Статистические расчеты в анализе хозяйственной деятельности

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра «Статистика и анализ хозяйственной деятельности»

Контрольная работа по Эконометрики Выполнил: студент 2 курса заочного отделения «Экономического факультета»

Ульяновск, 2011

Задачи

Задача 1.

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера (табл.1).

Таблица 1

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F — критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

;

.

Получено уравнение регрессии:

.

С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,018 руб.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Тесноту связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:

.

Коэффициент детерминации

Это означает, что 26,1% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.

Таким образом, изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1% приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,039%.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации:

= /

49,3%

Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8 — 10%.

6. Оцените с помощью F - критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощьюкритерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение — критерия:

.

Табличное значение (k₁=1, k₂=8) F_табл. =5,32. Так как, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем — критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции

:

.

Фактические значения — статистик:

.

Табличное значение — критерия Стьюдента при и t_табл. =2,306. Так как, t_a < t_табл. и .

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и: и. Получим, что и .

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

Найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня, т. е. найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 1413,89 тыс. руб.

(тыс. руб.)

Значит, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 1413,89 тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 427,05 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза

а доверительный интервал

():

.

Т.е. прогноз является статистически не точным.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Из полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,018 руб. При оценки тесноты связи с помощью показателя детерминации я выявил, что 26,1% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1% приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,039%. С увеличится на 7% заработной платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на душу населения будут равны 427,05 тыс. руб., но этот прогноз является статистически не точным.

Задача 2.

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.):

у = 20 +. Доля остаточной дисперсии в общей составила 0, 19

Задание:

Определите:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

б) индекс корреляции;

в) F — критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

х = 200 тыс. руб., .

Таким образом, изменение технической оснащенности на 1% приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149%.

б) индекс корреляции:

Уравнение регрессии:

= 23,5/10 = 2,35

Это означает, что 99,6% вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.

в) F - критерий Фишера. Сделайте выводы.

F_табл. = 4,46

F_табл. < F_факт; Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Задача 3.

Изучается по 25 предприятиям концерна зависимость потребления материалов У (т) от энерговооруженности труда Х1 (кВт. ч на одного рабочего) и объема произведенной продукции Х2 (тыс. ед.). Данные приведены в табл.4.3.

Задание

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

3. Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.

4. Рассчитайте общие F — критерии Фишера.

Решение:

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.

Линейное уравнение множественной регрессииу отх₁ их₂ имеет вид:. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет — коэффициентов выполним по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂, используя формулы для перехода от к b.

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (r_x1x2=0,43) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются значительно.

Растет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

Зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется как тесная, в которой 73,6% вариации потребления электроэнергии определяется вариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизации труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 26,4% от общей вариации y.

3. Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением производства продукции на 1% от его среднего потребления электроэнергии возрастает на 0,232% от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня механизации труда на 1% среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,63% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции на среднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднего уровня механизации труда.

4. Рассчитайте общие F - критерии Фишера.

ОбщийF-критерий проверяет гипотезуH₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0):

F_табл. = 9,55

Сравнивая F_табл. и F_факт., приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H₀ и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Задача 4.

Модель денежного и товарного рынков:

R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁, (функция денежного рынка);

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂ (функция товарного рынка);

I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃ (функция инвестиций),

где R — процентные ставки;

Y — реальный ВВП;

M — денежная масса;

I — внутренние инвестиции;

G — реальные государственные расходы.

Решение:

R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e_1,Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂

I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃

С_t = Y_t + I_t + G_t

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (R_t, Y_t, I_t, С_t) и две предопределенные переменные (и).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁. Это уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную. Таким образом,, т. е. выполняется условие. Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂. Оно включает три эндогенные переменные Y_t, I_t и R_t и одну предопределенную переменную G_t. Выполняется условие. Уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение: I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃. Оно включает две эндогенные переменные I_t и R_t. Выполняется условие. Уравнение идентифицируемо.

Четвертое уравнение: С_t = Y_t + I_t + G_t. Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид корреляция показатель детерминация эластичность

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

R_t = a₁ + b₁₁Y_t + b₁₃M_t + b₁₅G_t + b₁₆G_t + u₁

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + b₂₆G_t + u ₂

I_t = a₃ + b₃₁R_t + b₃₃I_t + b₃₅G_t + b₃₆G_t + u ₃

С_t = a₄ + b₄₁R_t + b₄₃I_t + b₄₅G_t + b₄₆G_t + u ₄

Задача 5

Имеются следующие данные об уровне безработицы за 8 месяцев:

Задание:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3. Дайте прогноз уровня безработицы на следующий месяц.

Решение:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяют следующие функции: линейная гипербола экспонента степенная функция парабола второго и более высоких порядков. Параметры трендов определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…, n, а в качестве зависимой переменной — фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Сравним значения R² по разным уровням трендов:

Полиномиальный 6-й степени — R² = 0,9989

Экспоненциальный — R² = 0,9868

Линейный — R² = 0,9927

Степенной — R² = 0,8594

Логарифмический — R² = 0,8798

Исходный данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

y = - 0,0001*531 441 + 0,0032*59 049 — 0,0294*6561 + 0,1345*729 — 0,3376*81 + 0,2285*9 + 8,8 = - 53,144 + 188,957 — 192,893 + 98,051 — 27,346 + 2,057 + 8,8 = 24,482

3. Дайте прогноз уровня безработицы на следующий месяц.

Уровень безработицы в 9-ом месяце приблизительно будет 24,4%.