Решение системы уравнений методом Гаусса

Типовой расчет 1

Задача № 1. Решить систему уравнений (А) по формулам Крамера и методом Гаусса.

Решение А) по формулам Крамера Проверка:

Б) методом Гаусса Составляем расширенную матрицу системы:

Исходная система после преобразований:

Ответ: .

Задача № 2. Решить систему уравнений (В) матричным методом.

Решение Здесь — обратная матрица, .

Проверка:

Ответ: .

Задача № 3. Решить систему уравнений ©.

Решение Приведем систему к ступенчатому виду:

Очевидно, ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система является совместной.

Пусть — свободная переменная, Тогда:

Полагая,, частное решение системы:

Задача № 4. Даны вершины пирамиды

A1(1; -9; 2), A2(-2; -11; 5), A3(4; -12; 3), A4(-1; -10; 3)

Средствами векторной алгебры найти:

Объем пирамиды;

Площадь грани

Угол между ребрами и

Величину проекции вектора на направление вектора

Решение Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах

крамер гаусс векторный алгебра Найдем координаты этих векторов:

Тогда объем пирамиды:

Площадь грани :

Угол между ребрами и найдем по следующей формуле:

Типовой расчет 2

Задача № 1. Даны координаты вершин треугольника :

А (-7; -2), B (-19; -18), C (5; -11)

Найти:

Уравнение стороны ВС;

Уравнение высоты AD;

Уравнение медианы AM;

Угол В;

Длину высоты AD;

Длину медианы AM.

Решение Уравнение прямой, проходящей через точки B и C:

Высота AD, проведенная к стороне BC:

Уравнение стороны BC: .

Координаты точки M:

Тогда уравнение медианы AM:

Расстояние от точки A до прямой BC это есть длина высоты AD:

Уравнение прямой BC:

Длина медианы AM:

Задача № 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

Точки; Точку перпендикулярно прямой ;

Точку и прямую ;

Точку параллельно плоскости ;

Точки и параллельно оси Ох.

A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7), A3(5; 3; -9), A4(2; 2; -13)

р: 4x + 3y — 2z + 4 = 0

Решение Уравнение плоскости через 3 точки в общем виде:

Направляющий вектор прямой L1: s{-1;3;-1}. Следовательно, для искомой плоскости нормаль будет иметь координаты {-1;3;-1}, так как прямая и плоскость перпендикулярны.

Уравнение плоскости, проходящей через точку A1(4;1;-10):

A (x — 4) + B (y — 1) + C (z + 10) = 0,

где {A;B;C}- координаты вектора нормали к плоскости {-1;3;-1}. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку A1 перпендикулярно прямой L1:

-(x — 4) — 3(y — 1) + (z + 10) = 0;

— x — 3y + z +17 = 0 — уравнение искомой плоскости.

Плоскость, проходящая через точку М0(х0;у0;z0) и через прямую K

не проходящую через М0, представляется уравнением:

Получим:

Для двух параллельных плоскостей векторы нормалей коллинеарны. Поэтому для искомой плоскости вектор нормали совпадает с вектором нормали заданной плоскости: {4;3;-2}. Уравнение плоскости, проходящей через точку A3(5; 3; -9) и с вектором нормали {4;3;-2}:

4(x — 5) + 3(y — 3) — 2(z + 9) = 0;

4x + 3y — 2z — 47 = 0 — уравнение прямой, проходящей через точку A3 параллельно плоскости .

Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс имеет вид: By + Cz + D = 0 (1).

Если плоскость проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляем координаты точек A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7) в уравнение плоскости (1) и получаем систему двух уравнений:

Для определения коэффициентов A, B и D имеем систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Составляем матрицу коэффициентов этих уравнений:

Подставляем найденные значения в уравнение (1):

— 17ty + tz + 27t = 0;

— 17y + z + 27 = 0 — уравнение прямой, проходящей через точки A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7) параллельно оси Ох.

Задача № 3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через:

Точку параллельно прямой ;

Точки и ;

Точку перпендикулярно плоскости .

A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7), A3(5; 3; -9), A4(2; 2; -13)

р: 4x + 3y — 2z + 4 = 0

Решение Уравнение прямой, проходящей через точку A1(4; 1; -10):

Здесь {m;n;p} - координаты направляющего вектора прямой.

Так как искомая прямая параллельная прямой L1, тогда координаты их направляющих векторов пропорциональны. А это значит, что m = -1, n = 3, p = -1. Тогда искомое уравнение прямой:

Уравнение прямой, проходящей через точки A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7):

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M (x1,y1,z1) и перпендикулярной данной плоскости Ax+By+Cz+D=0

В нашем случае, уравнение прямой, проходящей через точку A1(4; 1; -10) перпендикулярно плоскости р: 4x + 3y — 2z + 4 = 0:

Задача № 4. Найти:

Угол между прямыми и ;

Угол между прямой и плоскостью ;

Расстояние от точки до плоскости .

A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7), A3(5; 3; -9), A4(2; 2; -13)

р: 4x + 3y — 2z + 4 = 0

Решение Воспользуемся формулой:

.

Получим:

Угол ш между прямой K (с направляющими коэффициентами l, m, n) и плоскостью Ах+By+Cz+D=0 находится по формуле:

Расстояние от точки до плоскости в общем виде:

В нашем случае, расстояние от точки A1(4; 1; -10)до плоскости р: 4x + 3y — 2z + 4 = 0 равно:

Задача № 5. Привести к каноническому виду уравнения (1) и (2) кривых второго порядка. Построить кривые.

(1) y2 — 3x — 2y + 7 = 0, (2) x2 + 4y2 + 4x — 8y — 56 = 0

Решение

y2 — 3x — 2y + 7 = 0;

Рис. 1

x2 + 4y2 + 4x — 8y — 56 = 0;

Рис. 2