Теория вероятности

Реферат.

Теория вероятности.

1. Основные понятия комбинаторики

2. Определение теории вероятности

3. Условная вероятность

4. Случайные величины

5. Математические ожидания и дисперсия

6. Элементы математической статистики

1. Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика — это раздел математики, посвященный задаче выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией.

Основные понятия:

1. Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут n! = 1 · 2 · 3 · … · (n — 1) · n.

2. Перестановка

Пусть даны три буквы А, В, С. Составим все возможные комбинации из этих букв: АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА (всего 6 комбинаций). Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Рn, где n — число элементов, входящих в каждую перестановку.

Число перестановок можно вычислить по формуле Рn = n (n — 1) (n — 2) · … · 3 · 2 · 1 (1)

или с помощью факториала:

Pn = n! (2)

3. Размещение

Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим:

АВ, АС, AD;

BA, BC, BD;

CA, CB, CD;

DA, DB, DC.

Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами, или их порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными).

Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, называются размещениями.

Размещения обозначаются символом А, где m — число всех имеющихся элементов, n — число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что n m. Число размещений можно вычислить по формуле n множителей

А = (3)

т. е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведено n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Так, А = 4 · 3 = 12, что совпадает с результатом приведенного примера: поскольку число строк соответствует числу всех имеющихся букв, т. е. m = 4, а число столбцов равно 3, всего имеется 12 различных комбинаций.

2. Определение теории вероятности

Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину — теорию вероятностей.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события — вероятностная мера (или её значение) — мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от 0 до 1. Значение 1 соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна, то вероятность её не наступления равна. В частности, вероятность означает равную вероятность наступления и не наступления события.

3. Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть два случайных события, причём. Тогда условной вероятностью события при условии события называется

.

Замечания:

· Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

.

· Если, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

· Условная вероятность является вероятностью, то есть функция, заданная формулой

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

4. Случайные величины

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция, измеримая относительно и борелевской ?-алгебры на. Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Классификация:

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные). комбинаторика вероятность дисперсия математический На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

· Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

· В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

· Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

· Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

5. Математические ожидания и дисперсия

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей. В англоязычной литературе обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина. То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Основные формулы:

· Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

.

· Математическое ожидание дискретного распределения

Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

· Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью, равно

.

· Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

если имеет дискретное распределение;

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

.

Свойства:

· Математическое ожидание числа есть само число.

— константа;

· Математическое ожидание линейно, то есть

где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;

· Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того

;

· Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то

.

· Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Дисперсия случайной величиным — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или. Квадратный корень из дисперсии, равный, называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда где символ обозначает математическое ожидание.

6. Элементы математической статистики

Математическая статистика — это раздел математики, изучающий методы сбора, обработки и анализа результатов наблюдений, экспериментов, опытов и т. д. Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей.

Основные элементы:

· Разработка методов сбора экспериментальных данных.

· Регистрация данных.

· Анализ статистических данных.

1. http://www.pandia.ru/text/77/297/2016.php

2. http://combinalg.narod.ru/index/0−3

3. http://ru.wikipedia.org/wiki