Рынок вторичного жилья
С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от — 0,59 до 0,21 тыс. $. Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16−2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31. Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16−2 =14… Читать ещё >
Рынок вторичного жилья (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья
№ п/п | y | x1 | x2 | Задание | |
22.5 18.5 13.2 25.8 14.5 19.5 14.2 13.3 16.1 13.516 | 29.5 30.8 | y — цена квартиры (тыс.$); x1 — жилая площадь (кв. м); x2 — время пути до метро (мин). По имеющимся статистическим данным отдельно для пар (у, х1) и (у, х2) найти: а) уравнение линейной регрессии; б) коэффициент корреляции; в) среднюю величину у при х1=35 (х2=12); г) 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения у; д) с надежностью 0.95 интервальные оценки коэффициента регрессии 1 и дисперсии 2; е) коэффициент детерминации. Оценить на уровне 0.05 значимость уравнения регрессии. Сделать анализ полученных результатов. | |||
Табличные значения стандартных функций распределения:
t0.05,14 = 2.145 F0.05,1,14 = 4.6
20.025,14 =26.1 20.975,14 =5.63
1. Парная регрессия y на x1.
а) Найти уравнение линейной регрессии для x1.
№ п/п | yi | xi | y2 | x2 | x * y | xi ; | (xi -)2 | |
22,5 | 506,25 | 652,5 | — 3,3 | 10,89 | ||||
2,7 | 7,29 | |||||||
18,5 | 342,25 | — 4,3 | 18,49 | |||||
13,2 | 174,24 | — 2,3 | 5,29 | |||||
25,8 | 665,64 | 1315,8 | 18,7 | 349,69 | ||||
5,7 | 32,49 | |||||||
2,3 | 5,29 | |||||||
— 0,3 | 0,09 | |||||||
14,5 | 210,25 | 391,5 | — 5,3 | 28,09 | ||||
6,7 | 44,89 | |||||||
19,5 | 29,5 | 380,25 | 870,25 | 575,25 | — 2,8 | 7,84 | ||
14,2 | 201,64 | 411,8 | — 3,3 | 10,89 | ||||
13,3 | 176,89 | — 2,3 | 5,29 | |||||
16,1 | 30,8 | 259,21 | 948,64 | 495,88 | — 1,5 | 2,25 | ||
13,5 | 182,25 | — 4,3 | 18,49 | |||||
— 1,3 | 1,69 | |||||||
Сумма | 292,1 | 517,3 | 5613,87 | 17 273,89 | 9694,73 | 548,95 | ||
Средняя | 18,2 | 32,3 | 350,9 | 1079,6 | 605,9 | 34,3 | ||
Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;
выборочная дисперсия = 34,3;
выборочная ковариация cov (x, y) = = 605,9−32,3*18,2 = 18,04;
Коэффициенты регрессии b1== = 0,53
= 18,2 — 0,53*32,3 = 1,08
При увеличении жилой площади на 1 кв. м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс. $.
Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.
б) рассчитать коэффициент корреляции
Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.
в) определить среднюю величину y при x1=35.
Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв. м составляет 19.63 тыс. $. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.
№ п/п | yi | xi | ||||||
22,5 | 16.45 | 6.05 | 36.60 | 4.3 | 18.49 | |||
19.63 | 6.37 | 40.58 | 7.8 | 60.84 | ||||
18,5 | 15.92 | 2.58 | 6.66 | 0.3 | 0.09 | |||
13,2 | 16.98 | — 3.78 | 14.29 | — 5.0 | 25.00 | |||
25,8 | 28.11 | — 2.31 | 5.34 | 7.6 | 57.76 | |||
21.22 | — 4.22 | 17.81 | — 1.2 | 1.44 | ||||
16.98 | 1.02 | 1.04 | — 0.2 | 0.04 | ||||
18.04 | 2.96 | 8.76 | 2.8 | 7.84 | ||||
14,5 | 15.39 | — 0.89 | 0.79 | — 3.7 | 13.69 | |||
21.75 | 1.25 | 1.56 | 4.8 | 23.04 | ||||
19,5 | 29,5 | 16.72 | 2.78 | 7.73 | 1.3 | 1.69 | ||
14,2 | 16.45 | — 2.25 | 5.06 | — 4.0 | 16.00 | |||
13,3 | 16.98 | — 3.68 | 13.54 | — 4.9 | 24.01 | |||
16,1 | 30,8 | 17.40 | — 1.30 | 1.69 | — 2.1 | 4.41 | ||
13,5 | 15.92 | — 2.42 | 5.86 | — 4.7 | 22.09 | |||
17.51 | — 1.51 | 2.28 | — 2.2 | 4.84 | ||||
Сумма | 292,1 | 517,3 | 169.59 | 281.27 | ||||
Средняя | 18,2 | 32,3 | 17.58 | |||||
г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.
С учетом значений из обеих таблиц:
Остаточная дисперсия
Дисперсия среднего значения
= 0.920
Стандартное отклонение
Дисперсия индивидуального значения y0
Стандартное отклонение y0
Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости = 1- = 0,05.
Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16−2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.
Доверительный интервал для среднего значения
19.63 — 2.1450.96 y 19.63 + 2.1450.96
17.57 y 21.69
Доверительный интервал для индивидуального значения
19.63 — 2.1453.61 y0 19.63 + 2.1453.61
11.89 y0 27.37
С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв. м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс. $; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс. $.
д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии 1 и дисперсии возмущений 2.
Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022
Стандартное отклонение
Доверительный интервал для коэффициента регрессии 1
0.53−2.1450.148 1 0.53+ 2.1450.148
0.21 1 0.85
С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв. м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс. $.
Табличные значения распределения 2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют
;
Доверительный интервал дисперсии возмущений
7,42 2 34,42
Интервал для стандартного отклонения 2,72 5,87.
С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.
Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.
Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27
Остаточная сумма квадратов = 169,59
Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27−169,59 = 111,68
Величина F-критерия
= 9,23,
где m — число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.
Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.
Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать значимым, т. е. заслуживающим доверия.
Определим коэффициент детерминации.
0,40
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором xплощадью квартиры.
2. Парная регрессия y на x2.
а) Найти уравнение линейной регрессии для x2.
№ п/п | yi | xi | y2 | x2 | x * y | xi ; | (xi -)2 | |
22,5 | 506,25 | 337,5 | 1,9 | 3,61 | ||||
— 3,1 | 9,61 | |||||||
18,5 | 342,25 | — 3,1 | 9,61 | |||||
13,2 | 174,24 | 11,9 | 141,61 | |||||
25,8 | 665,64 | — 3,1 | 9,61 | |||||
— 1,1 | 1,21 | |||||||
1,9 | 3,61 | |||||||
6,9 | 47,61 | |||||||
14,5 | 210,25 | 1,9 | 3,61 | |||||
— 8,1 | 65,61 | |||||||
19,5 | 380,25 | 292,5 | 1,9 | 3,61 | ||||
14,2 | 201,64 | 170,4 | — 1,1 | 1,21 | ||||
13,3 | 176,89 | 66,5 | — 8,1 | 65,61 | ||||
16,1 | 259,21 | — 3,1 | 9,61 | |||||
13,5 | 182,25 | 337,5 | 11,9 | 141,61 | ||||
— 3,1 | 9,61 | |||||||
Сумма | 292,1 | 5613,87 | 3712,4 | 526,96 | ||||
Средняя | 18,2 | 13,1 | 350,9 | 203,94 | 232,025 | 32,9 | ||
Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;
выборочная дисперсия = 32,9;
выборочная ковариация cov (x, y) = = 232,025−13,1*18,2 = -6,4;
Коэффициенты регрессии b1== = -0,19
= 18,2 — (-0,19)*13,1 = 20,7
При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс. $.
Уравнение регрессии = 20,7 — 0,19 * x.
б) рассчитать коэффициент корреляции Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.
в) определить среднюю величину y при x2=12.
Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс. $.
Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице
№ п/п | yi | xi | ||||||
22,5 | 17,85 | 4,65 | 21,62 | 4.3 | 18.49 | |||
18,80 | 7,2 | 51,84 | 7.8 | 60.84 | ||||
18,5 | 18,80 | — 0,3 | 0,09 | 0.3 | 0.09 | |||
13,2 | 15,95 | — 2,75 | 7,56 | — 5.0 | 25.00 | |||
25,8 | 18,80 | 7,0 | 49,0 | 7.6 | 57.76 | |||
18,42 | — 1,42 | 2,02 | — 1.2 | 1.44 | ||||
17,85 | 0,15 | 0,02 | — 0.2 | 0.04 | ||||
16,90 | 4,1 | 16,81 | 2.8 | 7.84 | ||||
14,5 | 18,80 | — 4,3 | 18,49 | — 3.7 | 13.69 | |||
19,75 | 3,25 | 10,56 | 4.8 | 23.04 | ||||
19,5 | 17,85 | 1,65 | 2,72 | 1.3 | 1.69 | |||
14,2 | 18,42 | — 4,22 | 17,81 | — 4.0 | 16.00 | |||
13,3 | 19,75 | — 6,45 | 41,60 | — 4.9 | 24.01 | |||
16,1 | 18,80 | — 2,7 | 7,29 | — 2.1 | 4.41 | |||
13,5 | 15,95 | — 2,45 | 6,003 | — 4.7 | 22.09 | |||
18,80 | — 2,8 | 7,84 | — 2.2 | 4.84 | ||||
Сумма | 292,1 | 261,27 | 281.27 | |||||
Средняя | 18,2 | 13,1 | 17.58 | |||||
г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.
С учетом значений из обеих таблиц:
Остаточная дисперсия
Дисперсия среднего значения
= 1,21
Стандартное отклонение
Дисперсия индивидуального значения y0
Стандартное отклонение y0
Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости = 1- = 0,05.
Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16−2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.
Доверительный интервал для среднего значения
18,42 — 2,1451,1 y 18,42 + 2,1451,1
16,06 y 20,78
Доверительный интервал для индивидуального значения
18,42 — 2,1454,46 y0 18,42 + 2,1454,46
8,85 y0 27,99
С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс. $; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс. $.
д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии 1 и дисперсии возмущений 2.
Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035
Стандартное отклонение
Доверительный интервал для коэффициента регрессии 1
— 0,19−2,1450,187 1 -0,19 + 2,1450,187
0,59 1 0,21
С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от — 0,59 до 0,21 тыс. $.
Табличные значения распределения 2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют
;
Доверительный интервал дисперсии возмущений
11,44 2 53,03
Интервал для стандартного отклонения 3,38 7,28.
С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.
Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.
Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27
Остаточная сумма квадратов = 261,27
Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27−261,27 = 20
Величина F-критерия
= 1,07,
где m — число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.
Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.
Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать значимым, т. е. заслуживающим доверия.
Определим коэффициент детерминации.
квартира стоимость регрессия вариация
0,07
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором xвременем пути до метро.