Решение систем уравнений различными способами

Задание 1. Метод Гаусса

a. В электронных таблицах MS Excel составить такую систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными, чтобы коэффициенты системы и свободные члены были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b. Решить полученную систему уравнений методом исключений Гаусса с выбором главного элемента.

Решение

Составили систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы Алгоритм метода главных элементов состоит в следующем:

Среди элементов матрицы a_ij, j = 1, n выбираем наибольший по модулю а₂₃ = 10.

Матрицу М преобразуем: из каждой i-ой неглавной строки вычтем почленно главную строку, умноженную на m_t. В результате получится матрица, у которой все элементы главного столбца, за исключением самого главного элемента равны нулю.

m₁ = 0,9; m₃ = 0,6; m₄ = 0,1; m₅ = 0,2.

Получим новую матрицу M₁ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₃₁ = 8, 8.

Получим новую матрицу M₂ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М₁ главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₂₁ = —6, 25.

Получим новую матрицу M₃ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М₂ главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₁₁ = —5.

Объединим все главные строки, начиная с последней строки.

Полученная матрица, эквивалентная исходной.

4,4167х₅ = 12,7465 х₅ = 2,5925;

— 5х₄ = 1,9091 — 1,5455х₅ х₄ = 0,4195;

— 6,25х₂ = 4,0341 + 0,25х₄ — 2,4205 х₅ х₂ = 0,3418;

8,8х₁ = 4,5 — 2,2х₂ — 2,2х₄ — 2,7х₅ х₁ = -0,4744;

10х₃ = 5 — 2х₁ — 8х₂ — 8х₄ — 3х₅ х₃ = -0,7919;

Ответ: х₁ = -0,4744; х₂ = 0,3418; х₃ = -0,7919; х₄ = 0,4195; х₅ = 2,5925.

Задание 2. Интерполяционный многочлен Ньютона

a. В электронных таблицах MS Excel задать таблично функцию в точках 0, 1, 2, …, 10 так, чтобы ее значения были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b. Для полученной функции построить интерполяционный многочлен Ньютона.

c. Вычислить значения полученного интерполяционного многочлена в точках

0, 1, 2, …, 10.

Решение

Пусть для функции y = f (x) заданы значения y_i = f (x_i) для равностоящих значений независимых переменных:

x_n = x₀ +nh, где h — шаг интерполяции.

Необходимо найти полином P_n (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) x_i значения:

P_n (x_i) = y_i, i=0,…, n. (1)

Интерполирующий полином ищется в виде:

Р_n(X) = a₀ + a₁(X — X₀) + a₂(X — X₀) (X — X₁) + … + a_n(X — X₀)… (X — X_n-₁) (2)

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов а_i из условий:

P_n(x₀)=y₀,

P_n(x₁)=y₁,

. .

P_n(x_n)=y_n.

Найдем коэффициент а₁.

Для определения а₂, составим конечную разность второго порядка.

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем:

(3)

где x_i, y_i — узлы интерполяции;

x — текущая переменная;

h — разность между двумя узлами интерполяции h — величина постоянная, т. е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона.

С помощью функции-генератора случайных чисел задаем таблицу значений функцию в точках 0, 1, 2, …, 10.

Составим таблицу конечных разностей функции.

Воспользуемся формулой (3)

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Вычислим значения полученного интерполяционного многочлена.

Р₁₀(0) = 4 Р₁₀(6) = 2,9994

Р₁₀(1) = 9 Р₁₀(7) = 3,9964

Р₁₀(2) = 2 Р₁₀(8) = 7,9875

Р₁₀(3) = 7 Р₁₀(9) = 4,8935

Р₁₀(4) = 9 Р₁₀(10) = 4,4251

Р₁₀(5) = 6

Задание 3. Численное интегрирование

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k — номер варианта).

· используя метод интегрирования по частям, вычислить интеграл ;

· используя метод прямоугольников вычислить этот же интеграл с точностью 0,1;

· используя метод трапеций вычислить этот же интеграл с точностью 0,1.

Решение

Используя метод интегрирования по частям, вычислим интеграл

I 2,41 210¹⁶

Для расчетов составим расчетную таблицу.

По формуле прямоугольников Пусть f (х) =, тогда разобьем отрезок интегрирования на 20 частей, с шагом h= и составим таблицу, в которой найдены середины отрезков, i = 1, 2, …, 10 и значение функции в этих точках .

По формуле средних прямоугольников получим:

(-0,0006 — 0,0122+ … +1,15E+15 + 2,13E+16= 0,3(7,07E+16) 2,12 110¹⁶

По формуле трапеции получим:

(-0,0032 — 0,038+ … +1,15E+15 + 2,13E+16 = 0,3(9,90E+16) 2,96 910¹⁶

Ответ: интеграл равен:

2,41 210¹⁶ — по методу интегрирования по частям;

2,12 110¹⁶ — по методу прямоугольников;

2,96 910¹⁶ — по методу трапеций.

Задание 4. Решение нелинейных уравнений

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k — номер варианта).

Найти один корень уравнения:

· методом дихотомии;

· методом касательных.

Решение

f (х) = ,

Для нахождения минимума и максимума функции необходимо вычислить 1-ую производную функции.

Так как в задании требуется найти только одни корень, то можно уменьшить заданный интервал до интервала, в котором будет находиться минимум и максимум функции.

Построим график первой производной на интервале [-1; 1] (рис. 1).

На интервале [-0,5; 0] производная меняет знак с «-» на «+», значит на этом интервале расположена точка минимума.

На интервале [0,5; 1] производная меняет знак с «+» на «-», значит на этом интервале расположена точка максимума.

Приравняем f (x) нулю и вычислим корень уравнения. Так как е^8х > 0, то для нахождения точки экстремума надо решить уравнение 8sin3x + cos3x = 0.

Обозначим F (x) = 8sin3x + cos3x и решим уравнение методом дихотомии.

Метод дихотомии заключается в следующем.

1. Задать интервал [а, b], на котором корень уравнения существует. Функция на границах данного интервала должна иметь разные знаки, т. е. F (a) F (b)<0.

2. Найти середину интервала по формуле

3. Выбрать из полученных двух половин: [а, Х] и [Х, b] интервала [а, b] ту, на которой находится корень по условию F (a) F (X)<0.

Если данное условие выполняется, то корень находится на [а, Х], правую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: b=Х. Перейти в п. 2.

Иначе: корень — на интервале [Х, b]; тогда левую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: а=Х. Перейти в п. 2.

Зададим точность вычисления е = 0,1.

Рассмотрим интервал [-0,5; 0].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F (a) = F (-0,5) = 8sin (-1,5) + 3cos (-1,5) = -7,77

F (b) = F (0) = 8sin (0) + 3cos (0) = 3

Функция на границах интервала имеет разные знаки, значит, решение лежит в указанном интервале.

Итерация 1.

Определяем середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке F (Х) = F (-0,25) = 8sin (-0,75) + 3cos (-0,25) = -3,26 Функция на границах интервалов [a, c] и [c, b] имеет разные знаки, значит, в каждом из этих интервалов есть корень.

F (-0,25) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (а) F (Х) = -7,77(-3,26) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,25.

Итерация 2.

F (-0,125) = -0,14 F (-0,125) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (а) F (Х) = -3,26(-0,14) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,125.

Итерация 3.

F (-0,0625) = 1,46 F (-0,0625) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = -0,141,46 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,0625.

Итерация 4.

F (-0,9 375) = 0,66 F (-0,9 375) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = -0,140,66 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,9 375.

Итерация 5.

F (-0,109 375) = 0,26 F (-0,109 375) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = -1,40,26 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,9 375.

Итерация 6.

F (-0,1 171 875) = 0,06 F (-0,1 171 875) < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = -0,1 171 875.

f_min (-0,1 171 875) = -0,135

Ответ: x = -0,1 171 875; f_min (-0,1 171 875) = -0,135

Точку максимум определяем на интервале [0,5; 1].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F (a) = F (0,5) = 8sin (1,5) + 3cos (1,5) = 8,19

F (b) = F (1) = 8sin (3) + 3cos (3) = -1,84

Итерация 1.

F (0,75) = 4,34 F (0,75) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = 8,194,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,75.

Итерация 2.

F (0,875) = 1,34 F (0,875) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = 4,341,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 2,75.

Итерация 3.

F (0,9375) = -0,25 F (0,9375) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = 1,34(-0,25) < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = 0,9375.

Итерация 4.

F (0, 90 625) = 0, 55 F (2, 9375) > 0, 1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = 1,340,55 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,90 625.

Итерация 5.

F (0,92 875) = 0,15 F (92 875) > 0,1.

Точность не достигнута.

F (a) F (Х) = 0,550,15 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,921 875.

Итерация 6.

F (0,9 296 875) = -0,05 F (0,9 296 875) < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = 0,9 296 875.

Вычисли 2-ую производную f = 20cos (3,3 125) + 99sin (3,3 125) = -8,98 < 0, значит это точка максимума.

f_mах (0,9 296 875) = 586,447

Ответ: x = 0,9 296 875; f_mах (0,9 296 875) = 586,447

Найти один корень уравнения:

Для нахождения экстремума методом касательных надо решить уравнение

F (x) = 24cos3x — 9sin3x

Если х₀ — начальное приближение корня уравнения f (x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Минимум лежит в пределах [-0,5; 0].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х₀ = 0.

F (х₀) = 8sin (0) + 3cos (0) = 3

F '(х₀) = 24

х₁= 0 — 0,333 = -0,333

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х₁= -0.125.

F (х₁) = -0,1387

х₂= -0,125 + 0,0058 = -0,1192

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х₂= -0,1192.

F (х₂) = 0,0094

F ' (-0,1192) = 25,6320

Точность достигнута.

f_min (-0,1192) = -0,135

Максимум лежит в пределах [0,5; 1].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х₀ = 1.

F (х₀) = 1,8410

F '(х₀) = 25,0299

х₁= 1 — 0,0736 = 0,9264

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х₁= 0,9264.

F (х₁) = 0,0297

х₂= 0,9264 + 0,0012 = 0,9276

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х₂= 0,9276.

F (х₂) = -0,0007

Точность достигнута.

f_mах (0,9276) = 586,540

Ответ: 293,156 по методу дихотомии;

293,203 по методу касательных

Задание 5. Метод Рунге — Кутта четвертого порядка

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный Методом Рунге — Кутта найти решение на отрезке [a, b] дифференциального уравнений вида при заданных начальных условиях с указанным шагом h

Решение

Метод Рунге — Кутта описывается системой следующих соотношений:

y_i+1 = y_i + y_i или y_i+1 = y_i +

где k₁ = hf (x_i, y_i)

Из начальных условий имеем х₀ = 0, у₀ = 1, h = 0,01. Найдем первое приближение

у₁= у₀ + у₀, где

= 0,1= 0,1

= 0,1= 0,10 488

= 0,1= 0,10 512

= 0,1= 0,11 001

Следовательно,

и у₁= 0 + 0,105 = 0,105.

Дальнейшее решение уравнения представлено в таблице.

Таким образом, окончательно имеем у (2) = 1,5.

Литература

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

1. Поршнев С. В. Вычислительная математика. — СПб.: Питер, 2004. — 320 с.: ил.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Бином, 2004. — 631 с.

3. Лапчик М. П. Численные методы. — М.: Академия, 2005

4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. М. Кремера. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2007