для обращения томографических операторов также часто используется метод разложения по сингулярным числам. Суть метода заключается в том, что оператор представляется в виде ряда по сингулярным числам и базисным элементам в пространстве образов, тогда обратный оператор будет представлять собой ряд со схожей структурой, где задействованы прообразы этих базисных элементов и те же сингулярные числа. В скалярном и векторном случаях задача решена ранее, построены разложения как оператора Радона [29], [43], [52], [44], [42], так и некоторых операторов лучевых преобразований векторных полей [34], [33]. В работе [40] построено сингулярное разложения оператора продольного лучевого преобразования веерного типа, действующего на соленоидальные тензорные поля.

В задачах томографии метод сингулярного разложения позволяет также сконструировать приближенное обращение, в котором используется априори вычисленное ядро реконструкции, см. [43], [53]. Кроме того, описанный метод существенно используется при анализе задач томографии, в которых имеется ограничения в данных [42], и очень полезен при прямом восстановлении, по преобразованию Радона, особенностей решения, см. [41].

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов численного решения задач по восстановлению двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиямразработка и исследование алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. А также численная реализация всех этих алгоритмов на ЭВМ.

Задачи исследования.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Модификация алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга т < 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных В-сплайнов. Получение аналитических выражений для вычисления образов тензорных полей малого ранга, построенных на основе двумерных В-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований.

2) Разработка алгоритмов для численного восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярных разложений операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.

3) Разработка алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанному на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

4) Создание программ для численной реализации на ЭВМ всех предложенных алгоритмов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Получены аналитические выражения для образов симметричных тензорных полей ранга т < 2, построенных на основе двумерных В-спл айнов, под действием лучевых преобразований. Эти формулы легли в основу модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей малого ранга, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных В-сплайнов.

2) Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Получены оценки для норм операторов приближенного обращения операторов лучевых преобразований.

3) Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля. Разработан алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного полей по их известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Получена оценка для нормы оператора приближенного обращения оператора нормального преобразования Радона.

Методы исследования.

Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов.

Практическая ценность работы.

В работе предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям, основанных на МНК с использованием базисов, построенных на основе двумерных В-сплайнов. Построены и численно реализованы алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Предложен и программно реализован алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Все эти алгоритмы могут быть применены для обработки экспериментальных данных в физической томографии, доплеровской томографии, томографии океана, при решении задач теории упругости, в теории электромагнетизма и в других областях.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга т < 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных^{-сплайнов.} Модификации заключаются в использовании полученных автором аналитических выражений для образов тензорных полей, построенных на основе двумерных .В-сплайнов, под действием лучевых преобразований. Эти формулы представляют также и самостоятельный интерес.

2) Разработан алгоритм восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.

3) Разработан алгоритм для численного решения задачи по восстановлению потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

Личный вклад автора.

Основные научные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в работу вошли только те результаты, в получении которых автор принял непосредственное творческое участие.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на.

• ХЬУ1 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008 г.), международной конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008 г.),.

• всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (Новосибирск, 2009 г.),.

• первой молодежной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009 г.),.

• ХЬУШ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2010 г.),.

• всероссийской конференции «Методы сплайн-функций», посвященной 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова (Новосибирск, 2011 г.),.

• третьей молодежной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2011 г.),.

• международной конференции «Моделирование — 2012» (Украина, Киев, 2012 г.),.

• шестой международной конференции «Inverse problems: modeling and simulation» (Турция, Анталия, 2012 г.),.

• всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования» (Новосибирск, 2012 г.),.

• четвертой международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2012 г.),.

• международной конференции «International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences» (Венгрия, Будапешт, 2012 г.), а также на семинаре отдела условно-корректных задач ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. Романов В. Г., Аниконов Д.С.), семинаре «Математика в приложениях» ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. Годунов С.К.), семинаре «Избранные вопросы математического анализа» ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. Демиденко Г. В.), семинаре ИВМиМГ СО РАН (рук. Кабанихин С.И.).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 17 работ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 56 наименований и четырех приложений. Содержание основного текста работы изложено на 148 страницах, содержит 25 иллюстраций, 13 таблиц. Содержание диссертации изложено в трех главах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1) Проведена модификация алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга т < 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных Б-сплайнов. Модификация состоит в замене блока численного интегрирования на полученные в работе аналитические выражения для вычисления образов тензорных полей малого ранга, построенных на основе двумерных Л-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований.

2) Проведенные численные эксперименты показали, что использование полученных формул позволяет на 2−3 порядка сократить время вычисления образов базисных элементов под действием лучевых преобразований, а также в несколько раз сократить полное время восстановления тензорного поля малого ранга без потери точности.

3) Разработаны алгоритмы для численного восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля. Получены оценки норм операторов приближенного обращения (операторов лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля).

4) Проведено тестирование предлагаемых алгоритмов восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. Исходя из поставленных экспериментов, можно сделать следующие выводы:

• При увеличении степени гладкости восстанавливаемого поля относительная погрешность восстановления уменьшается.

• Увеличение количества входных данных при восстановлении поля с разрывными компонентами дает небольшое улучшение точности восстановления.

• Внесение шума в исходные данные значительно влияет на точность восстановления симметричного 2-тензорного поля, особенно при восстановлении полей с разрывными компонентами. Внесение шума с нормальным распределением с параметрами (0, 1) в 1.5−2 раза увеличивает относительную погрешность восстановления по сравнению с внесением равномерного шума того же уровня.

5) Разработан алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерное векторное поле. Получена оценка нормы оператора приближенного обращения (оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерное векторное поле).

6) Проведено тестирование предлагаемого алгоритма восстановления трехмерно векторного поля, основанного на методе усеченного сингулярного разложения. Численные эксперименты позволили прийти к следующим выводам:

• При увеличении степени гладкости восстанавливаемого поля относительная погрешность восстановления уменьшается.

• Увеличение количества исходных данных в 2 раза по каждому из измерений позволяет улучшить точность восстановления потенциального трехмерного векторного поля. Именно, при восстановлении поля с разрывными компонентами относительная погрешность уменьшилась почти в 2 раза, при восстановлении поля с компонентами, имеющими вторые разрывные производные, — в 10 раз, а при восстановлении поля с бесконечно гладкими компонентами — в 1000 раз.

Внесение даже небольшого равномерного шума в исходные данные значительно влияет на точность восстановления потенциального векторного поля. При этом изображения реконструкций довольно хорошо передают характер поведения модельного векторного поля.

9. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн функций — М.: Наука, 1980. 352 с.

10. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.

11. Казанцев С. Г. Обобщенные А-аналитические функции в задачах томографии. // Доклады РАН, — 1997, — Том 356, — С. 449−451.

12. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,-М: Наука, 1965, — 436 с.

13. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.- М.: Наука, 1980. 286 с.

14. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии, — М.: Мир, 1990. 279с.

15. Пикалов В. В., Мельникова Т. С. Низкотемпературная плазма. Том 13. Томография плазмы, — Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995, — 229 с.

16. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент// Успехи физических наук, — 1983. Том 141. № 3 — С. 469−498.

17. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы.- Новосибирск: Наука, 1987. 230 с.

18. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики. // ДАН СССР- 1978, — Том 241, № 2, — С. 290−293.

19. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики, — М, Наука, 1984, — 264 с.

20. Светов И. Е. Алгоритмы восстановления тензорных полей с использованием локальных базисов и процедур послойного обращения: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук, — Новосибирск, 2010 — 16 с.

21. Светов И. Е., Полякова А. П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с использованием В-сплайнов // Сиб. Ж. Вычислительной матем, — 2010, — Т 13, № 2, — С. 183−199.

22. Сеге Г. Ортогональные многочлены.- М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962, — 500 с.

23. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 3, часть 2. М.: Государственное из-во технико-теоретической литературы, 1956. 674 с.

24. Треногин В. А. Функциональный анализ — М.: Наука, 1980 — 496 с.

25. Arbuzov Е. V., Bukhgeim A. L., Kazantsev S.G. Two-dimensional tomography problems and the theory of A-analytic functions // Siberian Adv. Math.- 1998, — Vol. 8, — P. 1−20.

26. Bal G. On the attenuated Radon transform with full and partial measurements // Inverse Problems — 2004 — № 20 — P. 399−419.

27. Braun H. h Hauck, A. Tomographic reconstruction of vector fields // IEEE Transactions on Processing-1991. Vol. 39, №. 2. P. 464−471.

28. Bukhgeim A. A., Kazantsev S.G. Inversion formula for the fan-beam attenuated Radon transform in a unit disk. Препринт № 99. Новосибирск: Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 2002. 34 с.

29. Davison М. Е. A singular value decomposition for the Radon transform in n-dimensional Euclidean space // Numer. Funct. Anal, and Optimiz.-1981, — Vol. 3. P. 321−340.

30. Deans S. The Radon Transform and Some of its Applications.- New York, Wiley, 1983, — 294 p.

31. Defrise M., Gullberg G.T. 3D Reconstruction of Tensor and Vector. // Technical Report LBNL-54 936, Lawrence Berkeley National Laboratory, 2005.

32. Derevtsov E. Yu. An approach to direct reconstruction of a solenoidal part in vector and tensor tomography problems// J. Inverse 111-Posed Problems-2005. Vol. 13, №. 3−6, — P. 213−246.

33. Derevtsov E.Yu., Efimov A.V., Louis A. K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography //J. Inverse Ill-Posed Problems.- 2011. Vol. 19, №. 4−5. P. 689−715.

34. Derevtsov E.Yu., Kazantsev S.G., and Schuster T. Polynomial bases for subspaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions // J. Inverse 111-Posed Problems.- 2007, — Vol. 15, №. 1. P. 1−38.

35. Derevtsov E. Yu., Kleshchev A. G., Sharafutdinov V. F. Numerical solution of the emission 2D-tomography problem for a medium with absorption and refraction // J. Inverse Ill-posed Problems.- 1999, — Vol. 7, №. 1- P. 83−103.

36. Derevtsov E.Yu., Svetov I.E., Volkov Yu. S. and Schuster T. Numerical P-spline solution of emission and vector 2D-tomography problems for media with absorbtion and refraction: Proceedings 2008 IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering SIBIRCON-08. Novosibirsk Scientific Center, Novosibirsk, Russia, July 21−25, 2008. P. 212−217.

37. Finch D. The attenuated X-ray transform: recent development. // Inside Out: Inverse Problems and Applications.- Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003.

38. Johnson S. A., Greenleaf J. F., Hansen C. R., Samayoa W. F., Tanaka M., Lent A., Christensen D. A. & Wolley R. L. Reconstruction three-dimentional fluid velocity vector fields from acoustic transmission measurements // Acoustical Holography.- 1977, — Vol.7. P. 307−326.

39. Juhlin P. Doppler tomography: Proc. l5th Annual Int. Conf. of the IEEE Engineering in Medicine and Biology SocietySan Diego, 1993 — P.212−213.

40. Kazantsev S. G., Bukhgeim A. A. Singular value decomposition for the 2D fan-beam Radon transform of tensor fields// J. Inv. Ill-Posed Problems-2004, — Vol. 12, №. 4, — P. 1−35.

41. Louis A. K. Feature Reconstruction in Inverse Problems// Inverse Problems.- 2011. Vol. 27, №. 6 65 010, 21 p.

42. Louis A. K. Incomplete Data Problems in X-Ray Computerized Tomography. I: Singular Value Decomposition of the Limited Angle Transform// Numer. Math.- 1986. Vol. 48, — P. 251−262.

43. Louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radon transform// SIAM J. Math. Anal.- 1984, — Vol. 15. P. 621−633.

44. Maass P. The X-ray transform: Singular value decomposition and resolution // Inverse problems.- 1987. Vol. 3, — P. 727−741.

45. Munk W., Wunsh C. Ocean acoustic tomography: a scheme for large-scale monitoring// Deep-Sea Res.- 1979, — 26A — P. 123−161.

46. Natterer F. Inversion of the attenuated Radon transform // Inverse Problems.- 2001. № 17, — P. 113−119.

47. Norton S.J. Tomographic reconstruction of 2-D vector fields: application to flow imaging //J. geophys.-1987 — P. 161−168.

48. Norton S.J. Unique tomographic reconstruction of vector fields using boundary data// IEEE Trans. Image Processing — 1992 — P. 406−412.

49. Novikov R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation. Preprint CNRS, UMR 6629. Universite de Nantes: Department of Mathematics, 2000.

50. Novikov R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation. // Ark. Math.-2002. № 40. P. 145−167.

51. Prince J. L. Tomographic reconstruction of 3-D vector fields using inner product probes // IEEE Trans. Image Processing — 1992 — Vol. 3, №. 2, — P. 216−219.

52. Quinto E. T. Singular value decomposition and inversion methods for the exterior Radon transform and a spherical transform //J. Math. Anal. Appl — 1985. Vol. 95. P. 437−448.

53. Schuster T. The Method of Approximate Inverse: Theory and Applications — Springer: Heidelberg, 2007. 198 pp.

54. Schuster T. 20 years of imaging in vector field tomography: a review. // In Mathematical Methods in Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Radiation Therapy (IMRT), Y. Censor, M. Jiang, A. K. Louis (Eds.), Series: Publications of the Scuola Normale Superiore, CRM Series — 2008. Vol. 7.-P. 389−424.

55. Sharafutdinov V. A. Integral Geometry of Tensor Fields. // Utrecht: VSP. 1994, 271 p.

56. Weyl H., The method of orthogonal projection in potential theory //Duke Math. J.- 1940. №. 7, — P. 411−444.