Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге

Важнейшей областью в современном комплексном анализе является теория граничных (краевых) задач для аналитических функций и различных их обобщений.

В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного, благодаря фундаментальным работам A.B. Бицадзе [6]—[9], Б. В. Боярского [11], И. Н. Векуа [12], [13], Н. П. Векуа [14], Ф. Д. Гахова [20], Э. И. Зверовича [28], P.C. Исаханова [29], [30], Г. С. Литвинчука [38]-[40], С. Г. Михлина [42], Н. И. Мусхелишвили [44], [45], Б. В. Хведелидзе [84], Л. И. Чибриковой [87] и многих других известных математиков, приняла уже, в основном, завершенный вид.

Кроме того, в последнее время в России и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) наблюдается устойчивый интерес к различного рода граничным задачам в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного (полианалитических, метааналитических, F — моногенных и др.) [67], [76], [92]. Это связано с тем, что к решению задач такого вида сводятся многие проблемы плоской теории упругости [44], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [13] и многих других разделов математической физики [2], [21], [31] - [33], [35], [42], [50], [57], [77].

Данная диссертация посвящена исследованию краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций.

Определение 0.1. Функция F (z) = U (x, y) +iV (x, y) называется метааналитической в области Т (см., например, [57], с. 139), если она имеет в Т непрерывные частные производные (по х и у) до второго порядка включительно и удовлетворяет там уравнению d2F (z) dF (z) л. /ПП ах-+ a0F (z) = 0 > (U.1) dz2 ' dz д 1 где —^ = dz 2 д .0 ^ I.

— дифференциальный оператор Коши-Римана, а дх ду а0, а1 — некоторые комплексные постоянные.

В частности, если ах = О и а0 — 0, то метааналитическая в области Т функция F (z) становится бианалитической в Т.

Следуя классификации, приведенной, например, в монографии K.M. Расулова [57], отметим, что основные линейные краевые задачи в теории метааналитических и бианалитических функций можно разделить на две большие группы: краевые задачи типа Гильберта, состоящие в отыскании бианалитической (или метааналитической) в области Т+ (или Т~) функции F (z), граничные значения которой F (t) удовлетворяют условиям.

Re{hk{t)DkF{t)} = qk{t), k< 2, кеЦ (I) где Dk — линейные дифференциальные операторы порядков mk <4, a hk (t),.

Як (0 ~ заданные на L функции.

2) краевые задачи типа Римана, состоящие в отыскании двух функций: F+(z) — бианалитической (или метааналитической) в области Г+, и F~(z) — бианалитической (или метааналитической) в области Т~, включая z = оо, граничные значения которых F+(t) и F~(t) удовлетворяют условиям.

D+kF+(t) = Gk (t)D-kF-(t) + gk (t), k< 2, кеЩ (II) где Dl, Dl — определенные линейные дифференциальные операторы порядков mk<4,a Gk (/), gk (/) — заданные на L функции.

Исследованию подобных многоэлементных краевых задач для метааналитических функций посвящены работы В. А. Габриновича [15]-[17], В. В. Показеева [46]-[48], K.M. Расулова [51] - [58], В. Damjanovic [90], [91], C.R. Shoe [93] и др. Особенностью работ всех вышеперечисленных авторов является то, что в них рассматриваются классические краевые задачи со сдвигом или без него в классах бианалитических и метааналитических функций, то есть, когда в (I) или (II) параметр к принимает ровно два различных значения (Л: = 1,2). В то же время многие прикладные проблемы приводятся к так называемым иеклассическим краевым задачам (см., например, [8], [26], [69]), когда в (I) или (II) параметр к принимает лишь одно значение. В связи с этим стала актуальной проблема разработки методов решения неклассических краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций комплексного переменного (см. [60], с. 94, [61], с. 63).

Пусть Т+ — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = х + 1у, ограниченная простым гладким замкнутым контуром Ь, уравнение которого имеет вид: t = *(.у) + (у (лО, 0 < .у < /, где 5 — натуральный параметр. Для определенности будем считать, что начало координат принадлежит Т+. Через Т~ будем обозначать дополнение Т+ и Ь до полной комплексной плоскости.

ЗАДАЧА N.

Требуется найти все метааналитические функции класса удовлетворяющие на Ь следующему краевому условию: дпл G (t)-F (t) = g (t), teL, (0.2) где—производная по внутренней нормали к Ь, (7(0, g (t) -заданные дп+ на Ь функции класса Н{Ь). ЗАДАЧА Я.

Требуется найти все метааналитические функцииР+(гг) класса М2(Т+)П Я (1)(£), удовлетворяющие на Ь следующему краевому условию:

AF+(t) + G (t)F+(t) = g (t), (0.3) д 2 где G (t), g (t) — заданные на L функции класса H (L), д = dzdz.

Определение класса M2(T+)f)Hm (L) см. на с. 25. оператор Лапласа.

Отметим, что к задаче (0.2), в частности, сводится классическая задача Неймана в классе метааналитических функций, состоящая в нахождении метааналитических в области Т+ функций удовлетворяющих на Ь краевым условиям: где go (t), gl (t) — заданные на Ь функции класса Н (Ь). Поэтому при <7(/) ^ 0, € Ь задачу (0.2) будем называть видоизмененной задачей типа Неймана для метааналитических функций.

Также важно отметить, что к задаче (0.3), в частности, сводится так называемая задача Рикье для метааналитических функций, состоящая в отыскании метааналитических в Т+ функций удовлетворяющих на.

Ь краевым условиям (см., например, [12] или [59]): где g0(t), Я](0 — заданные на Ь функции класса Н (Ь). Поэтому сформулированную выше задачу (0.3) в дальнейшем будем называть видоизмененной задачей типа Рикье для метааналитических функций.

Поскольку задачи N и Я до сих пор оставались не исследованными в классе метааналитических функций, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является разработка общих методов решения видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций в круге Т+ = {г:г < 1}, построение теории их разрешимости и установление нетеровости, а также выявление частных случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Р+{1) = 8 0(0,.

0.4).

0.5).

Перейдем теперь к краткому изложению полученных результатов.

Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из двух разделов. В первом разделе вводятся основные и наиболее часто используемые понятия и обозначения. Главным среди них является определение метааналитической функции.

Второй раздел посвящен обзору литературы по теме диссертации.

Вторая глава «Видоизмененные краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге» посвящена исследованию задач N и R при условии, что контур L — единичная окружность с центром в начале координат и G (t) Ф 0, t е L (нормальный случай). Глава состоит из четырех разделов.

В разделе 2.1 дается точная постановка задачи N и излагается суть метода ее исследования. Кроме того, здесь показано, что если G (t) = 0, то задача N не является нетеровой.

Раздел 2.2 посвящен подробному исследованию задачи N в случае, когда L = {t:t^] и G (t) Ф 0, teL.

При этом, в зависимости от того, какие корни имеет характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) (один (двукратный) или два различных корня), рассматриваются два случая:

Случай 1. Характеристическое уравнение имеет один (двукратный) корень Л0, тогда искомая метааналитическая в области Т+ функция F+(z) может быть представлена так: kO) + ^ <Р (г)] - exp{V}, (0.7) где.

Тогда, учитывая (0.7), соотношение, а также то, что на единичной окружности Ь = {: = 1} выполняются тождества /' = /•/, / = -, краевое условие (0.2) можно переписать в X следующем виде:

Ф+(0 = а1(0-Ф" (0+я,(0, (0.9) где Сх (/), gx{t) — функции, определенным образом выражающиеся через заданные С (/)> #(0, удовлетворяют на контуре Ь условию Гельдера, а ф (г) = {ф+(г), Ф~(^)} - кусочно-аналитическая функция с линией скачков Ь, связанная с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции соотношениями вида: г геТ+, (0.10) Л0 • г — <�р!Цг) + (г + 1 г тп 2 ф-{2) = — <р- - +<р- -. гбГ, (0.11).

Таким образом, установлено, что исходная задача N в рассматриваемом случае сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.9) относительно кусочно-аналитической функции Ф (я) = |ф+(г), Ф~(г)}.

Пусть Х\ - ^ (¿-¡-(О — индекс задачи (0.9), тогда (см., например, [20], с. 113): если Х\ -0, то задача (0.9) безусловно разрешима, и ее общее решение линейно зависит от Х +1 произвольных комплексных постоянныхесли же <0, то задача (0.9) имеет единственное решение при выполнении следующих — Х ~ 1 условий разрешимости:

М77ТгА" 1?/г = 0> к =, 2,.,-Хпи (0.12).

IX (г) где Х+(г) — каноническая функция задачи (0.9).

Далее по найденным функциям Ф+(^) и Ф~(г) (на основании (0.10) и.

0.11)) получаем аналитические компоненты c>q (z) и (Pi (z) искомой метааналитической функции: cp+0(z) = ^jW0+(z), 2 z pl (z) = -^-Wl+(z), 2z zeT+, (0.13) где.

0?(z) = гф-fij + Of (z), Wxz) = 2ф-{Л — Of (z),.

Ф^) = (Л0−2г)-Ф d + — г2Ф~ f1)! d z U J.

0.14).

Ф+(*).

Из (0.13) и (0.14) видно, что для того, чтобы функции (рЦг) и были аналитическими в круге Т+ (то есть для разрешимости задачи IV), функция Ж0+(г) должна иметь в точке г = 0 нуль не ниже второго порядка, а функция — нуль не ниже первого порядка. Очевидно, что последние условия (с учетом)^+(0) = -Ж0+(0)) можно записать в виде: dh fV+.

Ц0)==0, h = 0,1. a z.

0.15).

Кроме того, чтобы полученные таким методом решения принадлежали классу достаточно потребовать, чтобы С{{), g (t)eH^2L).

Таким образом, при выполнении условий (0.12) и (0.15) получаем решение исходной задачи ТУ в рассматриваемом случае:

F+(z) =.

1 -W-{z) + z-~Wxz) exp{^z},.

0.16).

2zz «^ ' 2z где Wq (z), Wx (z) определяются по формулам (0.14).

Исходя из вышесказанного, получаем следующий результат.

Теорема 2.1. Пусть Т ={z:|z|< 0, то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно выполнение условий (0.12) и (0.15), причем в этом случае задача N будет иметь единственное решение.

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет два различных корня тогда искомая метааналитическая в области Т+ функция может быть представлена в виде:

F+ (г) = (р1 (г) ехр {Я, г) + (г) ехр {Л2 г}, (0.17) где <�р^(г),(р^(г) — аналитические в Т+ функции.

В этом случае, учитывая (0.17) и (0.8), введя в рассмотрение функции краевое условие (0.2) можно переписать в виде.

N>i, k=o, i, (o.i8).

М"+Mffi+ке v 9i (0+(0= dt dt t / ^ W (0.19) G (O^Vo (0 + <7(0⁴(0 — 8(0, teL.

Переходя к сопряженным значениям, из (0.19) с учетом t = получаем.

Vo+(0 + G (t)e^cpt (t) = -te* dt (0.20) dt.

Далее, складывая и вычитая равенства (0.19) и (0.20), будем иметь.

Mil + аШ^й + аМШ) + Г (0 = + dt dt dt (021) «21 (0+ «Го (Ofli (0 + «Jo (0.

Г< d (Po (0 где Ъ+2Х (О^й+ьио<�р+0 (О+(О= т ш + + (0.22) + ¿-Го +М'УЛЧО + м2 (о, I е ь,.

21 (0=V «Го (0 = + «20(0 = +М,(0=• (¡-ко.

0.23).

Го (0=- ^(оИ'Ч (0=" ,.

Суть предлагаемого здесь метода решения задачи ТУ в рассматриваемом случае состоит в следующем. Обозначим ш Ш тогда (0.21) перепишем в виде: а (0, tеI. (0.25) т.

Далее, временно считая ^ (/) известной функцией, решаем обобщенную скалярную задачу Римана (0.25), например, методом интегральных уравнений (см., например, [57], гл. 2).

Затем, подставляя в (0.22) вместо (0, (0″^, ^ граничные ск ск значения найденных аналитических функций (г), ^ (г) и их производных, получаем следующее краевое условие относительно кусочноаналитической функции (px{z) — (z), q (z)}:

1 z (0.26).

CO, где функции /?10(0, ,(/) /i (0 и фредгольмовы ядра Pn (t, r),.

Pm{t, r), Qn{t, r), Q]0(t, t) определенным образом выражаются через Aj, Д2 и функции G (t), g (t). Равенство (0.26) представляет собой краевое условие обобщенной скалярной задачи Римана относительно кусочно-аналитической функции px (z) — {(pf{z), q (z)}. Решая задачу (0.26), определяем аналитические функции (Pi (z) H0? j" (z). Наконец, подставляя в свободный член краевого поел +лл d (P (f) d.

F+(z) = (pi (z)exp{/tjz} + ^,+(z)exp{i2z}, (0.27) где q>i (z) и.

Теорема 2.2. Пусть Т = {z:|z|<7(0, g (t)e H{2)(L), G (t)* 0, t e L и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет два различных корня. Тогда решение задачи N сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана нормального типа (0.26) и (0.25) в классе кусочно-аналитических функций с линией скачков L.

В разделе 2.3 дается точная постановка задачи R и показано, что при G (t) — 0 задача R не является нетеровой.

В разделе 2.4 подробно исследуется задача R при условии, что L = (i: t = l} и G (t) -Ф- 0, t е L. Как и при решении задачи N, рассматриваются два случая:

Случай 1. Характеристическое уравнение имеет один (двукратный) корень Aq. Тогда, учитывая представление (0.7) и соотношение.

Д = (0.28) dzdz краевое условие (0.3) можно переписать в следующем виде:

Ф+(0 = С,(0-Ф'(0 + ?,(0, (0.29) где Gx (t), gx (t) — функции, определенным образом выражающиеся через заданные G (t), g (t), удовлетворяют на контуре L условию Гельдера, а ф (г) = |ф+(г), Ф~(г)} - кусочно-аналитическая функция, связанная с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции соотношениями вида: ф*(г) = Л2М + (Л+2)М (?), гб1~ (о.29а) dz dz геГ. (0.296) z J z).

Итак, получаем, что исходная задача R в этом случае сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.29) относительно кусочноаналитической функции Ф (г) — |ф+(г), Ф~(^)| с линией скачков L.

Обозначим Хг = Ind Gx (/) — индекс задачи (0.29). Тогда имеем: если Хг ^ 0, то задача (0.29) безусловно разрешима, и ее общее решение линейно зависит от 2(Хг +1) произвольных действительных постоянныхесли же %г то задача (0.29) имеет единственное решение при выполнении следующих — %2 ~ 1 условий разрешимости: к =1 А- -Хп ~ 1> (0.30).

X (г) где Х+(г) — каноническая функция задачи (0.29).

Далее необходимо рассмотреть отдельно два под случая: 1) Л0 = 0- 2) Л0*0.

Подслучай 1. Пусть = 0. Тогда на основании (0.29а) и (0.296) по найденным функциям Ф+(г) и Ф~ (г) получаем аналитические компоненты <�Ро (г) и ср (г) искомой метааналитической функции: о C o (z) =.

4>+(z)-J.

Ф+(<�Г) dc-Cx zeT+,.

0.31) где Cj =<Рх (0) — произвольная комплексная постоянная, Ч/+(г) = Ф~(1 !z), причем, для того, чтобы функции (z) и (p{(z) были аналитическими в круге Т+ (то есть для разрешимости задачи R), должны выполняться следующие условия:

Ф+(0) = 0, (0.31а).

Ч/+(0) = ^,+ (0). (0.316).

Таким образом, если G (t), g (t) е #(1)(L), тогда при выполнении условий.

0.31а) и (0.316) получаем решение исходной задачи R в рассматриваемом случае: о б" J.

F+(z) = 1.

LZ V r< z.

— dc + Cx.

Vo i.

Резюмируя вышесказанное, получаем следующий результат.

0.32).

Теорема 2.3. Пусть G (t), g (t)е#(,)(L), G (t)*0, teL и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Aq = 0. Тогда решение задачи R сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.29). Кроме того, если%21 ^ то задача Я разрешима тогда и только тогда, когда выполняются два условия вида (0.31а), (0.316) и ее общее решение, задаваемое формулой (0.32), линейно зависит не более чем от 1Хг + 2 произвольных действительных постоянных. Если же Хг< то для разрешимости задачи И необходимо и достаточно выполнение условий (0.30), (0.31а) и (0.316), причем задача будет иметь единственное решение.

Подслучай 2. Пусть Л0Ф 0. Тогда устанавливается, что для нахождения функции Ф (г) необходимо решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида: + = (0−33) аг х где г аг2 у (0.33а).

Ч/+(г) = фГ (1/г).

Решая уравнение (0.33) методом степенных рядов, представим функцию <2(г) в виде следующего ряда Лорана:

0.33 б).

5=-2 где Ь5 — некоторые комплексные числа. Тогда функция вида.

Я*(г) = + Ъ-±-2 + ?X ^Ч~ХпХЬп-ч (034) будет аналитическим в круге Т+ - {г:г < 1} решением дифференциального уравнения (0.33), если этот ряд сходится в указанном круге.

Кроме того, устанавливается, что здесь нужно еще выполнение следующих условий: Ма, г = 14 0<^<1, А: = 1,2, (0.34а).

1 — г) *.

Лк<�р (2) кК где Мк — конечные постоянные.

Таким образом, решение искомой задачи Я в рассматриваемом случае получим по формуле:

F+(z) = z L V.

V Л.

•z + oo и+1.

EE.

— 1) k~lnbnk.

Л л=1 ы (п-к + 1)!Я0 z.

— 2 v Л оо и+1.

ЕЕ.

0.35) exp{A0z}.

Итак, при Л0ф О справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.4. tfj’cwb С (/), g (/)e#(1)(?), G (t)*0, t еL и А^ * 0. Тогда решение задачи R сводится к последовательному решению обычной скалярной задачи Римана (0.29) и дифференциального уравнения (0.33), причем в случае Хг > 0 ее общее решение, задаваемое формулой (0.35), линейно зависит не более чем от 2х + 2 произвольных действительных постоянных. Кроме того, если Хг — 0, то для разрешимости задачи R необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное уравнение (0.33) было разрешимым в круге Т+ = {z: z < 1} и выполнялись условия (0.34а) — если же Хг < Ото &-ля разрешимости задачи R необходимо и достаточно выполнение условий (0.30), (0.316) и разрешимость в круге Т+ ={z:z<) дифференциального уравнения (0.33).

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет два различных корня Л1^Л2, тогда, как и в случае задачи N, решение задачи (0.3) сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана нормального типа для аналитических функций:

P2l (t, t)^^dt+ jP20(t, t).

0.36) dt d (pl (t) dt dr.

L, L,.

Го 0Ы (0 = + М’Ш') + Qi2(0, dt.

0.37) где.

012″ = a+2Q (t)cp-{t) + + + M, (О, at at причем здесь функции alQ (t), axx (t), aXQ (t), Mx (t), p20(t), q2l (t), Яго (0> /2(0, а также/>21(i, r), Р20(/, г), Qlx (t, r) Q2Q (t, r) определенным образом выражаются через Л2 и функции G (t), g (t).

Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 2.5. Пусть Т* = {z:|z|<=L u характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет два различных корня. Тогда решение задачи R сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана нормального типа (0.36) и (0.37) соответственно в классе кусочно-аналитических функций с линией скачков L.

Третья глава «Видоизмененные краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических в круге функций в исключительном случае» посвящена исследованию задач N и R при условии обращения в нуль или бесконечность коэффициентов в некоторых точках контура L — {z: |z| = 1}. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 3.1 даются точные постановки видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в исключительном случае.

В разделе 3.2 подробно исследуется задача N в исключительном случае, которая состоит в отыскании всех метааналитических в области Т+ функций F+(z), удовлетворяющих на L, за исключением, быть может, конечного числа точек ах, а2,., а^ и J3{, J32,., fiv, следующему краевому условию:

Ц^й + С (0−1+(!) = 8(0, teL, (0.38) дп+.

Пс где G (t) =.

О1 дп+.

— производная по внутренней нормали к.

Пс-Л)" у=1.

Z, (/,(/), git) заданные на L функции класса H (L), причем Gx (t) Ф 0. При этом рассматривается случай, когда характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Aq. Тогда задача'(0.38) сводится к решению скалярной задачи Римана в исключительном случае.

П е-«*)» «ф+(0 = -G2 (/) • ф- (0 + g2(0,.

0.39).

П c-/>j)* где G2(t), g2(t) — функции, определенным образом выражающиеся через заданные G,(f), g (0, удовлетворяют на контуре L условию Гельдера, а.

0(z)={0+(z), Ф~(г)} - кусочно-аналитическая функция, связанная с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции соотношениями вида:

Ро 00.

2 z 2 z.

0.39а) где W0+(z) = гф—) + Ф^ (z), Wx+(z) = - Ф^), z) z) z.

1 d +— dz.

— Ф+(z), еГ.

Обозначим <72(/)> ^Р] = РИз (0.39а) видно, что для.

7=1 разрешимости исходной задачи должны выполняться условия вида.

-?-(0) = 0, /г = 0,1. (0.40) а 2.

Тогда решение исходной задачи N можно задавать формулой.

F+(z) = lz lz explAgz}.

0.41).

Исходя из вышесказанного, устанавливается следующий результат.

Теорема 3.1. Пусть Т+ = {z:|z| < 1}, функции Gx (t), g (t) в точках Pj, ak удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно Pj +2,mk +2, а в остальных точках контура.

Gx (t), е #(2)(?) — характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень. Тогда решение задачи (0.38) сводится к решению скалярной задачи Римана (0.39) в исключительном случае. Кроме того, если%зх — р>0, то задача (0.38) разрешима тогда и только тогда, когда выполняются два условия вида (0.40), и ее общее решение, задаваемое формулой (0.41), линейно зависит не более чем от 2(%3 х-р + 1) произвольных действительных постоянных. Если же Хъ — Р < 0, то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно разрешимость задачи (0.39) и выполнение условий (0.40), причем в этом случае задача N будет иметь единственное решение.

Раздел 3.3 посвящен задаче R в исключительном случае: дается метод ее решения и исследуется картина ее разрешимости. При этом рассматривается случай, когда характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Л0. Устанавливается, что задачу R также можно свести к решению скалярной задачи Римана в исключительном случае:

П е-«*)» «.

Ф+(0 = ^-<72 (о • ф — (0 + *2 (О * (0'42).

W-fij)*.

У=1 где кусочно-аналитическая функция Ф (г) = |ф+(г), Ф~(г)} определенным образом связана с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции, a G2(t), g2(t) — заданные функции класса H (L), причем G2(t)*0 на/, здесь ах, а2,., аИ и Д,/?2,., Д, — некоторые точки контура L, amkn р. — целые положительные числа.

Пусть /1Гз2 = С2 (0 > тогда, в случае разрешимости задачи (0.42), решая задачу К методом, описанным в разделе 2.4, также рассматриваем два подслучая: 1) Я0 = 0- 2) А0 Ф 0. Тогда будем иметь:

0.43) г г где V+(z) = 0″ (lIz), pt (z) = [Ф^dg + Cx, если Л^=0 (0.43а).

5 бздесь С, — произвольная комплексная постоянная), у h оо я+i (-\i-xnb или = + + -еслиД0*0 (0.436).

Л Л и=19=1 («- q +1)! д о9 здесь — коэффициенты разложения функции Q (z)=-0+(z)—^(z)! z dzz J в ряд Лорана).

Таким образом, получаем следующие основные результаты.

Теорема 3.2. ПустьЛ0=0, функции Gx (t), g (t) в точках /?у, ak удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно pj+, mk+, а в остальных точках контура.

Gx (t), g (t)eH^(L). Тогда решение задачи R в исключительном случае сводится к решению скалярной задачи Римана (0.42). Кроме того, если ХЪ1 -р⁰, то задача R в исключительном случае разрешима тогда и только тогда, когда выполняются условия вида (0.31а), (0.316), и ее общее решение линейно зависит не более чем от 2{хъг +1 ~ р) произвольных действительных постоянных. Если же Хъг ~ Р <�®> то для разрешимости задачи R в исключительном случае к условиям (0.31а) и (0.316) добавляются условия разрешимости задачи (0.42), причем в этом случае задача R будет иметь единственное решение.

Теорема 3.3. ПустьAq^O, функции Gx (t), g (t) в точках Pj, cck удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно Pj +, mk +1, а в остальных точках контура.

G,(t), g (t)eH{i)(L). Тогда решение задачи R в исключительном случае сводится к решению скалярной задачи Римана (0.42) и дифференциального уравнения (0.33). Кроме того, если %Ъ1 -р>0, то задача R в исключительном случае разрешима тогда и только тогда, когда дифференциальное уравнение (0.33) разрешимо в круге Т* ={z:z<) и выполняется условие (0.316), и ее общее решение линейно зависит не более чем от 2(^32 +1 — р) произвольных действительных постоянных. Если же Хъг ~ Р < то для разрешимости задачи R к указанным в случае Хъ2~РО условиям также нужно добавить условия разрешимости задачи Римана (0.42), причем в этом случае задача R будет иметь единственное решение.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

— методы решения задач NnR для метааналитических в круге функций в случае G (t) Ф 0, t е L (нормальный случай);

— установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R для метааналитических функций в круге в нормальном случае;

— методы решения задач N и R в некоторых классах метааналитических функций в исключительном случае;

— получение необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R в исключительном случае.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59] - [64], [70] - [71] и докладывались на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003), на научной конференции «ГЕРЦЕНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ — 2004» (Санкт-Петербург, 2004), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005), на II и IV международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001, 2003), на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям при Белорусском государственном университете (руководитель — профессор Э.И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» (руководитель — профессор K.M. Расулов).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (2.4) (или теорема 2.4) означает четвертую формулу (теорему) во второй главе. Общий объем работы составляет 101 страницу, подготовленную с использованием текстового процессора MS WORD.

Выводы. Из результатов исследования задач N и Я видно, что в случае, если = Л, =, то решение как задачи N, так и задачи Я (в случае Ад = 0) можно свести к решению скалярной задачи Римана для аналитических функций в исключительном случае, а поскольку последняя задача в рассматриваемом случае является нетеровой, то и краевые задачи N и Я (в случае Л0 = 0) также являются нетеровыми.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены методы решения видоизмененных краевых задач типа Неймана и Рикье для метааналитических функций в круге при помощи общего подхода, основывающегося на представлении метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории обобщенной и обычной задач типа Римана для аналитических функций. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задач N и R, а также установлены условия, при которых рассматриваемые задачи являются нетеровыми.

Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:

1. Разработка общих методов решения краевых задач N и R для метааналитических функций в круге в случае G (t)Ф О, teL;

2. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R для метааналитических функций в круге в случае G (t)*0, teL;

3. Решения краевых задач N и R в некоторых классах метааналитических функций в исключительном случае;

4. Получение необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R в исключительном случае.