Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в начальной школе

Введение

Глава 1. Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в традиционной системе обучения

1.1 Математические основы изучения умножения и деления в начальной школе

1.2 Методика изучения теоретических вопросов темы «Табличное умножение и деление»

1.3 Методика составления таблиц умножения и деления Глава 2. Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в системе Л.В. Занкова

2.1 Особенности дидактической системы Л.В. Занкова

2.2. Особенности изучения табличного умножения и деления в системе Л. В. Занкова Глава 3. Характеристика качества вычислительных навыков табличного умножения и деления, сформированных в различных условиях

3.1 Понятие полноценного вычислительного навыка

3.2 Качество вычислительного навыка табличного умножения и деления

3.3 Система заданий, направленных на повышение качества вычислительного навыка Заключение Список литературы Приложение

Формирование у школьников вычислительных навыков является одной из главных задач начального курса математики, поскольку вычислительные навыки необходимы как для дальнейшего обучения школьников, так и для их практической жизни.

В курсе математики начальной школы и в целом в математической подготовке младших школьников занимает исключительно важное место тема «Табличное умножение и деление». Главная задача в работе над данной темой состоит в том, чтобы, с одной стороны, сформировать у учащихся полноценные вычислительные навыки, а с другой — начать хорошо продуманную перспективную подготовку к введению и последующему усвоению ими приемов внетабличного и письменного умножения и деления.

В связи с этим необходимо организовать учебный процесс так, чтобы повысить качество формируемых навыков. В практике работы традиционной школы с этой целью делаются попытки разнообразить задания и упражнения, выполняемые на разных этапах закрепления. Но, как правило, они основаны на репродуктивной деятельности, однообразны и не вызывают интереса у детей.

Параллельные и интегрированные курсы, альтернативные системы обучения, направленные на развитие учащихся, предлагают свои подходы к решению проблемы, связанной с формированием навыков табличного умножения и деления.

Все это требуют от учителя изучения различных методик, критического осмысления и переработки информации, отбора приемов и средств, способных оказать положительное влияние на процесс обучения младших школьников.

Таким образом, актуальность темы и потребность практики работы школы обусловили ее выбор.

Цель: изучить методику формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления в различных системах обучения.

Объект исследования: процесс формирования у младших школьников вычислительных навыков.

Предмет исследования: деятельность учителя по формированию у младших школьников вычислительных навыков табличного умножения и деления в различных условиях обучения и деятельность учащихся в этом процессе.

Гипотеза: обогащение процесса формирования навыков табличного умножения и деления в традиционной системе обучения специальными учебными заданиями будет способствовать повышению качества вычислительных навыков.

Задачи:

1) изучить психолого-педагогическую и научно — методическую литературу по данной теме;

2) раскрыть методику изучения основных вопросов темы «Табличное умножение и деление» в различных системах обучения;

3) выполнить сравнительный анализ качества вычислительных навыков, сформированных в различных условиях;

4) разработать систему учебных заданий, направленных на повышение качества вычислительного навыка.

Методы исследования:

1) анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы и продуктов деятельности учащихся;

2) педагогическое наблюдение;

3) констатирующий эксперимент;

4) обобщение.

База исследования: 3 «А» и 3 «Б» классы Горшеченской СОШ № 1. Учителя: Быкова Е. Л., Шуклова Н.В.

Практическая значимость: разработанные по теме исследования задания помогут учителю проводить более эффективную работу по формированию навыков табличного умножения и деления, как в традиционной, так и в альтернативной системах обучения.

Структура работы определялась логикой исследования и поставленными задачами. Она включает введение, три главы, заключение, список литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность исследования, определены проблема, цель, объект, предмет, задачи, гипотеза и методы исследования, показана теоретическая и практическая значимость, а так же охарактеризованы этапы работы.

В первой главе раскрывается содержание и сущность методики формирования вычислительного навыка табличного умножения и деления в традиционной системе обучения.

Во второй главе дается характеристика методики изучения табличного умножения и деления в альтернативной дидактической системе обучения Л. С. Занкова.

В третьей главе дается характеристика качества вычислительных навыков табличного умножения и деления, сформированных в различных условиях, а так же представлена система заданий и упражнений на повышение качества навыков учащихся по теме.

В заключении обобщены результаты исследования, сформулированы основные выводы, подтверждающие гипотезу.

В приложении содержатся материалы опытно-экспериментальной работы, не вошедшие в основной текст выпускной квалификационной работы.

Глава 1. Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в традиционной системе обучения

1.1 Математические основы изучения умножения и деления в начальной школе

Перед тем, как перейти к рассмотрению методики изучения табличных случаев умножения и деления в начальных классах, необходимо выявить математические основы изучения арифметических действий, установить их важнейшие законы и правила, также взаимосвязь их компонентов и результатов.

Рассмотрим сначала подход к определению произведения, в основе которого лежит понятие суммы.

«Произведением целых неотрицательных чисел, а и b называется такое целое неотрицательное число, а * b, которое удовлетворяет следующим условиям:

1)а*b = а + а + … + а при b > 1;

b слагаемых.

2) а * 1 = а при b = 1;

3) а* 0 = 0 при b = 0.

Теоретико-множественный смысл этого определения сводится к следующему: «Если множества А₁, А₂… А_Ь имеют по, а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит, а * b элементов. Следовательно, произведении, а * b — это число элементов в объединении b попарно не пересекающихся множеств, каждое из которых содержит по, а элементов. Равенства, а * 1 = а и, а * 0 = 0 принимаются по условию». [1; 5−9]

Действие, при помощи которого находится произведение чисел, а и b, называют умножением; числа, которые умножают, по тому же определению называют множителями.

В математике доказано, что произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

В начальных классах смысл умножения раскрывается при решении простых задач. Рассмотрим, например такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?».

Данная задача решается умножением, так как здесь требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4 * 6 = 24 (пуговицы) [1; 12]

Рассмотрим также и другое определение произведения целых неотрицательных чисел, существующее в математике. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества:

А = Ххб уб ябЪ и

В = Хтб еб кб ыЪю

Найдем их декартово произведение, исходя из математических законов. Запишем его в виде прямоугольной таблицы:

(x, n), (x, t), (x, r), (x, s),

(y, n), (y, t), (y, r), (y, s),

(z, n), (z, t), (z, r), (z, s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары.

Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении, А * В равно 3 + 3 + 3 + 3 = 12. С другой стороны, n (А) = 3, n (В) = 4 и 3 * 4 = 12. Видим, что число элементов, А и В равно произведению n (А) * n (В) Вообще если, А и В — конечные множества, то: «произведение целых неотрицательных чисел, а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств, А и В, где n (А) = а, n (В) = b:

а * b = n (А * В), где n (А) = а, n (В) = b [1; 16]

При изучении табличного умножения в начальных классах имеет место переместительный, или коммутативный, как обозначено в высшей математике, закон умножения:

«Для любых целых неотрицательных чисел, а и Ь справедливо равенство:

а * b = b * а".

Докажем данный закон, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств. Пусть, а = n (А), b = n (В).Тогда по определению произведения, а * b = n (А * В). Но множества, А * В и В * А равномощны: каждой паре (а, b) из множества, А * В можно поставить в соответствие пару (b, а) из множества В * А, и наоборот. Значит, n (А * В) = n (В * А), и поэтому, а * и = т (А * В) = т (В * А) = и *ф Переместительный закон умножения можно распространить на любое число множителей, то есть произведение нескольких множителей не изменяется, если их переставить любым способом.

Понятие конкретного смысла арифметического действия деления сформулируем через определение частного целого неотрицательного числа, а и натурального числа b.

«Пусть, а = n (А) и множество, А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. 1; 16−17]

Если b — число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел, а и b называется число элементов каждого подмножества.

Если b — число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел, а и b называется число подмножеств в этом разбиении" [1; 16−17].

Действие, при помощи которого находим частное, а/b, называется делением, при этом число, а — делимое, b — делитель.

Рассмотрим другое определение частного:

«Частным целого неотрицательного числа, а и натурального числа b называется такое неотрицательное число с = а/b, произведение которого и числа b равно а». Из данного определения вытекает взаимосвязь арифметических действий, которую мы изобразим следующим образом:

a/b=c <=> a=c*b [1; 20].

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Отсюда вывод: деление есть действие, обратное умножению.

При определении конкретно смысла действия деления необходимо рассмотреть вопрос о существовании частного и его единственности. В математике существует следующая теорема:

«Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел, а и b, необходимо, чтобы b < а». Иными словами делитель всегда должен быть не больше делимого.

Докажем данное утверждение. Пусть частное натуральных чисел, а и b существует, то есть существует такое натуральное число с, что, а = с * b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1 < с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b < с * Ь. Поскольку с * b = а, то b < а. Теорема доказана.

Рассмотрим также частный случай, когда, а = 0 и вычислим, чему равно в данном случае с, то есть частное. По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с * b = 0. Так как b не равно 0, то равенство с * b = 0 будет выполняться при с = 0, следовательно, 0 / b = 0, если b Є N

Второе утверждение, требующее доказательства, звучит так:

«Если частное натуральных чисел, а и b существует, то оно единственно» [1; 22].

Рассмотрим теперь вопрос, также существенный при обучении математике в начальных классах, о невозможности деления целого неотрицательного числа на нуль.

Пусть даны числа, а не равно 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел, а и b существует. Тогда по определению частного существует такое целое неотрицательное число с, что, а = с * 0, тогда, а = 0. Пришли к противоречию с условием, следовательно, частное чисел, а не равно 0 и b = 0 не существует.

Если, а = 0 и b = 0, то из предложения, что частное этих чисел, а и b существует, следует равенство 0 = с * 0, истинное при любых значениях с, то есть частным чисел, а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно. [1; 23−24]

В начальном курсе математики первоначальные представления о делении формируются на основе практических упражнений, связанных с разбиением множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, но без введения соответствующей терминологии и символики. Главным средством раскрытия этого понятия деления является решение простых задач. В начальных классах изучается два вида задач на деление: по содержанию и на равные части.

Например, «8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?» или «12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?»

Таким образом, в начальном курсе математики конкретный смысл умножения и деления представлен с теоретико-множественных позиций. Смысл арифметического действия умножения раскрывается как двухступенчатый период:

1)от операции объединения равночисленных множеств с пустым пересечением к сложению одинаковых слагаемых;

2)от сложения одинаковых слагаемых к умножению. [15; 29]

Конкретный смысл действия деления представлен как разбиение данного множества на ряд равночисленных подмножеств.

Определение деления как действия, обратного умножению, в явном виде не дается. Взаимосвязь деления и умножения устанавливается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя».

Определив математические законы и положения, лежащие в основе изучения табличного умножения и деления в начальном курсе математики, приступим к рассмотрению методики изучения данной темы.

1.2 Методика изучения теоретических вопросов темы «Табличное умножение и деление»

Табличное умножение и деление, как определено программами начальной школы, изучается во втором — третьем классе. Эта тема является одной из основных тем программы по математике.

Считаем необходимым установить, какие случаи умножения и деления относятся к табличным. К табличному умножению, как указано в методических пособиях, относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, например, 6 3, соответствующие случаи деления также называют табличными, например:

18 6.

М.А. Бантова, Т. В. Бельтюкова, Н. М. Полевщикова, Н. П. Фаустова и ряд других авторов в методике изучения табличного умножения и деления выделяют два этапа. На первом этапе формируются знания о самих действиях умножения и деления, их свойств и других теоретических вопросов; на втором главное внимание уделяется усвоению учащимися таблицы умножения и соответствующих случаев деления.

На первом этапе, прежде всего, раскрывается конкретный смысл умножения и деления. Т. В. Бельтюкова и ее соавторы отмечают, что целесообразно умножение и деление с начала их изучения рассматривать раздельно, поскольку главным при этом является раскрытие не взаимосвязи между ними, а конкретного смысла этих действий.

В первом — втором классах формируется умение осуществлять переход от операции объединения равночисленных множеств к сложению одинаковых слагаемых, что указано в работах Т. В. Бельтюковой, М. И. Моро, Н. П. Фаустовой и других авторов-методистов. Данная работа является подготовительной к изучению конкретного смысла действия умножения. С этой целью детям предлагаются для выполнения следующие задания:

«а) Положи по 3 красных и зеленых круга. Сколько всего кругов ты положил.

б) У мальчика было по 2 красных, зеленых и синих карандаша. Сколько всего карандашей было у мальчика?

в) В первой коробке 3 карандаша, во второй 6, в третей — 8. Сколько всего карандашей в трех коробках?"

Н.П. Фаустова утверждает, что наиболее эффективно иллюстрировать подобные задачи на первых этапах с помощью предметов, а затем с использованием «картинок с точками». Результат всех приведенных задач находится сложением.

С помощью использования картинок с точками возможны разнообразные творческие задания по проверке знаний, умений и навыков: нарисовать «картинку с точками» к предложенной ситуации, по данной «картинке с точками» придумать ситуацию, по заданному арифметическому действию нарисовать «картинку с точками» и др.

М.И. Моро, А. М. Пышкало указывают, что подготовкой к изучению табличного умножения и деления будет служить прочное усвоение таблиц сложения и вычитания в пределах 10. Дети учатся присчитывать (прибавлять) по 2 к данному числу и отсчитывать по 2 от данного числа (вычитать несколько раз по 2). В связи с этим специальное внимание, пишут М. И. Моро, А. М. Пышкало, уделяется усвоению рядов чисел, которые при этом получаются (1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10). Аналогично по ходу рассмотрения любых случаев сложения и вычитания рассматриваются случаи прибавления (вычитания) по 3, по 4, и т. д. Работа в этом направлении продолжается в течение всего первого учебного года, а в конце его специально рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением суммы одинаковых слагаемых. «Причем здесь уже ставится целью научить детей понимать выражения по стольку-то взять, столько-то раз».

Внимание детей каждый раз обращается на то, что слагаемые одинаковые, каждый раз выясняется, сколько таких слагаемых, чему равна их сумма. Именно с этого момента начинается знакомство с действием умножения через нахождение суммы одинаковых слагаемых. При переходе к умножению дети должны усвоить связь между сложением и умножением, научиться понимать смысл каждого компонента произведения: число, которое берется слагаемым, — первый множитель; число, которое показывает, сколько одинаковых слагаемых, — второй множитель.

На этапе ознакомления с конкретным смыслом арифметического действия умножения осуществляется переход от сложения одинаковых слагаемых к арифметическому действию умножения. Причем, как отмечено у Н. П. Фаустовой, происходит это в следующей последовательности:

а) выполнение операции объединения данного числа равночисленных множеств с заданной численностью;

б) нахождение численности получившегося множества;

в) установление связи между операцией объединения равночисленных множеств с пустым пересечением с арифметическим действием умножением.

Для усвоения связи умножения со сложением, а также для проверки знаний по данному вопросу полезно, как считает М. А. Бантова и др., предлагать такие упражнения: чтение примеров на умножение, запись аналогичных примеров на сложение и умножение, решение простых задач на нахождение произведения сложением и умножением.

Очень важно, по утверждению М. А. Бантовой, что учащиеся поняли, при каких обстоятельствах возможна замена суммы произведением и когда она невозможна. Этому помогает решение примеров с одинаковыми и разными слагаемыми.

Полезно также, по мнению М. А. Бантовой, научить детей вести рассуждение при замене произведения суммой по определенному плану:

Первый множитель …, значит слагаемым берем число…

Второй множитель …, значит, таких слагаемых надо взять…

Вычисляю сумму.

Данный план приведен в работе Н. П. Фаустовой. С М. А. Бантовой сходно мнение М. И. Моро, А. М. Пышкало, которые предлагают для рассуждения и анализа включать примеры вида: 28 + 2 + 8, 7 + 4 + 47 и т. п.

При вычислении суммы одинаковых слагаемых Н. П. Фаустова считает целесообразным знакомство детей с приемом группировки слагаемых (без введения этого термина) и использовать этот прием тогда, когда это удобно.

Для закрепления и проверки знания конкретного смысла умножения методисты предусматривают следующие виды заданий.

Так, Н. П. Фаустова разрабатывает задания с использованием «картинок с точками»:

Составьте по «картинке с точками» (рисунку) примеры на сложение.

Замените, где возможно, примеры на сложение примерами на умножение.

по данным примерам 4 + 3 и 4 3 выполни «картинку с точками». Сравните примеры и решите их.

Аналогичные задания описаны в работах М. А. Бантовой с тем лишь различием, что вместо «картинок с точками» используются рисунки.

Полезными большинством методистов признаются задания типа:

Решите задачу сначала сложением, а затем запишите умножением: «Купили 3 коробки карандашей по 6 штук в каждой. Сколько всего карандашей купили?»

Сравните выражения и поставьте вместо звездочек соответствующий знак >, < или =:

18 2 * 18 3 3 4 * 2 4

4 + 4 + 4 * 4 2 4 7 + 4 * 4 9

Также М. А. Бантова находит возможным в упражнения на закрепление и проверку осознания конкретного смысла умножения включать примеры не только с однозначными множителями (4 3), но и с двузначными (12 3). Это делается с той целью, «чтобы учащиеся на данной ступени практически пользовались известной им взаимосвязью между умножением и сложением, упражнялись в выполнении различных случаев сложения.

Найдите результат второго примера, пользуясь первым:

2 7 = 1 7 4 = 28 15 2 =30

2 8 = 8 4 = 15 3 =

Этому приему нахождения произведения с опорой на произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, Н. П. Фаустова уделяет большое внимание, так как он используется при составлении таблиц умножения.

Таблицу умножения двух на рассматриваемом этапе М. А. Бантова предлагает читать так: 2 умножить на 3, получилось 6, или по 2 взять 3 раза, получится 6.

Далее изучается переместительное свойство умножения. Знание этого свойства дает возможность почти вдвое сократить число случаев, запоминаемых наизусть. Вместо двух примеров (8 3 и 3 8) ученики запоминают только один. М. А. Бантова, М. И. Моро, А. М. Пышкало утверждают, что это свойство может быть открыто учащимися, если хорошо организовать практическую работу на уроке.

Усвоению, а также проверке усвоения переместительного свойства умножения помогают упражнения, аналогичные приведенным в работе М. А. Бантовой, Т. В. Бельтюковой и др.:

1) вычислите результаты второго примера, пользуясь результатами первого: 7 6 = 42 и 6 7 = …;

2) сравните выражения и поставьте вместо звездочек знак >, < или =:

6 3 * 3 6;

3) вставьте вместо звездочек пропущенный значок действия:

7 * 2 = 2×7;

вставьте пропущенное число:

2 3 = 3 .

Выполняя каждое упражнение, учащиеся должны сравнить, что в произведениях множители переставлены, значит, произведения равны. На этом же основании подбирается знак действия и число. Выполнение подобных упражнений по программе 1 — 3 подводит детей к записи свойства в общем виде.

Конкретный смысл действия деления раскрывается в процессе решения простых арифметических задач на деление по содержанию и на равные части. В данном вопросе мнение методистов едино.

Отмечается, что ученики должны научиться по условию задачи выполнять операцию разбиения данного множества на равночисленные подмножества и связывать эту операцию с арифметическим действием деления.

Знакомство с действием делением начинается с задач на деление по содержанию. Приведем пример такой задачи: «6 карандашей раздали каждому ученику по 2. Сколько учеников получили карандаши?». Задача решается практически, после чего учитель сообщает, что эта и подобные задачи решаются с помощью нового арифметического действия, которое называется делением, как записывается решение задачи, как читается соответственно эта запись.

Далее вводятся задачи на деление на равные части, которые дети уже решали раньше, но устно без записи. Учитель показывает, что и эта задача решается делением, дает образец записи. В дальнейшем, замечают М. И. Моро, А. М. Пышкало, задачи на деление решаются либо с использованием рисунков учебника, либо с помощью схематических рисунков, которые выполняют в ходе решения сами учащиеся. Использование таких иллюстраций на данном этапе необходимо, так как они служат средством решения задачи, единственно доступным детям до того момента, когда они смогут решать задачи на деление, опираясь на знания соответствующих случаев табличного умножения и знания связи между делением и умножением.

Н.П. Фаустова предлагает иллюстрировать арифметические задачи на деление с помощью «карточек с точками».

Следующим этапом в изучении темы является усвоение связей между компонентами и результатами действий умножения и деления. Ему предшествует знакомство с названиями компонентов и результатов действий умножения и деления. Здесь же дети узнают, что термины «произведение» и «частное» обозначают не только результат действия, но и соответствующее выражение например: 4 3 и 20 5. Далее, указывают методисты, следует произвести работу по обобщению двух видов деления, к которому учащиеся подходят путем сравнения решений пар простых задач с одинаковыми числовыми данными на деление по содержанию и на деление на равные части. На основе изученного материала вводятся приемы умножения и деления с числами 1 и 10.

Важно при изучении вопросов теории готовить детей к запоминанию табличных случаев. С этой целью можно провести следующий вид работы: разбившись парами и стоя лицом друг к другу, дети считают «про себя», одновременно выполняя под счёт движения. Вслух произносятся кратные того числа, через которое ведётся счёт (при счёте через 2 вслух называются числа 2, 4, 6…; при счёте через 3 — числа 3, 6, 9… и т. д.). Называя кратное, дети касаются ладоней друг друга (как в считалочках). Остальные движения могут выбираться произвольно: хлопнуть в ладоши, коснуться руками плеч, ног, головы, топнуть ногой и т. п.

В итоге синхронного исполнения движений происходит непроизвольное запоминание чисел, которые учащиеся проговаривают вслух. Таким образом, они фактически выучивают в процессе игры таблицу умножения задолго до её введения. Вместе с тем, «ритмическая музыка», которая «звучит в классе, объединяет детей, вырабатывает у них чувство защищенности, снимает напряжение от пассивного восприятия. Поэтому целесообразно использовать ритмические игры для проведения физкультминуток. Их можно проводить на переменах и после занятий [32; 98].

Счёт через 2. Хлопнуть в ладоши (1), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «два» (2), хлопнуть в ладоши (3), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «четыре» (4) и т. д.

Счёт через 3. Коснуться руками ног (1), хлопнуть в ладоши (2), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «три» (3), коснуться руками ног (4), хлопнуть в ладоши (5), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «шесть» (6) и т. д.

Счёт через 4. Коснуться рукой правой ноги (1), коснуться рукой левой ноги (2), хлопнуть в ладоши (3), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «четыре» (4) и т. д.

Счёт через 5. Коснуться рукой правой ноги (1), коснуться рукой левой ноги (2), коснуться руками плеч (3), хлопнуть в ладоши (4), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «пять» и т. д.

Счёт через 6. Коснуться рукой правой ноги (1), коснуться рукой левой ноги (2), коснуться рукой правого плеча (3), коснуться рукой левого плеча (4), хлопнуть в ладоши (5), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «шесть» и т. д.

Счёт через 7. Топнуть правой ногой (1), топнуть левой ногой, (2) коснуться рукой правой ноги (3), коснуться рукой левой ноги, (4) дотронуться двумя руками до плеч (5), хлопнуть в ладоши (6) прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «семь» и т. д.

Счёт через 8. Топнуть правой ногой (1), топнуть левой ногой (2) коснуться рукой правой ноги (3), коснуться рукой левой ноги (4), дотронуться рукой до правого плеча (5), дотронуться рукой долевого плеча (6), хлопнуть в ладоши (7), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «восемь «и т.д.

Счёт через 9. Топнуть правой ногой (1), топнуть левой ногой (2), коснуться рукой правой ноги (3), коснуться рукой левой ноги (4), дотронуться рукой до правого плеча (5), дотронуться рукой до левого плеча (6), дотронуться до головы (7), хлопнуть в ладоши (8), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «девять» и т. д. 32; 98−99]

Начинать надо медленно с называния чисел хором в прямом и обратном порядке и одновременного выполнения движений для счёта через 2. Когда дети не будут задумываться над последовательностью движений и смогут сосредоточить своё внимание на проговаривании кратных, можно перейти к «счёту через 2» (снять проговаривание чисел 1, 3, 5…). Темп должен быть таким, чтобы у детей оставалось ощущение успеха. Если на физкультминутках регулярно заниматься этими упражнениями, то темп будет ускоряться. К следующему ритмическому упражнению («счёт через 3») целесообразно переходить лишь тогда, когда предыдущее упражнение будет выполняться в достаточно быстром темпе, станет привычным для детей, и каждый ребёнок класса легко проговаривает кратные числа без выполнения движений. При этом сначала осваивается «ритмический рисунок» (движения со счётом хором соответственно до 30, 40 и так далее.) и только после этого — ритмический счёт.

Проведение ритмических игр оказывает положительное влияние на развитие двигательного и эмоционального мышления, внимания, умения слушать других, формируются навыки общения, происходит необходимая детям психологическая разгрузка.

Знания о действиях умножения и деления, а также умения, полученные учащимися на первом этапе, являются основой изучения на втором этапе табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления. От качества их усвоения зависит процесс формирования вычислительных навыков.

Далее рассмотрим методику работы на втором этапе изучения табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления в традиционной образовательной системе.

1.3 Методика составление таблиц умножения и деления

Составление каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления ведется примерно по одному и тому же плану, с постепенным усилением доли самостоятельного участия детей в этой работе. При составлении таблиц используются все те приемы, которые были уже усвоены детьми на предыдущих уроках.

Начинается работа по изучению каждого случая таблицы умножения и деления (с числом 2, 3 и т. д.) с составления таблицы по постоянному первому множителю. При таком подходе в большей мере используется хорошо усвоенный детьми смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых. Дети легко устанавливают связь каждого следующего примера из таблицы с предыдущим. Однако уже здесь с самого начала (начиная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать для получения результата переместительное свойство произведения. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вычисляя произведение 2*9, можно заменить этот пример другим: 9*2 — и найти результат так: 9+9=18 [28; 185].

Каждая составляемая впервые таблица умножения того или иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уловили и принцип ее составления. Таблица записывается на доске столбиком, затем по отношению к каждому из примеров составляется соответствующий ему пример, получаемый перестановкой множителей, и два примера на деление. С такой работой дети тоже уже хорошо знакомы. Часть работы, поэтому можно выполнить под руководством учителя, а остальную — поручить детям проделать самостоятельно. Эта работа должна обязательно дублироваться на доске, чтобы в тетрадях оказались правильно записанные таблица умножения и соответствующие таблицы деления [28; 186].

Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух одинаковых чисел (например, при изучении умножения четырех: 4*4), так как все предыдущие случаи умножения данного числа являются уже известными — они могут быть получены в рассмотренных ранее таблицах, если переставить множители.

На это обстоятельство стоит обратить специальное внимание детей, а в итоге после рассмотрения каждой таблицы выписывать отдельно те новые случаи из данной таблицы, которые должны быть усвоены на память. Таких случаев всего 36 [28; 186]. .

При составлении таблиц полезно использовать наглядные пособия. Это могут быть карточки с изображенными на них парами, тройками и т. п. предметов; «числовые фигуры»; разбитые на равные квадраты прямоугольники; квадратный дециметр, разбитый на квадратные сантиметры, и вырезанный из картона угол, с помощью которого можно отделить заданное число квадратных сантиметров на этом пособии.

При составлении таблиц с использованием этих пособий следует обращать внимание детей на то, как может быть получен каждый следующий результат в рассматриваемой таблице из предыдущего, отрабатывать знание соответствующих рядов чисел. На рисунке 1 показано, как с помощью числовых фигур, на каждой из которых изображено по 3 кружка, можно иллюстрировать произведения при составлении таблицы умножения трех.

Рис 1.

Числа, надписанные над фигурами (например. 6), показывают, сколько взято фигур (второй множитель равен 6), внизу под каждой фигурой записано соответствующее произведение (18). Дети, должны хорошо понять, что его можно получить, пересчитав все кружки, изображенные на этих шести фигурах [28; 186].

Разобрав такую иллюстрацию один раз, можно в дальнейшем использовать соответствующие рисунки, данные в учебнике по каждой таблице.

Эта же иллюстрация позволяет объяснить наглядно и получение соответствующих частных (внизу записано делимое, а число, записанное сверху, будет указывать, сколько раз по 3 пришлось взять, чтобы его получить).

На этих рисунках, правда, не записаны числа, указывающие номера фигур; деты должны подсчитывать их число для определения результата. Это делает работу с иллюстрацией еще более сознательной. Работа по таким иллюстрациям служит хорошей подготовкой к рассмотрению сводной таблицы умножения, данной на обложке учебника.

После рассмотрения каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления на всех следующих уроках должна проводиться систематическая работа по запоминанию таблиц. Установка на запоминание должна быть с самого начала задана детям. Случаи, которые должны быть усвоены на память, каждый раз выписываются не только в ходе классной работы, но и дома на специально отведенной для этого странице тетради. [28; 187].

Для запоминания легче более краткие формулировки при чтении примеров на табличное умножение. Поэтому их необходимо своевременно ввести и использовать наряду с известными. Это формулировки вида: «2 на 2—4», «6 на 3—18» (или «дважды два — четыре», «трижды шесть— 18»).

В ходе заучивания таблиц важно разнообразить задания, постановку вопросов, внешнюю форму предъявления соответствующих упражнений. Это и решение заданных примеров из таблицы (подряд и вразбивку), и составление учащимися следующего примера из таблицы (например, дается учителем: 6*4= …, ученик отвечает: 24 — и называет следующий пример: 6*5, его решает другой ученик и т. п.), и составление примеров по заданному ответу (на умножение или на деление), причем в данном случае может быть получено не одно решение (12=3*4, 12=2*6, 12=12*1). С ответом 3 может быть получено много примеров на деление и т. п., составление по данному примеру на умножение соответствующего примера на деление, а еще лучше — наоборот, по заданному примеру на деление составлять соответствующий пример на умножение и т. п. Эти упражнения могут быть предложены в игровой форме.

Полезно практиковать решение примеров «цепочек» вида: 2*3*4, 2*6*3, 7*8:8, 6*4:3, 27:3*4 и т. п.

Приведем образцы некоторых более трудных, но интересных упражнений, которые полезно использовать в то время, когда уже навыки табличного умножения и деления должны отшлифовываться:

1) составьте все, какие можно, примеры на умножение двух чисел с ответом 12 (2*6, 6*2, 3*4, 4*3, 12*1, 1*12,) с ответом 16, 20, 24, 26 и т. п. (некоторые дети, выполняя такие упражнения, приводят и примеры на внетабличное умножение и деление. Правильность их можно проверить с помощью сложения, например 12*2=24. Проверка: 12+12=24 и. т. п.);

2) из данных чисел выписать (или подчеркнуть, если числа записаны на доске) числа, которые делятся на 2 (на 3, на 4 и т. п.). Предлагать числа можно в любом порядке, например: 8, 11, 16, 15, 10, 14, 17, 9 или 21, 13, 12, 20, 6, 15, 18, 32 и т. п.;

3) заменить каждое из следующих чисел произведением трех множителей, например: 12=2*2*3; 18=…; 36=…; 64=…; 56=…; 40=., и т. п.

Решаются такие примеры подбором. Например, желая подобрать 3 числа, дающие в произведении 18, начнем с числа 2. Попробуем умножить на 2: 2*2=4. Нет такого третьего числа, чтобы 4, умноженное на это число, дало 18. Значит, 2*2 не подходит. Попробуем 2*3=6. Это подойдет, так как 6*3=18. Запишем; 18=2*3*3. Другое решение: 18=3*3*2 и т. д.;

4) тоже довольно трудное упражнение — составить все возможные примеры на умножение и деление с данными числами так, чтобы и компоненты и результаты действия были числами из данного ряда, например 12, 6, 3, 8, 4, 2, 18. Приведем решение:

12:6 12:2 6:2 3*4 2*6 18:6

12:3 6*2 6:3 3*6 4:2 2*2

12:4 6*3 3*2 4*3 18:3 2*3

После изучения всех случаев табличного умножения и деления рассматриваются вопросы, связанные с умножением и делением нуля на нуль [28; 187−188].

По отношению к правилу умножения числа на 0 следует сделать оговорку. Никаких разъяснений здесь быть не может, учителю следует придерживаться той формулировки, которая дана в учебнике. Невозможность деления на 0 может быть пояснена ссылкой на связь между умножением и делением. В самом деле, если бы мы захотели разделить на 0 какое-то число, например 6, то это значит, что надо было бы найти такое число, которое при умножении на 0 (на делитель) дало бы 6 (делимое), но при умножении на 0 любого числа мы получим всегда 0. Значит, такого числа найти нельзя и делить на нуль нельзя[28; 188].

Таким образом, в традиционной системе обучения таблицы умножения и деления составляются по первому постоянному множителю после изучения необходимой теории и раскрытия приемов вычисления.

Глава 2. Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в системе Л.В. Занкова

2.1 Особенности дидактической системы Л.В. Занкова

Первым, кто в период советской школы совместил решение практических задач с теоретическими исследованиями, был ученик Л. С. Выготского известный педагог, психолог Л. В. Занков (1901 -1977). С 1957 по 1960гг. его лаборатория работала в одном из классов 172 школы г. Москвы. С 60 по 80 гг. XX в. прошел массовый эксперимент, охвативший 1300 начальных классов [30; 21].

Целостность системы обучения Л. В. Занкова обеспечивается, прежде всего, единой педагогической идеей — максимальной эффективностью обучения для общего развития школьников[30; 21].

В основу системы были положены теоретические положения Л. С. Выготского, который еще в 30-е гг. разработал концепцию развивающего обучения, исходящую из положения, что обучение опережает развитие. При этом обучение опирается не столько на существующие интеллектуальные свойства ребенка, сколько на те, которые отсутствуют, но для возникновения которых уже имеются предпосылки. Л. С. Выготский различал два уровня развития ребенка: актуальный, уже сформировавшийся и зону ближайшего развития. Зона ближайшего развития определяется теми видами, ребенок не может выполнить самостоятельно, но легко справляется с ними с помощью учителя. Развивающим, по Выготскому, является только то обучение, которое опирается на зону ближайшего развития Система, разработанная Л. В. Занковым, нацелена на учение без двоек и принуждения, на учение с радостью, на развитие у детей устойчивого интереса к знаниям и потребности в самостоятельном их поиске. Система отличается верой в ребенка, в его силы. Система принимает ребенка таким, каков он есть [30; 21].

Воссоздание дидактической системы Л. В. Занкова требует не только осмысления теоретических оснований развивающего обучения, но и обязательного сохранения того особенного, что отличает эту систему от других систем развивающего обучения:

· направленность учебного процесса на общее развитие школьников, т. е. развитие их интеллекта, воли, чувств, духовных потребностей;

· внимание к внутреннему миру ребенка, предоставление ему возможности проявления индивидуальности, личностного опыта, интересов и склонностей детей;

· соотношения эмпирических и теоретических знаний в содержании обучения с преобладающей ролью теоретических знаний;

· осуществление пути познания мира от конкретного, при вычленении признаков объекта или явления, к абстрактному, при осмыслении и установлении их сущности, и возвращение к конкретному на основе уже познанной сущности. Такой путь осуществляется за счет единства проявления компонентов психической деятельности: анализирующего наблюдения; абстрактного мышления и практических действий;

· построение обучения с опорой на дидактические принципы системы;

· изучение продвижения детей в развитии наблюдательности, мышления, практических действий, эмоционально-волевых качеств [30; 22].

В системе обучения Л. В. Занкова выделяется ряд принципов:

1. Принцип обучения на высоком уровне трудности.

В соответствии с ним процесс обучения нацелен на познание сущности изучаемых явлений, связей и зависимостей между ними. Реализация этого принципа в процессе обучения математике тесно связана с целенаправленной работой по формированию у детей приемов умственных действий. При реализации данного принципа можно предлагать школьникам только такой математический материал, который может быть осмыслен ими, т. е. он должен быть связан с ранее усвоенными знаниями, умениями и навыками.

2. Принцип обучения более быстрым темпом.

Он исключает однообразие, повторение, «топтание на месте», однотипность упражнений при изучении одной темы. Процесс познания в новой системе строится так, что более быстрое продвижение вперед идет одновременно с возвращением к пройденному. Изучение нового переслаивается повторением ранее изученного. При этом повторение ведется так, что ранее изученное выступает в той связи с прохождением нового и сопровождается открытием в нем неизученных сторон и явлений [30; 22].

3. Принцип ведущей роли теоретических знаний.

Этот принцип совсем не означает, что ученики должны заниматься изучением теории, запоминать научные термины, формулировки законов. Этот принцип предполагает, что ученики в процессе упражнений ведут наблюдения над материалом, при этом учитель направляет их внимание и ведет к раскрытию существенных связей и зависимостей. Сосредоточить внимание младших школьников лишь на усвоении правил и выработке навыков без теоретического обобщения — значит задержать их развитие.

4. Принцип осознания процесса учения.

Принцип осознания процесса учения направлен на осознание самим учеником протекания процесса познания (что он до этого знал, а что ему еще нового открылось в изучаемом предмете). Этот принцип развивает рефлексию, самоанализ. Объектом осознания для ученика является не только знания, умения, навыки, но и сам процесс их усвоения.

5. Принцип работы над развитием всех учащихся.

Реализация этого принципа обеспечивается соблюдение высокого уровня трудности, быстрого темпа обучения, роли теоретических знаний и осознания процесса учения по отношению ко всем учащимся класса. Это обеспечивается применением дифференцированных методик, в соответствии с которыми одни и те же вопросы содержания изучаются различными учащимися с неодинаковой глубиной [30; 22−23].

Особенностью данного курса математики является наличие трех уровней изучаемого материала:

1-ый уровень включает материал, подлежащий прочному усвоению в пределах начального обучения. По объему он совпадает с объемом материала, которым должны овладеть учащиеся, оканчивающие начальную школу по традиционной системе обучения. Вместе с тем ни ученики, ни учитель не ставятся в жесткие рамки при овладении этим материалом.

2-ой уровень включает материал, который, с одной стороны, помогает глубже осознать материал первого уровня, а с другой стороны, закладывает основу для овладения знаниями на более поздних этапах обучения.

Например, знакомство с уравнениями и их решением помогает глубже осознать связи между обратными действиями, сознательно овладеть вычислительными навыками и способами самоконтроля, а также готовит к изучению этой темы на более поздних этапах обучения, когда уравнения становятся одной из ведущих тем курса.

3-ий уровень включает учебный материал, направленный на расширение кругозора учеников [30; 23−24].

Например, знакомство с римской нумерацией помогает понять разницу между числом и цифрой, условность той или иной системы записи чисел.

Глубина и объем материала, относящегося ко 2 и 3 уровням, сугубо индивидуальны как для каждого класса, так и для каждого ученика.

Учебники математики по системе Л. В. Занкова построены по принципу «слоеного пирога», то есть одновременно и параллельно друг другу дети изучают две и более темы, каждая из которых разделена на небольшие вопросы. Как считают авторы системы, это позволяет увеличить время на усвоение материала и включить в каждый урок материал, относящейся к различным темам программы.

Например, таблица умножения перемежается ознакомлением с двузначными числами, разностным сравнением, сложением и вычитанием двузначных чисел, геометрическим материалом.

Задания в учебнике расположены так, чтобы помочь ребенку перейти на более высокую ступень обобщения. Например, знакомство со сложением происходит на числовом материале, затем предлагается произвести сложение отрезков. Принципиально иное построение и содержание учебников по сравнению с традиционным требует и принципиально иной работы с ними. По учебникам в системе Л. В. Занкова выполнение одного задания требует интенсивной умственной деятельности. Поэтому количество заданий в учебнике рассчитано на использование на уроке приблизительно трех-четырех заданий.

Основной формой организации обучения в системе Л. В. Занкова остается урок. Мотивирующими и направляющими весь процесс изучения математики являются диалоговые уроки, основа которых в распределении деятельности между учителем и детьми. На таких уроках ко многим основным понятиям курса дети приходят самостоятельно.

Ученик становится в позицию исследователя, экспериментатора, учителя самого себя и своих товарищей. Ценность таких уроков в том, что дети получают возможность сравнивать, наблюдать, делать выводы; убеждаются, что не на каждый вопрос есть готовый ответ; осознают, что «включив мысль», они много могут многое открыть из мира математики.

Таким образом, система обучения математике Л. В. Занкова полностью соответствует государственной политике в области образования, которая ориентирована не только на усвоение детьми определённой суммы знаний, но и на развитие личности ребёнка, его познавательных и творческих способностей. Рассмотрим особенности методики изучения табличного умножения и деления в данной системе.

2.2. Особенности изучения табличного умножения и деления в системе Л.В. Занкова

Табличное умножение и деление, как определено программой начальной школы по системе Занкова, начинается изучаться во втором классе. Как и в традиционной программе, умножение рассматривается как действие, заменяющее сложение в случае равенства слагаемых. Деление же возникает как действие обратное умножению, которое дает возможность по значению произведения и одному множителю найти другой множитель.

В дальнейшем умножение и деление рассматривается с другой точки зрения, как действия позволяющие увеличить, или уменьшить число в несколько раз.

В результате изучения табличного умножения и деления учащиеся должны:

* уметь преобразовывать сумму в произведение и произведение в сумму;

* знать переместительный закон умножения, его формулировку и запись в общем виде;

* использовать переместительный закон умножения в вычислении;

* составлять таблицу умножения и деления [30; 32].

Первый этап изучения темы включает знакомство с особыми суммами одинаковых слагаемых, их выделение в особую группу, введение действия умножения. Деление рассматривается как действие обратное умножению, когда по известному значению произведения и одному множителю нужно найти второй множитель. Общие направления работы аналогичным приемам работы с вычитаемым.

Составление таблицы умножения начинается с выделения из таблицы сложения сумм с одинаковыми слагаемыми. Таким образом, в отличие от традиционной школы дети знакомятся в первую очередь с умножением всех однозначных чисел на число 2. Такой подход принципиально важен, т.к. способствует осуществлению одного из основных положений системы — активному использованию ранее приобретенных знаний при изучении нового материала, а также углубляет понимание связи между действиями (умножения и сложения).

В работе по составлению таблицы умножения можно вставить несколько этапов.

Первый этап заключается в преобразовании предложенных выражений и составлении таблицы умножения на числа 2, 3,4.

Например, рассмотрим выражение:

1x2+1 4×2+4 7×2+7

2х 2+2 5×2+5 8×2+8

3x2+3 6×2+6 9×2+9

— Чем похожи, чем отличны?

— Можно ли эти выражения заменить «умножением»? При затруднениях можно рассмотреть решение

1x2+1=1+1+1=1x3

Далее находят значение данных произведений, дополняют новый столбик недостающим примером и записывают на специальную страницу. Параллельно дети знакомятся с переместительным законом умножения. В результате получается запись 3-х столбиков таблицы.

На втором этапе на основании переместительного закона умножения выполняется сокращение составленных столбиков таблицы.

Третий этап заключается в дальнейшем составлении таблицы умножения с использованием уже накопленного опыта. Изучение правил умножения с 0 и 1 позволяет оставить в таблице только строчки, необходимые для заучивания [30; 33].

Данный вариант работы с таблицей не единственный. Можно постепенно составлять полную таблицу умножения на специальном листке, после этого начать работу по ее сокращению. Это менее экономный вариант по времени, но зато создает яркую эмоциональную окраску. Из 100 равенств, для заучивания остается всего 36.

Параллельно с изучением умножения вводится деление (после составления столбиков «умножения на 4»). С первых шагов дети должны воспринимать его как действие обратное умножению. Предлагается задание:

— Начерти отрезок длиной 6 см. Сколько таких отрезков нужно взять, чтобы получить отрезок длиной 12 см?

— Из каких равных отрезков можно еще получить отрезок длиной 12 см?

6+6=6×2=12

4+4+4=4×3=12

3+3+3+3=3×4=12

2+2+2+2+2+2=2×6=12

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1×12=12

Затем предлагается обратная задача:

— Подумай если отрезок длиной 12 см разделить пополам, какой длины будет каждая часть? И так далее [30; 34].

Осознание связи умножения и деления дает возможность значительно разгрузить память детей.

В данной теме вводится понятие «действие первой ступени» и «действие второй ступени».

Таким образом, в системе Л. В. Занкова таблицы умножения и деления составляются по второму постоянному множителю до изучения необходимой теории, после чего происходит постепенное сокращение числа равенств, необходимых для заучивания.

Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы позволил увидеть различие в подходах к изучению табличного умножения и деления в традиционной системе и системе обучения Л. В. Занкова. Но не следует задаваться вопросом о том, какой подход лучше. Можно только сравнивать результаты, полученные в той или другой системе — например, количество и качество знаний, усвоенных учащимися за определённый промежуток времени, или уровень развития школьников.