Статистические задачи
Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны. Рисунок 3 — График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую… Читать ещё >
Статистические задачи (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
ЗАДАЧА 1
По исходным данным вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):
а) средний уровень ряда динамики;
б) абсолютный прирост;
в) темп роста;
г) темп прироста;
д) абсолютное значение 1% прироста;
е) средний темп роста и средний темп прироста.
Средний уровень интервального ряда определим по формуле:
где Yi — значение грузооборота;
n — число значений в динамическом ряду.
Абсолютный прирост относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
ДYi=Yi-Y0
Абсолютный прирост грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
ДYi=Yi-Yi-1
Темп роста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
Темп роста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
Темп прироста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
Темп прироста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
Средний темп роста грузооборота определим по формуле:
Средний темп прироста грузооборота определим по формуле:
Абсолютное значение одного процента прироста определим по формуле:
Результаты расчёта аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1
Таблица 1 — Основные аналитические показатели ряда динамики
Показатель | Схема счета | Периоды | ||||||||
Уровень ряда | ||||||||||
Средний уровень ряда | 1336,875 | |||||||||
Абсолютный прирост | Базисная | 54,0 | 374,0 | 186,0 | 77,0 | |||||
Цепная | 54,0 | 320,0 | — 188,0 | — 109,0 | 109,0 | — 119,0 | 92,0 | |||
Темп роста | Базисная | 104,5 | 131,2 | 115,5 | 106,4 | 115,5 | 105,6 | 113,3 | ||
Цепная | 104,5 | 125,5 | 88,0 | 92,1 | 108,5 | 91,4 | 107,3 | |||
Темп прироста | Базисная | 4,5 | 31,2 | 15,5 | 6,4 | 15,5 | 5,6 | 13,3 | ||
Цепная | 4,5 | 25,5 | — 12,0 | — 7,9 | 8,5 | — 8,6 | 7,3 | |||
Абсолютное значение 1% прироста | 11,99 | 12,53 | 15,73 | 13,85 | 12,76 | 13,85 | 12,66 | |||
Средний темп роста | 101,79 | |||||||||
Средний темп прироста | 1,79 | |||||||||
Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны.
Сглаживание рядов динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:
;
и т.д. — нецентрализованная
— централизованная Коэффициент сезонности определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:
Средний коэффициент сезонности за рассматриваемый период находим по формуле:
где n — количество рассчитанных коэффициентов сезонности по одноименным месяцам.
Расчет скользящей средней и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.
Простроим график сезонной волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.
Рисунок 1 — График сезонной волны Таблица 2 — Расчет коэффициента сезонности
Год | Месяц | Уровень ряда | Скользящая средняя | Коэффициент сезонности | Средний коэффициент сезонности | ||
нецентрированная | центрированная | ||||||
21,1 | |||||||
22,8 | |||||||
23,9 | |||||||
23,8 | |||||||
24,5 | |||||||
24,6 | 23,550 | ||||||
25,9 | 23,492 | 23,521 | 104,016 | ||||
25,7 | 23,617 | 23,554 | 103,213 | ||||
24,2 | 23,783 | 23,700 | 97,189 | ||||
25,5 | 23,942 | 23,863 | 102,410 | ||||
22,3 | 24,067 | 24,004 | 89,558 | ||||
18,3 | 24,217 | 24,142 | 73,494 | ||||
20,4 | 24,308 | 24,263 | 81,928 | 81,53 | |||
24,3 | 24,408 | 24,358 | 97,590 | 97,39 | |||
25,9 | 24,500 | 24,454 | 104,016 | 107,23 | |||
25,7 | 24,592 | 24,546 | 103,213 | 107,03 | |||
24,608 | 24,600 | 104,418 | 107,83 | ||||
26,4 | 24,750 | 24,679 | 106,024 | 110,84 | |||
24,733 | 24,742 | 108,434 | 106,22 | ||||
26,9 | 24,725 | 24,729 | 108,032 | 105,62 | |||
25,3 | 24,858 | 24,792 | 101,606 | 99,40 | |||
26,6 | 25,017 | 24,938 | 106,827 | 104,62 | |||
22,5 | 25,158 | 25,088 | 90,361 | 89,96 | |||
25,358 | 25,258 | 80,321 | 76,91 | ||||
20,2 | 25,517 | 25,438 | 81,124 | ||||
24,2 | 25,942 | 25,729 | 97,189 | ||||
27,5 | 26,325 | 26,133 | 110,442 | ||||
27,6 | 26,367 | 26,346 | 110,843 | ||||
27,7 | 26,467 | 26,417 | 111,245 | ||||
28,8 | 26,400 | 26,433 | 115,663 | ||||
28,9 | |||||||
29,9 | |||||||
27,1 | |||||||
23,7 | |||||||
19,2 | |||||||
Итого: | 896,4 | ||||||
Средняя: | 24,90 | ||||||
Из графика видно, что коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце — уменьшается. Наибольшее отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.
ЗАДАЧА 2
Произвести аналитическое выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам грузов:
а) при равномерном развитии y = a0 + a1t ;
б) при развитии с переменным ускорением (замедлением) yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ;
в) при изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0 + (ak cosRt + bk sinRt) .
Результаты расчётов представить в виде таблиц и графиков.
1. Способ отсчета времени от условного начала, когда? t=0, дает возможность определить параметры математической функции по формулам:
Результаты вычислений приведем в таблице 3:
Таблица 3 — Вычисление параметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3
Год | t | y | tІ | ty | t4 | t6 | tІy | tіy | Yti* | Yt | (Yti*-y)І | (Yt-y)І | |
— 4 | — 4796 | — 76 736 | 1324,2 | 1175,2 | 15 677,13 | 566,75 | |||||||
— 3 | — 3759 | — 33 831 | 1327,4 | 1354,3 | 5531,64 | 10 254,93 | |||||||
— 2 | — 3146 | — 12 584 | 1330,5 | 1432,5 | 58 786,04 | 19 730,33 | |||||||
— 1 | — 1385 | — 1385 | 1333,7 | 1438,1 | 2630,84 | 2817,52 | |||||||
1340,0 | 1343,3 | 4101,34 | 4532,35 | ||||||||||
1343,2 | 1299,2 | 1746,54 | 7364,77 | ||||||||||
1346,4 | 1294,6 | 6460,14 | 820,27 | ||||||||||
1349,5 | 1357,8 | 71,54 | 0,05 | ||||||||||
итого | 10 695,0 | 10 695,0 | 95 005,21 | 46 086,98 | |||||||||
Тогда:
Уравнение при равномерном развитии:
y = 1336,88 — 3,17 • t
2. Для вычисления параметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3 :
Тогда:
Уравнение при развитии с переменным ускорением (замедлением):
yt= 1398,98 — 52,06 t — 8,28 t2 + 4,68 t3;
3. По рассмотренным моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.
Рисунок 2 — График фактических и теоретических уровней ряда Рассчитаем стандартизированную ошибку аппроксимации ;
4. При изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов необходимо рассчитать параметры:
Результаты расчётов сведём в таблицу 4
Таблица 4 — Выравнивание ряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 год
Месяц | ti | yi | cos ti | sin ti | yi•cos ti | yi•sin ti | yti | |
21,10 | 21,1 | 21,21 | ||||||
(1:6)р | 22,80 | 0,86 616 | 0,5 | 19,748 | 11,4 | 21,66 | ||
(1:3) р | 23,90 | 0,5 | 0,866 | 11,95 | 20,6974 | 22,62 | ||
(1:2) р | 23,80 | 23,8 | 23,82 | |||||
(2:3) р | 24,50 | — 0,5 | 0,866 | — 12,25 | 21,217 | 24,96 | ||
(5:6) р | 24,60 | — 0,866 | 0,5 | — 21,3 | 12,3 | 25,71 | ||
р | 25,90 | — 1 | — 25,9 | 25,89 | ||||
(7:6) р | 25,70 | — 0,866 | — 0,5 | — 22,26 | — 12,85 | 25,44 | ||
(4:3) р | 24,20 | — 0,5 | — 0,866 | — 12,1 | — 20,9572 | 24,48 | ||
(3:2) р | 25,50 | — 1 | — 25,5 | 23,28 | ||||
(5:3) р | 22,30 | 0,5 | — 0,866 | 11,15 | — 19,3118 | 22,14 | ||
(11:6) р | 18,30 | 0,866 | — 0,5 | 15,848 | — 9,15 | 21,39 | ||
; | 282,6 | — 14,01 | 1,6454 | 282,60 | ||||
Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.
Рисунок 3 — График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую функцию.
Поэтому функцию можно использовать для выравнивания ряда динамики.
ЗАДАЧА 3
По данным таблицы определить:
1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;
2) сводный индекс расхода топлива на дороге;
3) изменение среднего удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива на 10 000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;
4) абсолютный размер экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за счет изменения удельного расхода топлива на отделениях.
Таблица 10 — Грузооборот и удельный расход топлива по отделениям железной дороги
Отделение | Удельный расход топлива, кг/10 000 т· км брутто. | Грузооборот брутто, млн. т· км | Выполнение норм удельного расхода топлива, % | Расход топлива, тонн | ||||||
Норма | Факти-чески | Норма | Факти-чески | % выпол-нения | План | Факт | Отчетного по удельному расходу базисного | |||
56,5 | 94,0 | |||||||||
31,9 | 103,6 | |||||||||
25,3 | 93,8 | |||||||||
113,6 | ||||||||||
1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороги в целом
Iи=?и1q1 / ?и0q1 =15 670 / 16 108 = 0,973
2) Сводный индекс расхода топлива
Iиq=?и1q1 / ?и0q0 =15 670 / 46 800 = 0,335
3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава
Iи = ?и1q1/?q1: ?и0q0/?q0 = ?и1q1/?и0q1= 15 670/316: 46 800/920 = 0,975
Индекс удельного расхода топлива постоянного состава
Iи=?и1q1/?q1: ?и0q1/?q1= ?и1q1/?и0q1 = 15 670 / 16 108 = 0,973
Индекс структурных сдвигов
Iстр= ?и0q1/?q1: ?и0q0/?q0 = 16 108/316: 46 800/920 = 1,002
4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода Диq=?и1q1-?и0q1= 15 670 — 16 108 = -438 кг за счет изменения грузооборота Диqq=?и0q1-?и0q0= 16 108 — 46 800 = -30 692 кг ЗАДАЧА 4
№ 1. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:
Часовая выработка, шт. | 18−20 | 20−22 | 22−24 | 24−26 | 26−28 | 28−30 | |
Число рабочих | |||||||
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.
Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле:
Дисперсия где хi — часовая выработка
— средняя часовая выработка по всем рабочим выборки;
fi — сумма всех частот
Часовая выработка, шт. | 18−20 | 20−22 | 22−24 | 24−26 | 26−28 | 28−30 | ||
Число рабочих | ||||||||
(xi —)2 | — 10 | — 24 | — 24 | |||||
?х = ± t · мx ?х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.
Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%.
1. Быченко О. Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями. — Гомель: БелГУТ, 2000. — 30 с.
2. Быченко О. Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями. — Гомель: БелГУТ, 2000. — 31 с.
3. Общая теория статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М. Р. Ефимова, Н. И. Яковлева. — М.: Финансы и статистика, 1981. — 279 с., ил.