Таблица производных. 
Дифференцирование сложных функций

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. .

Найдем производную, когда .

Зададим приращение аргументу, что даст. Так как

а, то Отсюда и ,

то есть. Если, результат тот же.

2. .

Зададим приращение аргументу, что даст. Так как, а, то

.

Отсюда и, то есть .

3. .

Зададим приращение аргументу, что даст. Так как, а, то

.

Отсюда и, то есть .

4. .

По определению. Будем дифференцировать как частное:

то есть .

5. .

По определению. Будем дифференцировать как частное:

то есть .

6. .

Зададим приращение аргументу, что даст. Так как, а, то

.

Отсюда и

то есть. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим:. Значит, .

8. .

Зададим приращение аргументу, что даст. Так как, а, то. Отсюда

и, то есть .

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим:. Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если, то .

Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей, которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную, то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента:. Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть, откуда. Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. .

В данном случае обратной функцией будет. Для нее. Отсюда

то есть .

11. .

Так как

то. .

В данном случае обратной функцией будет. Для нее

.

Отсюда, то есть .

13. .

Так как

то .

2. Производная сложной функции

Пусть дана функция и при этом. Тогда исходную функцию можно представить в виде. Функции такого типа называются сложными. Например, .

В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке, а функция имеет производную в соответствующей точке. Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по, то есть .

Для доказательства дадим приращение аргументу, то есть от перейдем к. Это вызовет приращение промежуточного аргумента, который от перейдет к. Но это, в свою очередь, приведет к изменению, который от перейдет к. Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если, то и, что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.

Составим. Отсюда, и, следовательно, .

Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде, где, а, или, то, соответственно, и так далее.

3. Дифференцирование параметрически заданной функции

Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая, получаем значение, то есть пару чисел, являющихся координатами точки. При изменении меняется, точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: где. Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и, которой будет соответствовать точка. Пробегая все значения, заставляет меняться и, то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная — параметром.

Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти. Подставляя в, получим, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.

Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени, то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .

В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.

1. Окружность.

Возьмем точку на окружности с радиусом. Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:

Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности .

Рис. 3.1

2. Эллипс.

Известно, что уравнение эллипса —. Отсюда. Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что. Подставим это выражение в:. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид Рис. 3.2

3. Циклоида.

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом. Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:

Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:

Рис. 3.3

4. Астроида.

Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:

Рис. 3.4

Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.

Пусть функция от задана параметрически: где. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом. Найдем .

Составим отношение. Тогда

.

Следовательно,. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. — 284с.

2. Мироненко Е. С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. — 109с.

3. Никольский С. М., Бугров Я. С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. — 509с.

4. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.