Краевые задачи для системы Дуглиса-Ниренберга в областях с кусочно гладкой границей

В последние два десятилетия построена общая теория эллиптических краевых задач в областях, границы которых содержат особенности — углы, конические точки, ребра и т. п. Нарушение условия гладкости границы приводит к появлению у решения особенностей в окрестностях нерегулярных точек границы. К изучению краевых задач для уравнения в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Эта теория имеет широкие и важные приложения в механике сплошных сред, в различных разделах асимптотической теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов. Этим вопросам посвящена общирная литература [8, 10, 14].

Как всегда в современной теории краевых задач, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи и правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные протранства с весовой нормой, где вес — некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы.

Среди многочисленных подходов к исследованию краевых задач в областях с негладкой границей можно выделить два основных. Одним их них является сведение краевой задачи к решению интегральных уравнений.

Изучение эллиптических задач в областях с угловыми точками берет начало в классической работе Радона [22]. Он применил метод решения уравнений с частными производными, основанный на сведении краевой задачи к интегральным уравнениям на границе области, в случае плоской области с угловыми точками на ее границе для задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В дальнейшем метод Радона нашел широкое применение в краевых задачах теории функций плоской теории упругости, общей теории эллиптических задач. Широкий класс краевых задач в областях с кусочно гладкой границей для аналитических функций тесно связан с сингулярными интегральными уравнениями и в комбинации с конформными отображениями допускает прямое эффективное исследование [3], [4], [19]. С помощью представления общего решения уравнения через аналитические функции этот метод нашел многочисленные приложения. Существенное затруднение, которое вносит здесь наличие угловых точек границы, состоит в том, что в указанном представлении помимо самой аналитической функции фигурируют и ее производные.

Одной из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точкой была работа Я. Б. Лопатинского [16]. В его работе рассматриваются краевые задачи с постоянными коэффициентами. Применяя метод сведения краевой задачи к интегральному уравнению на границе, он получил условия нормальной разрешимости такой краевой задачи в пространствах Ск (С2) — функций, у которых все производные порядка к включительно непрерывны в Я. Б. Лопатинский сводит общую граничную задачу для эллиптической системы в плоской области с границей, содержащей конечное число угловых точек к системе интегральных уравнений и изучая эту систему с помощью теории Ф — операторов, находит явную формулу для ее индекса [16]. Наличие угловых точек делает эту систему сингулярной.

Большое число работ, посвященных изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки, опубликовали В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский. В работе [18] они впервые рассмотрели общие краевые задачи на многобразиях довольно общей природы, построили теорию краевых задач для эллиптических по Дуглису — Ниренбергу систем уравнений на многобразиях, имеющих многомерные особенности, например, «ребра» различных размерностей и их всевозможные пересечения. Изучению свойств решений краевых задач теории упругости в областях с изолированными особыми точками на границе посвящена работа В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского [18]. Результаты основаны на оценках собственных значений вспомогательных краевых задач, определяющих особенности решений в особых точках границы. В работе получены оценки решений в весовых пространствах типа 1Р и весовых пространствах Гельдера.

Фредгольмовость краевой задачи в областях с коническими точками в гильбертовых пространствах доказана в работе Кондратьева [12].

Краевые задачи с постоянными коэффициентами хорошо изучены (в смысле нетеровости и формулы для индекса). Такого полного исследования для задач с переменными коэффициентами до сих пор не было. В настоящей диссертации изучаются краевые задачи для общих эллиптических по Дуглису — Ниренбергу систем с переменными коэффициентами в областях с кусочно гладкой границей. Для поставленных задач получен критерий нетеровости и формулы для индекса. Дается применение полученных результатов к краевым задачам для системы Стокса, получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислены индексы.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена вопросам нетеровости краевых задач для общих эллиптических по Дуглису — Ниренбергу систем. Она состоит из пяти параграфов.

В § 1 приводятся определения весовых пространств Соболева и Гельдера и их некоторые свойства.

В § 2 даются определения функции от матрицы и концевого символа А. П. Солдатова.

В § 3 дается определение эллиптичности по Дуглису — Ниренбергу и приводятся постановки основных краевых задач.

В § 4 рассматривается задача г = / е х-а (д), &(х,@)у = <р е Урпь (дЯа), (1) е ЩО),.

О, — область плоскости с кусочно гладкой границей, J — конечное подмножество граничных точек (куда, в частности, включаются все угловые точки), и <Ж) — квадратная и прямоугольная матрицы, элементы которых линейные дифференциальные выражения с коэффициентами из С00 (ф) и С°°(дС2 соответственно, Хра (С2), Урь (д (Э ?7″) — весовые пространства Соболева и.

Гельдера (см. стр. 37).

Пространства Урь (дС2 когда задача рассматривается над весовыми пространствами Соболева определены равенствами х-т = д ^,-««(0). *?-.(«) = П т. е.-.оС?). г=1 г=1.

ЛГ/2 Я = ПЯ. 1 а когда задача рассматривается над пространствами Гельдера, они даются равенствами.

Пх-~м=п г=1 г=1 и/2 у-ь (дд з) = п л, г= где числа г = 1, ст^-, $ = 1, ., Л/", из определения (подробнее см. ниже стр. 37) эллиптичности по Дуглису — Ниренбергу, ?

N — ^^(йг + и), I — порядок матрицы. г=1.

Получен критерий полунетеровости задачи (1):

Теорема 1. Задача (1) тогда и только тогда полунетеровая с конечномерным ядром, или, что эквивалентно, имеет место априорная оценка ц л": г-ь (ддз)\ +11" — л—1″"!!, где с > 0 — константа, не зависящая от V? когда выполнены условия эллиптичности по Дуглису — Ниренбергу, условие дополнительности (см. стр. 37) и условия: на, прямой Re (¿-А) = ¡-Зт нет точек спектра пучка т 6 J.

Здесь ^(А) — эллиптический пучок, полученный преобразованием Меллина к главным частям j?? o и о операторов if и ^ после перехода к полярным координатам (г, по переменной г. В § 5 приводятся некоторые свойства решений задачи (1),.

Теорема 2. Пусть е Ж такое, что на прямой Re (iX) = (Зт нет точек спектра из т G J. Тогда справедливы утверждения: а) Пусть v 6 Xp+1(Q) — решение задачи (1), где f е.

V е Y^bdQ J). Тогда v 6 bj Пусть iG П KuP+U ~t0(Q) — решение задачи (1), где / 6 г=1 аг/2.

П V 6 П W J), причем 1 < Р1 < г=1 г=1.

Р2 < +оо. Тогда «G П K, 7+U-t0 Ю)» г=1 с) Пусть 1)? П — решение задачи (1), где / <Е г=1.

АГ/2.

П^П H-^!aito{dQ J), причем 7 = (3 — 2/р. i=1 г=1.

Тогда v G Д (Q) для достаточно больших р. г=1.

Здесь^Т (А) — эллиптический пучок, полученный из^Т (А) заменой Jzfo на j?? o и ^ на при переходе к новой системе координат посредством диффеоморфизма (подробнее см. стр. 34). Доказана следующая.

Теорема 3. В условиях теоремы 1 ядро оператора задачи (1) и ядро сопряженного оператора не зависят от п, р,/и (п — 0,1,.'- 1 < р < +оо, О < /i < 1). Кроме этого ядра не меняются при переходе от (весовых) пространств Сооболева к пространствам Гельдера.

Получен критерий нетеровости задачи (1):

Теорема 4. Для нетеровости задачи (1) необходимо и достаточно выполнения условий эллиптичности по Дуглису — Ниренбергу, условия дополнительности (см. стр. 37) и условия: на прямой Re (iX) = /Зт нет точек спектра пучка %т (), т? J. При выполнении этих условий индекс задачи не зависит от п, р, ц (n > а0 или n > max{0,cr0}- 1 < р < +оо- 0 < ц < 1), a также от пространств, над которыми рассматривается задача (они могут быть как весовыми пространствами Соболева, так и Гельдера).

Вторая глава посвящена формулам для индекса общих эллиптических систем на плоскости. Она состоит из четырех параграфов.

В § 1 рассматривается Ш — линейная задача.

Г J&?(®, v = / G ®(Q), i7 € 2t (Q), 1 Re (Щх, @)v) =(p Gi {dQ J), где 05(Q), 21(Q),.

В § 2 получены необходимые и достаточные условия нетеровости задачи (3) и формула индекса оператора этой задачи в случае к = ?0 — 1, где к — максимальный из порядков граничных условий..

Пусть выполнены условия:.

7 г Фn-m + ji, ji = to + s",., t0 — 1, i = 1,., ?, при si < 0,.

4).

Зт ф ф-n + ji, ji = 0, l,-.-, to-ti-l, г = 1,.,?, при ti < ?o, где m, n — любые целые, to = max{i?, i = 1,2,.,^}, — раствор криволинейного сектора с вершиной в точке г (Е J.

T-?o + l? Nu{0}, rej. (5).

3) теорема 5. Пусть выполнены условия (4) и (5) и пусть его ¦= тах {<7ц} ^ — 1. Для нетеровости задачи (3) необходимо и достаточно выполнения условий:.

3е£ N ф 0 всюду на.

6).

1еЩт±- 0) ф0 тeJ, (7) det%'j (() ф О на прямой 11е (= (Зт — ?0 + 1, г = т5 <Е (8).

При выполнении последних индекс задачи дается формулой: та = ШгЫ ^ - ^Ш^+^ОУ^С) — &-%(тп -1).

3 = 1 и Л.

Г Л I у г.

3 = 1 ^ > ?=1 <=1.

9) где.

7=1 ^ ?=1 те/г ^ мет = -?(-*,•) т-1+.

7=1 ^ ¿-=о теа.

Рт-г о + +0—.

7 г т — ?0 — 81 — г) —.

7г.

1, 1.

Пусть (3 = {¡-Зт}, 7 = {7т} два весовых порядка, для которых выполнены условия (4), (5), (6), (7) и пусть з/р, <�я?у операторы соответствующие задаче (3) при /3 = (З.и /3 = 7. Тогда индексы з/р и связаны равенством тс!^ - тс!^ = ^ вт — (тс1£7 — т6.?р) — (тсШ7 — икЩ/з), где ±ST равен числу нулей концевого символа Tj — те 3 с учетом кратности) между прямыми Re С, — /Зг — ¿-о + 1, Re С = 7 Т — ?0 + 1. Знак «—» соответствует случаю (Зт < 7 Т, а «+» —.

А ^ 7т.

Здесь К, Uj © ~" это специальным образом определяемые матрицы по коэффициентам системы и краевых условий, при этом SC? © называем концевым символом задачи (подробнее см. стр. 28)..

В § 3 получены необходимые и достаточные условия нетеровости задачи (3) и формула индекса оператора этой задачи в случая к —^оЬ с" о?^о ^ 0. Пусть г = к + 1, где г — максимальный порядок системы..

Теорема б. Пусть выполнены условия (4), (5), (8) и пусть.

J ind^ = Indr^o ЧJ^bdb-r+i&fiQvJ1"-) ~ ir (m — 1).

3=1 l.

Y, {*,¦(«- + 1) + (t — tj)(to + tj — 1)}.

3=1.

J J/ k з=i i=i j=to rej.

-?to (ao + 1)|J — ?(cr0 + l) a0J/2 — ind? — indOT..

Пусть (3 = {/3T}, 7 = {7т} два весовых порядка, для которых выполнены условия (4), (5), (6), (7) и пусть з/р, ^ операторы соответствующие задаче (3) при (3 = (3 и (3 — 7. Тогда индексы g/р и связаны равенством т (- тс= Зт — (шс/£7 — тсНёр) — (шсШ7 — шсШ/з), та где ±-.5Т равен числу нулей концевого символа ©, т^ = т е ?7″ (с учетом кратности) между прямыми В, е (= (Зт—г+1, = 7Т—г+1. Знак «—» соответствует случаю ¡-Зт ^ 7 Г, а «+» — /Зт ^ 7 Т..

В § 4 рассматривается задача для правильно эллиптической системы г 0)" = /е.®-«?), I Щх,@)у = ср ее (<9д?г), где 03 (ф)? такие же как в (3)..

Получены необходимые и достаточные условия нетеровости задачи (10) и формула для индекса..

Теорема 7. Пусть выполнены условия (4), (5) и пусть его = тах ^ — 1. Для нетеровости задачи (10) необходимо и достаточно выполнения условий: аеЬ^аеЬ^ т^ 0 всюду на дQJ, (11).

1еЬЩт±0)(1еЬЩт±0)^0 т е J, (12) с1еЩ© ф 0, Яе (= Рт — ¿-о + 1, т = тjeJ, где £}© = diag (?%'lj, &23) концевой символ задачи. При выполнении последних индекс задачи дается равенством шс!^/ = ^ ^гй-1^ - ]Г — НКш — 1) л I т л.

-о 1¹ Е^++ ~± +ЕЕк- + ч.

7=1 7=1?=1 / л где [а] - целая часть числа а, шс?£, ш<39Т такие же как ив (9). Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 5..

Теорема 8. Пусть выполнены условия (4), (5), (8) и пусть <то ^ О, где <то = тах{о^}. Для нетеровости задачи (10) необходимо и достаточно выполнения условий (11) и (12). При выполнении последних индекс задачи равен половине правой части формулы (9). Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 6..

Четвертая глава посвящена приложению полученных результатов к краевым задачам для системы Стокса. Она состоит из пяти параграфов..

В § 1 Рассматривается задача вида.

Аи1- др дх.

Аи2 — др дх2 ди1 ди2 дх дх2 з {х € 0).

13) х, 9) и = ч> на дQJ, где I/ = (гл1, гл2, р)4 — столбец из неизвестныхр = и — кинематический коэффициент вязкости, который считаем постоянной, q — давление установившегося плоско-параллельного течения вязкой несжимаемой однородной жидкостии = (и1, и2) — компоненты вектора скорости..

Получена факторизация вида *В = Tdiag (Лl, Л2) Т~1 для эллиптической матрицы, соответствующей (13)..

В § 2 рассматривается для системы (13), где fi 6 г =.

1,2, /з е краевая задача с условиями: = л, ^ = 1,2, (14) и-7, = 1,2, и принадлежат и соответственно..

Получено необходимое и достаточное условие нетеровости задачи и формула индекса..

Теорема 9. Задача (13), (14) нетеровая тогда и только тогда, когда выполнено условие еЩ (() = (1 — (1 — е2^" 1)) х х (1 + е4^" 1) — е2^-1) ((С2 + 204вт2^ + 2со82^)))2 ф 0 на прямой = /Зт — 1, т = т, 6 5, — раствор криволинейного сектора с вершиной в точке т, 6.

При выполнении последнего индекс задачи дается формулой.

1 (— т ш*/ = - (ыгн — -1 ^(С)г/71 (С)+.

1-я +?.

3=1.

7г.

7г.

-3|Л-10(т-1)|.

Пусть (3 = {/?г} и 7 = {7Т} два допустимых весовых порядка, пусть з/р, ^ операторы, соотвествующие задаче (13), (14) при (3 = (3 и (3 = 7. Тогда индексы я^р, ^ связаны равенством тс! «й^у — т<3 &-/р =.

T?J.

It'.

7Г.

7t «1).

7г.

A*.

7г.

— 1).

7 г где ±-5Т равен числу нулей концевого символа ъ = т? с учетом кратности) между прямыми Яе (= (Зт — 1, Яе (= 7 Т — 1. Знак «-» соответствует случаю (Зт ^ 7 Т, а «+» — /Зт ^ ут..

В § 3 для системы (13) рассматривается краевая задача с условиями fc-ii + S&i2 = (pi € yj) (5(3 JT), г = 1, 2, чSu1. dw1 du2 сц (^) = 2——p, 0i2(u) = ^— +.

15) dx.

0x2 dxi' du1 dii2, ч.

СГ21Ы = + 7Г-, V22{u) = 2— -p,.

Доказана.

Теорема 10. Задача (13), (15) нетерова тогда и только тогда, когда выполнены условия.

3 — 16) (х) ф 0 всюду на J,.

3-iS)(т±0)ф0, rej. О еЩ© = (1- (l — e2^-^" 1)) (l + + х (C24sin2^ + С (1 — е-2^)(1 ~ e2ilpj) ~ 2*cos.2^))2 ф 0 на прямой Re (= ¡-Зт — 1, т — tj е J, (pj = arg (/3(rj — 0), <5(т^ - 0)) -arg^fo+O^ifo.+ O))..

При выполнении последнего индекс задачи дается формулой.

1 (т = - (МгК ^ - -1 (Оу]~ 1 © +.

А*.

7 г J| - 10(m — 1).

J Е i=i.

Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 9..

Pi-iA.

7Г.

16).

В § 4 для системы (13) рассматривается задача с краевыми условиями an (u)ni + ai2(u)n2 = ф{ е У¹^), i, j = 1,2, где {п, — нормаль к границе, cr? j (u), i, j = 1,2, такие же как в (15). Здесь Li, L2 — непересекающиеся части границы, каждая из которых состоит из объединения некоторго числа ra?, i = 1,2, связных компонент Го,., Гт границы, причем (J Tj = 8Q. Справедлива.

Теорема 11. Для нетеровости задачи (13), (16) необходимо и достаточно выполнение условия det^-© = (1 — еш*) (l — е2^" 1)) х (cos2№ (C — 1)) — (С — I)2 sin2 ф О на прямой Re (= — 1, т — Tj Е J..

При ?3T — 1 = 1 — ?j, где Sj > 0 — достаточно малое для любого Tj е J, индекс задачиравен -4j, Jчисло точек J. Для любых других (Зт индекс задачи дается формулой.

I > 4- > t П—4- i—p.-l¹ t? J.

1-еЛ.

7г.

-sj).

7 г где ±-5Т равен числу нулей т = т}- 6 J (с учетом кратности) между прямыми Де£ = (Зт — 1 и Яе (= 1 — е^. Знак «+» соответствует случаю ¡-Зт ^ 2 — е^, знак «—» — случаю (Зт ^ 2 — е^..

В § 5 вычислены концевые символы А. П. Солдатова краевых задач для системы Стокса..

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. Т. 49, № 3. 1964. С. 53−160..

2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:Наука, 1966..

3. Веку, а И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988..

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М:.ГИФМЛ, 1963..

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.:Наука, 1988..

6. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.:Наука, 1975..

7. Жура Н. А. О краевой задаче для эллиптических систем в областях с кусочно гладкой границей // ДУ. Т. 25, № 5. 1989. С. 839 843..

8. Жура Н. А., Солдатов А. П. Смешанно-контактная задача плоской теории упругости в областях с кусочно гладкой границей // ДУ. Т. 24, № 1. 1988. С. 55−64..

9. Жура Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для ээли-птических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем // ДУ. Т. 28, № 1. 1992. С. 91−91..

10. Жура Н. А. Нелокальная краевая задача для стационарной системы Стокса в многосвязной области // ДУ. Т. 27, № 1. 1991. С.51−59..

11. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. Т. 38, № 2. 1983. С. 3−76..

12. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравненийв областях с угловыми и коническими точками // Тр. Моск. мат. общества. Т. 16. 1967. С. 202−292..

13. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971..

14. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970..

15. Лопатинский Я. Б. Об одном типе сингулярных интегральных уравнений // Теоретич. и прикл. матем., Львов, вып. 2 1963. С. 53−57..

16. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев: Наук. думка, 1984..

17. Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Тр. Тбилисск. матем. инта. Т. 4. 1938. С. 43−76..

18. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // ДАН. Т. 210, № 3. 1973. С. 529−532..

19. Мусхелешвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.:Наука, 1968..

20. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.:Наука, 1991..

21. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений М.: Мир, 1979..

22. Радон И. О. О краевых задачах для логарифмического потенциала // УМН. Т. 1, вып. 3−4. 1946. С. 96−124..

23. Сираэюудинов М. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости // Изв. РАН, сер. матем. Т. 61, № 5. 1997..

24. Сираэюудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области // Матем. сб. Т. 184, № 11. 1993. С. 39−62..

25. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка // ДУ. Т. 25, № 1. 1989. С. 136−144..

26. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, № 3. 1990. С. 539−543..

27. Солдатов А. П. Общая краевая задача (&—1)-го порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 311, № 1. 1990. С. 3943..

28. Солдатов А. П. Смешанная задача теории упругости в областях с кусочногладкой границей // ДУ. Т. 23, № 1.1987. С. 161−167..

29. Солдатов А. П. Метод теории функций в эллиптических задачах на плоскости. 2. Кусочногладкий случай // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 56, № 3. 1992. С. 566−604..

30. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и краевые задачи теории функций. М.:ВШ, 1991..

31. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. I // Изв. АН СССР. Т. 28, № 3. 1964. С. 665−706..

32. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. II // Тр. матем. ин-та им. Стеклова. Т. СИ. 1966. С. 233−297..

33. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи эллиптических систем на плоскости. II. // Изв. РАН, сер. матем. 2000..

34. Магомедова В. Г. Краевые задачи для эллиптических систем по Дуглису-Ниренбергу. // Тезисы докладов четвертой СевероКавказской региональной конференции. Махачкала, 1997..