Методы математического моделирования при численно-аналитических решениях задач для уравнений волнового теплопереноса

При исследовании процессов переноса потенциала при высокоинтенсивном воздействии (при взаимодействии лазерного излучения с твёрдой поверхностью, входе гиперзвуковых летательных аппаратов в плотные слои атмосферы, сверхзвуковых контактных взаимодействиях и т. п.) гипотезы о пропорциональности плотности потока вектору градиента потенциала, построенные на феноменологических представлениях, приводят к бесконечной скорости распространения возмущений, что противоречит фундаментальным законам естествознания. К законам, построенным на данной теории относятся следующие: х, у,2,1) = -Х§ гайТ{х, у,2,{) — закон Фурье, Я — коэффициент теплопроводности, плотность теплового потока, Г-температура;

0,y, z, t') = -DgradC (.

7О,.у, г,0 = -К%гас1Н{х, у,2,Г) — закон Дарси, Ккоэффициент фильтрации, дпоток объёмного расхода или скорость фильтрации, Ядавление.

Все они имеют одинаковую форму, и в общем виде их можно записать так ?7 О, .у, г,/) = -AgradU{x, y, z, t) — обобщённый закон переноса, где, А — коэффициент переноса, дплотность потока, и — потенциал. Дифференциальное уравнение переноса, получаемое из данного обобщённого закона переноса в одномерном случае имеет вид ди д2и.

-= а——. д (дх2.

Достаточно продифференцировать фундаментальное решение данного нестационарного уравнения переноса х, 0 = -Д=ехр л/4 ла/.

Г ^ ч и устремить время к нулю, откуда будет видно, что скорость переноса потенциала в начальный момент времени рано бесконечности. Данный парадокс возникает из-за специфического рассмотрения твёрдой среды. Законы переноса получены из рассмотрения тела, как сплошной среды и, как следствие, предположения о диффузионном распространении потенциала. Однако, при рассмотрении среды на молекулярном уровне, её нельзя считать сплошной, так как между молекулами находится свободное пространство. Приближение сплошной среды, подразумевающее у неё отсутствие внутренней структуры, означает, что в интегральных законах сохранения для этой среды можно совершать предельный переход при стремлении объёма к нулю. Такой предельный переход позволяет получить уравнение сохранения энергии в дифференциальной форме. С физической точки зрения эта процедура некорректна, так как среда всегда состоит из отдельных элементов и имеет свою внутреннюю дискретную структуру [82].

Для устранения парадокса о бесконечной скорости распространения возмущений в рамках теории теплопроводности К. Каттанео в 1958 году из молекулярно-кинетических представлений, используя гипотезу о конечности продолжительности удара молекул и представления о длине свободного пробега молекул, получил новый закон теплопроводности, в котором да появилось дополнительное слагаемое г—, учитывающее дискретную дt молекулярную структуру среды и отвечающее за инерционность тепла [88].

В этом слагаемом т — время релаксации, время установления термодинамического равновесия между тепловым потоком и градиентом температуры. Очевидно, что обобщённый закон переноса записать в следующем виде т^~- + q = -AgradU. (1).

Это дополнительное слагаемое, с одной стороны, позволяет оставаться на уровне макроскопических параметров тела при описании процессов переноса потенциала и не опускаться до уровня молекулярной физики, а с другой стороны, оно учитывает дискретную структуру тела.

При решении дифференциального уравнения, полученного из этого закона, наблюдается разрыв первого рода потенциала, распространяющийся от источника. Таким образом, закон (1) описывает возникновение волн при высокоинтенсивном воздействии, который приводит к локальной неравновесности системы. Эффекты локальной неравновесности чаще всего наблюдаются при воздействии на тело короткими импульсами энергии, в ударных волнах, при низких температурах. В этих случаях время релаксации системы к локальному равновесию сравнимо со временем самого процесса [67].

Локальное равновесие справедливо для моментов времени, значительно превышающих время релаксации.

Таким образом, классические теории переноса справедливы, если скорость протекания процессов много меньше скорости распространения возмущений в рассматриваемой среде.

Математически тепловая волна представляет собой слабый или сильный разрыв температурного поля. Под сильным разрывом понимается разрыв функции первого рода, а под слабым — разрыв производной первого или второго порядка. Если не учитывать эти разрывы на основе феноменологии, то в окрестности начального момента времени возникают большие погрешности в распределении возмущений, которые потом распространяются по пространству во времени. Эти разрывы в линейной среде быстро затухают, а в нелинейной, при возрастающем краевом условии, остаются. Таким образом, математическое моделирование волнового переноса в твёрдых телах является актуальной проблемой.

Волновой перенос потенциала в твёрдых телах на данный момент представляют слабо изученную область. Прежде всего это вызвано отсутствием экспериментальной базы. Волны при высокоинтенсивном воздействии имеют очень малое время затухания, а аппаратуры, способной работать с необходимой чувствительностью в таких временах не существует.

В [63] показано, что волны образуются так же в телах, обладающих нелинейными физическими характеристиками, зависящими от потенциала. Такие волны можно описывать квазилинейными уравнениями переноса.

Работ, посвященных волновому переносу, мало. Все их можно разделить на 2 группы. Первая представляет собой исследование волнового переноса на основе гиперболического уравнения, а ко второй группе относятся те работы, в которых волновой перенос описывается квазилинейным уравнением. Большинство работ, относящихся к первой группе, хоть и затрагивают волновой перенос на основе закона с учётом времени релаксации, но сами тепловые волны не исследуют, а решают прикладные задачи [1, 4, 5, 36, 41, 68, 81].

В диссертации результаты исследования методов математического моделирования волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях применяются к теории теплопроводности при высокоинтенсивном нагреве.

В [81] показано, что при воздействии лазерного излучения возникающие тепловые волны влияют на прочностные характеристики тел. Расчёт температурных полей по закону Фурье может давать критические ошибки для теплового напряжения, что может привести к разрушению нагреваемого тела.

В работе [1] рассматривается нагрев пластины импульсным лазерным излучением. Используется гиперболическое уравнение теплопроводности. Показано, что в области малых частот (m>"1) излучения получаются зависимости, согласующиеся с теорией Фурье. В пределе больших частот (tg>"1) гиперболическое уравнение теплопроводности описывает процесс, при котором температурные возмущения распространяются с конечной скоростью. Что показывает существенную неравновесность процесса, в котором необходимо учитывать появление тепловых волн.

Среди авторов, занимающихся исследованиями тепловых волн на основе закона Максвелла-Каттанео можно выделить Бубнова В. А., Корнеева A.C., Рубину Л. И., Соболева С. Л., Шашкова А.Г.

В работах, посвященных данной тематике рассматривается в основном одномерная область без учёта граничных условий [14, 16- 18, 23].

В [49] показано, что при высокоинтенсивном теплообмене в результате воздействия на тело теплового потока температура в начальный момент времени, рассчитанная по закону Максвелла-Каттанео оказывается больше, чем температура, рассчитанная по закону Фурье, на несколько сотен градусов.

Наиболее полной представляется работа [82]. Но в данной работе, не смотря на всесторонние исследования не показаны сами тепловые волны и нет аналитических решений краевых задач.

Нет исследований в нелинейных средах на основе гиперболического уравнения переносаРаботы по исследованию волнового переноса в анизотропных пространствах отсутствуют.

Исследованию процессов волнового теплопереноса на основе квазилинейного уравнения теплопроводности посвящены работы Зельдовича Я. Б., Баренблатта Г. И., Калашникова A.C., Ладыженской O.A., Самарского A.A. В работах Зельдовича было установлено, что скорость распространения тепла для процессов нелинейной теплопроводности является конечной, в отличие от задач, описываемых линейным уравнением теплопроводности и допускается существование разрывов производных на фронте тепловой волны.

В [8] предложен новый метод решения подобных задач.

В [28, 40, 45, 46, 80] разобраны общие вопросы существования и дифференцируемости решений, асимптотика, оценки.

Очень подробно, с большим количеством примеров волновой теплоперенос описан в [61, 63]. В [62] предлагаются численные методы для расчёта тепловых волн.

В данном направлении очень мало аналитических результатов в двумерных областях. А для двумерных областей с учётом, анизотропии результаты отсутствуют, как и методы аналитических решений.

В диссертационной работе, предложен новый метод математического моделирования волнового переноса на основе разложения закона переноса в ряд по малому параметру в изотропных и анизотропных средах, получены численные и аналитические решения задач волнового переноса, в том числе в нелинейных анизотропных средах, исследуются новые явления, в частности условия возникновения и распространение тепловых ударных волн. В соответствии с этим, целью диссертационной работы является разработка новых методов моделирования волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях. В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Исследование волнового переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях на основе гиперболического уравнения при различных краевых режимах в изотропных и анизотропных средах.

2. Разработка нового метода математического моделирования волнового переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях, с помощью которого можно использовать модели не на основе гиперболических уравнений, а на основе параболических.

3. Разработан метод решения квазилинейных уравнений со смешанными производными, состоящий введения из цепочки автомодельных переменных.

4. Модифицирован существующий численный метод для моделирования волнового теплопереноса в анизотропном пространстве.

5. Исследование новых физико-математических явлений, возникающих при математическом моделировании волнового теплопереноса.

Первая глава посвящена анализу существующих методов, математического моделирования волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях и описанию нового метода математического моделирования.

В параграфе 1.1 описывается существующий метод математического моделирования волнового переноса потенциала на основе явления релаксации в твёрдых телах. Приводится закон, выводится дифференциальное уравнение на основе этого закона. Для этого уравнения ставятся начально-краевые задачи.

В параграфе 1.2 описывается новый метод математического моделирования волнового переноса на основе разложения в ряд по малому параметру. Для полученного^{уравнения,} ставятся' начально-краевые задачи.

В параграфе 1.3 описанные выше методы моделирования рассматриваются на примере теплопереноса. Исследуются, решения> первой" второй и третьей' краевых задач уравнения волнового теплопереноса в одномерном случае. Показаны значительные погрешности по сравнению с решением, полученным моделирования с помощью классического уравнения теплопроводности. Рассматривается процесс распространения тепла в двумерном пространстве, описываемый двумерным волновым уравнениям теплопроводности. При моделировании волнового теплопереноса на основе предложенного метода описывается новый разработанный численный метод. Производится сравнение методов моделирования.

Вторая глава посвящена исследованию волнового переноса в средах с нелинейными ¦ физическими характеристикам^ переноса, имеющих степенную зависимость коэффициента переноса потенциала.

В параграфе 2.1 приводится теорема об эквивалентности гиперболического и квазилинейного параболического дифференциальных операторов в смысле волнового переноса.

В параграфе 2.2 с использованием цепочки автомодельных преобразований получено и проанализировано решение задачи Коши, где начальное условие имеет вид мгновенного источника возмущения. Показано, что перенос потенциала имеет волновой характер с различной скоростью распространения волн в разных направлениях, что наряду с сильными разрывами могут быть и слабые. Решена аналогичная краевая задача.

Показано распространение волн, форма волны, определены условия, накладываемые на уравнение, при которых существует решение типа бегущей волны. Определены скорости распространения волны в разных направлениях.

В параграфе 2.3 доказана теорема о необходимом и достаточном условии существования решения типа бегущей волны в нелинейном анизотропном полупространстве.

В параграфе 2.4 при моделировании волнового переноса на основе квазилинейного гиперболического уравнения исследуется возникновение тепловой ударной волны от импульсного источника при первом и втором краевом условии. Получены условия формирования и движения ударной тепловой волны. Проведено сравнение полученного решения с решением классического квазилинейного уравнения теплопроводности.

Глава 3 посвящена численному моделированию теплопереноса на основе уравнения волнового теплопереноса в анизотропной среде.

В параграфе 3.1 численно решается первая краевая задача для уравнения волнового теплопереноса. Описана конечно-разностная схема, исследована её устойчивость и аппроксимация.

В параграфе 3.2 численно решается вторая краевая задача для уравнения волнового теплопереноса. Описывается модификация конечноразностной схемы с помощью интегро-интреполяционного метода A.A. Самарского.

Исследовано влияние угла главных осей тензора теплопроводности, его компонентов и времени релаксации на процесс распространения тепла.

В главе 4 описан программный комплекс, созданный для решения задач теплопроводности на основе методов математического моделирования, описанных в диссертации, в котором реализованы рассмотренные численные методы.

1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ПРИ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.

Классическая теория переноса — на основе градиентных законов — справедлива, если характерная скорость данного процесса много меньше скорости распространения возмущений в среде. При высокоинтенсивных процессах, классическая теория процессов переноса становится несправедлива и следует пользоваться локально-неравновесными методами описания таких систем [67]. В теории теплопроводности закон, представляющий взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры, предложенный сначала П. Верноттом, потом Каттанео и A.B. Лыковым, относится к одному из таких методов. Данный закон в общей форме является общим законом волнового переноса потенциала, которым необходимо пользоваться при< высокоинтенсивных воздействиях. Высокоинтенсивное воздействие подразумевает сообщение телу большого возмущения потенциала за промежуток времени t 0. При таком воздействии, поле потенциала, рассчитанное по параболическому уравнению переноса, в первые моменты времени не является достоверным. Кроме того, модель Вернотта-Лыкова учитывает конечную скорость распространения тепла [7], соответственно скорость получается конечной и при переноса любого потенциала, перенос которого построен на аналогичном законе.

В главе рассматривается существующий метод математического моделирования волнового переноса и предлагается новый метод. Выводятся соответствующие уравнения-, ставятся начально-краевые задачи. Проводится сравнение решений, полученных разными методами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

На основе проведённых исследований в диссертационной работе получены следующие научные результаты:

1. Разработан новый метод построения математических моделей, описывающих процессы при высокоинтенсивных воздействиях, на основе представления законов переноса возмущений в виде рядов по малому параметру.

2. Предложен метод математического моделирования явлений переноса потенциала в нелинейных анизотропных средах, на основе которого впервые получены аналитические решения, показавшие волновой характер переноса возмущений.

3. Доказана теорема об эквивалентности волнового переноса потенциала на основе уравнения гиперболического типа и квазилинейного уравнения параболического типа. Это позволило исследовать волновой теплоперенос в нелинейных пространствах.

4. Модифицирован и впервые применён для решения задач волнового переноса возмущений потенциала при высокоинтенсивных воздействиях в анизотропных средах экономичный абсолютно устойчивый численный метод переменных направлений с экстраполяцией. Модификация позволила увеличить до второго порядка аппроксимацию краевых условий, содержащих производные.

5. Разработан программный комплекс, позволяющий решать задачи теплопереноса при высокоинтенсивном нагреве с учётом волнового теплопереноса.