Функции Бесселя

Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще всего встречаются в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, а также в связи с вычислением некоторых определенных интегралов. Опишем кратко оба типа приложений, причем начнем с последнего.

В 1770 году Лагранж изучил эллиптические движения планет вокруг Солнца. Пусть, а и b — большая и малая главные полуоси эллиптической орбиты; обозначим эксцентриситет эллипса через, и пусть r, М, Е — соответственно радиус-вектор, главная аномалия и эксцентрическая аномалия. Лагранж получил между этими величинами следующие соотношения:

M = E — sin E, (1)

r = (1 — cos E) =. (2)

Они приводят к разложениям

(3)

В 1819 году Бессель выразил коэффициенты этих разложений в интегралах. Например,

С помощью простого преобразования встречающийся здесь интеграл может быть выражен через коэффициенты Бесселя. Первое разложение (3) принимает при этом вид, а второе разложение (3) может быть преобразовано к виду Позже, в 1824 году, Бессель положил интеграл в основу изучения функций, которые теперь носят его имя.

Функции Бесселя чаще всего встречаются в связи с дифференциальными уравнениями. В монументальном трактате Ватсона (Ватсон, 1949), который является основным трудом по функциям Бесселя, история этих функций прослежена вплоть до И. Бернулли (около 1700 года). У Эйлера (1764) и Пуассона (1823) функции Бесселя обычно связывались с дифференциальными уравнениями в частных производных, возникавшими в теории потенциала, волнового движения и диффузии в цилиндрических или сферических полярных координатах.

Приложение бесселевых функций широко используется в прикладной физике: уравнение Лапласа, волновое уравнение и т. д. Большинство приложений функций Бесселя относятся к колебаниям систем, обладающих осевой симметрией. Обычно координата Z изменяется мало, или искомая функция не зависит от Z. Даже в случаях, когда зависимость от Z существенна, функции Бесселя дают наилучший метод решения, если границы представляют собой плоскости постоянных Z. В задачах о колебаниях областей со сферическими границами появляются функции Бесселя полуцелого порядка в колебании с функциями Лежандра. Они встречаются также в различных одномерных задачах, особенно в задачах о колебаниях невесомой струны, нагруженной через равные интервалы тяжелыми частицами, и о распространении электрических волн по подводному кабелю, а также во многих других задачах математической физики.

Целью дипломной работы является изложение теории бесселевых функций, их приложения к уравнениям математической физики и составление пособия для студентов по данной теме.

В соответствии с целью данного исследования в дипломной работе был поставлен ряд задач:

проанализировать и обобщить литературу по основам теории функций Бесселя;

изучить теорию бесселевых функций с помощью средств математического анализа;

рассмотреть виды цилиндрических функций;

рассмотреть применение бесселевых функций в математической физике на примере некоторых задач.

Объектом исследования в дипломной работе является: изучение теории функции Бесселя.

Предметом исследования является: возможность применения теории бесселевых функций к решению уравнений математической физики.

1. Функции Бесселя

1.1 Бесселевы функции с любым индексом

бесселевый цилиндрический лаплас уравнение

1.1.1 Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить «происхождение» бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

(функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими).

Если перейти к цилиндрическим, координатам по формулам:

x = r cos ,

y = r sin ,

z = z,

то, согласно формуле

уравнение (1) принимает вид:

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (2), которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых, зависит только от одного аргумента, т. е. найти все решения вида u = R ® Ф () Z (z), (R, Ф, Z предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми).

Пусть u есть решение упомянутого вида. Вставляя его в (2), получим:

откуда (после деления на RФZ)

Записав это в виде:

найдем, что левая часть не зависит от z, правая не зависит от r,; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная а. Отсюда

В последнем равенстве левая часть не зависит от, правая не зависит от r; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная b. Отсюда

Таким образом, R, Ф, Z должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка

r²R" + rR + (ar² — b) R = 0, ф" + bФ = 0, Z — aZ = 0, (3)

из которых второе и третье суть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если R, Ф, Z удовлетворяют уравнениям (3), то u = RФZ есть решение уравнения (2). В самом деле, вставляя RФZ в левую часть (2) и деля затем на RФZ, получим:

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть u = RФZ, где R, Ф, Z суть любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел а, b.

Первое из уравнений (3) в случае, а = 1, b 0 называется уравнением Бесселя. Полагая и этом случае b = ², обозначая независимое переменное буквой х (вместо г), а неизвестную (функцию — буквой у (вместо R), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

x²y + xy + (x² — ²) y == 0 (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

1.1.2 Бесселевы функции 1-го рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда

Тогда

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять a₁ = 0, a₃ = 0, a₅ = 0,… Во второй системе a₀ можно взять произвольно: тогда а₂, а₄ а₆,… однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв

найдем последовательно:

…

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений х и, следовательно, является решением уравнения (4) в области 0 < x < + (в случае целого в области — < x< +).

Функция называется бесселевой, функцией 1-го рода с индексом. Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса n, учитывая Г (фn + 1) = 123… n = n!,

получим;

и, в частности,

1.1.3 Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции J (х) и J- (x) являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя (4) есть

y = C₁ J (x) + C₂ J-(x). (6)

Если = - n (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для s = 0, -1, — 2,…), принимает вид

или, после замены индекса суммирования k на l + n,

откуда видно, что J-_n (х) удовлетворяет вместе с J_n (х) уравнению Бесселя x²y + xy + (x² — n²) y = 0.

Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

и дополняя это определение для = n (целое число) формулой

получим функцию Y (x), удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от J (х) (в случае = n, где n — целое, этот факт, как и само определение Y_n, нуждается в обоснованиях, но это мы оставляем в стороне). Функция Y (х) называется бесселевой функцией 2-го рода с индексом. Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде

y = C₁J (x) + C₂Y (x) (9)

1.2 Формулы приведения для бесселевых функций

Имеем:

Следовательно,

Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на), примененная к повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию m раз, где m — любое натуральное число, получаем:

Имеем:

Следовательно,

Таким образом, операция, примененная к xJ (x), понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию m раз, получаем:

Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:

Отсюда, в частности, следует, что J₀ = - J₁. Используя (11), получим:

(xJ) = xJ-₁; xJ + x-¹ J =xJ-₁; J + J = J-₁.

Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:

2 = J-₁ — J₊₁; (12)

J = J-₁ + J₊₁. (13)

Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через J₀, J₁. Действительно, из (13) находим (полагая = n — 1):

откуда последовательно получаем:

1.3 Бесселевы функции с полуцелым индексом

Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом n +, где n — целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.

Имеем:

но в силу следовательно, Но 2^k k! 1 3 5… (2k + l) = (2k + l)!, следовательно, Далее, имеем:

но в силу следовательно, Но 2^k k! 1 3 5… (2k — 1) = (2k)!, поэтому

C помощью (10) находим:

но в силу (14)

следовательно, при целом положительном n

С помощью (11) находим:

но в силу (15)

следовательно, при целом положительном n

1.4 Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом

1.4.1 Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему S функций f_n(x) (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

…, f —₂ (x), f _-1 (x), f₀ (x), f₁ (x), f₂ (x), … составим ряд где z — комплексное переменное. Предположим, что при каждом х (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность С (т.е. окружность с центром 0 и радиусом 1, рис. 1). В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексного переменного без точек 0 и .

Функция

(где х лежит в области определения функций системы S,

z — внутри кольца сходимости, соответствующего

рассматриваемому значению х) называется производящей функцией системы S.

Обратно, пусть задана функция F (x, z), где х пробегает некоторое множество, z находится внутри некоторого кольца, зависящего от х, с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность (в частности, эти кольца могут быть полной плоскостью комплексного переменного без точек 0 и). Тогда, если F (х, z) при каждом x аналитична относительно z внутри соответствующего кольца, то F (x, z) есть производящая функция некоторой системы S функций. В самом деле, разложив при каждом х функцию F (x, z) в ряд Лорана по степеням z найдем, что система коэффициентов f_n (x) этого ряда будет искомой системой S.

Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции f_n (x) рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности С (комплексное параметрическое уравнение которой есть z = eⁱ, —) в простой интеграл, получим:

1.4.2 Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

Покажем, что для системы бесселевых функций 1-го рода с целыми индексами J_n(x) (n = 0, 1, ± 2,…) производящая функция есть:

Имеем:

откуда после почленного перемножения этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой части, и соединяем в одну группу члены, содержащие одинаковые степени z) найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме k и l были связаны зависимостью l — k = n, то мы могли положить l = n + k, получив суммирование по одному индексу k). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем тем целым k, для которых, следовательно, при n 0 это будет; при n = - m < 0 это будет. Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть J_n (x) в силу формул (5) и (5). Итак,

но это и доказывает, что есть производящая функция для системы J_n(x). Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней z = eⁱ, получим:

откуда после разделения действительной и мнимой части [учитывая, что J-_n(x) = = (-1)ⁿ J_n(x)]

1.4.3 Интегральное представление J_n(x)

Так как, по доказанному, при f_n(x) = J_n(x) имеем F (x, z) =, то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что cos (x sin — n) есть четная функция от, sin (x sin — n) есть нечетная функция от .

Итак, доказано, что для любого целого числа n

Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра x. Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для J_n(x), правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при n = 0 найдем:

1.5 Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть (x) — положительная функция и (x) — какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значении х. Запись (x) = O [(x)] при x + означает, что найдутся такие числа х₀ и М, что при x > x₀ имеем |(x)

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если Ф (t) — положительная функция и F (t) — какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений t, то запись F (t) = O [Ф (t)] при t 0 означает, что, найдутся такие числа и М, что F (t) < МФ (t) на (0,).

Вспомогательная лемма

Если (t) дважды непрерывно дифференцируема на [0,1], то для функции

имеет место асимптотическое представление

Докажем эту лемму. Заменяя t на 1 — t, получим:

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя xt на t, найдем:

но, заменив t на t² [учитывая формулу получим:

Если (х) положительна, убывает и стремится к нулю при x +, то

при x +, поэтому при x + ,

откуда

при x + .

Итак, получаем асимптотическое представление:

Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

Очевидно (t) дважды непрерывно дифференцируема па (0, 1), но, как легко видеть, существуют поэтому (t) (после доопределения в точке t = 0) становится непрерывно дифференцируемой на сегменте [0,1]. интегрирование по частям дает:

где первое слагаемое правой части — (1) есть О при x +, а интеграл во втором слагаемом (несобственный при нижнем пределе) мажорируется интегралом, который сходится, так как следовательно, второе слагаемое есть тоже О при x + .

Итак, имеем:

Из (20), (21), (22), получаем искомое асимптотическое представление:

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

Формулы (23), (23) верны для комплекснозначных функций f (t) = f₁(t) + if₂ (t) [ибо они верны для f₁(t) и f₂(t)].

Вывод асимптотической формулы для J_n(x)

В конце 4-го раздела мы видели, что Заменяя на, получим:

(учитывая, что e^{ix cos} cos n есть четная функция от, а e^{ix cos} sin n есть нечетная функция от). Подстановка cos = t дает:

где T_n(t) = cos (n arccos t) есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что cos n есть полином n-й степени относительно cos. Но и, заменяя в первом из этих интегралов t на — t, получим:

Так как на [0, 1] имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (23) и (23), и мы получаем

;

но

T (-1) = cos n = (-1) = eⁱⁿ; T (1) = cos 0 =1,

Следовательно,

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции 1-го рода с целым индексом для больших значений аргумента:

при x + .

Эта формула показывает, что J_n(x) с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

2. Различные типы цилиндрических функций

2.1 Функции Ханкеля

Наряду с функциями Бесселя первого рода J (x) большое значение для приложений имеют другие специальные виды решений уравнения Бесселя. К их числу относятся прежде всего функции Ханкеля первого и второго рода, являющиеся комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя. С точки зрения физических приложений основной характеристикой функций Ханкеля является асимптотическое поведение при больших значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как цилиндрические функции, обладающие следующей асимптотикой:

где точками обозначены члены более высокого порядка малости относительно. Условия (1), (2), в силу раздела 7 главы I, определяют однозначно. Разделяя действительную и мнимую части, представим функцию Ханкеля в виде

где функции

имеют асимптотический характер

что следует из формул (1) и (2).

Введенная здесь функция J (x) является функцией Бесселя первого рода, рассмотренной ранее. Мнимая часть N (x) функции Ханкеля называется функцией Неймана или цилиндрической функцией второго родаго порядка.

Формулы (3) и (4) устанавливают связь между функциями Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом (формула Эйлера). Асимптотические формулы (1), (2), (5) и (6) подчеркивают эту аналогию.

При изучении решений уравнения колебаний u_tt = a² (u_xx + u_yy) мы видели, что амплитуда (x, у) установившихся колебаний u (x, y, t) = (x, y,) e^it удовлетворяет волновому уравнению

_xx + _yy + k² =? + k² = 0

Если решение волнового уравнения обладает радиальной симметрией (х, у) = (г), то, функция (kr) удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.

Таким образом, функции являются решениями уравнения колебаний, имеющими характер цилиндрических волн. Функция соответствует расходящимся цилиндрическим волнам, а функция ' - сходящимся цилиндрическим волнам (если взять временной множитель е-^it, то расходящимся волнам соответствует, а сходящимся — .

Вторым важным свойством цилиндрических функций является их поведение при х 0. Функции и N при х 0 обращаются в бесконечность (так как J (0) конечно), точнее,, , так как J₀ (0) = 1 0;, , N (x) ~ при > 0, так как J (x) ~ x при х 0.

Функции Ханкеля и Неймана нулевого порядка являются фундаментальными решениями уравнения ?₂ + k² = 0, так как они имеют нужную логарифмическую особенность при. Приведем (без доказательства) точные выражения для главных членов разложения этих функций в окрестности точки х = 0:

2.2 Функции Ханкеля и Неймана

Как было отмечено в п. 1.3. главы I, всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка выражается через функции J и J-. Установим связь между функциями, N и J, J-.

Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом можно представить в виде линейной комбинации функций J (x) и J-(x), то

(9)

где C₁ и С₂ — постоянные, подлежащие определению. Для главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет место аналогичное равенство.

Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду

Сокращая обе части равенства (10) на и пользуясь формулой Эйлера для левой части, получаем:

откуда

C₁ + C₂ cos =1,

— C₂ sin = i

или

Подставляя (11) в (9), находим:

Аналогично

Пользуясь формулой (4), определяющей N (x), получаем из (12) и (13):

(14)

Формулы (12), (13) и (14) получены нами для нецелых значений. Для целого значения = n функции Ханкеля и Неймана могут быть определены из (12), (13) и (14) с помощью предельного перехода при n. Переходя в этих формулах к пределу при n и раскрывая неопределенность по известному правилу, будем иметь:

Пользуясь представлением функций J и J-, в виде степенных рядов, можно получить аналогичные представления для N (х), а также и .

Формулы (12) и (13) можно рассматривать как аналитическое определение функций Ханкеля. Существуют, однако, и другие способы введения функций Ханкеля (например, в виде контурных интегралов).

Если = n +, то функции Ханкеля и Неймана выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, при = имеем:

2.3 Функции мнимого аргумента

Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. В настоящем пункте мы рассмотрим цилиндрические функции первого рода от чисто мнимого аргумента.

Подставляя в ряд, определяющий J (х), значение ix вместо х, получаем:

— вещественная функция, связанная с J (ix) соотношением

I (x)== i^-J (ix) или I (х) = .

В частности, при = 0

Из ряда (16) видно, что I (х) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при х = 0 нульго порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для I (х) должна иметь место асимптотическая формула при больших значениях аргумента х.

Аналогично вводится I -(х). Функции I и I — при нецелом линейно независимы, так как в точке х = 0 I (x) (> 0) имеет нульго порядка, а I -(х) — полюс х-. Если = n — целое число, то I — _n(x) = I _n(x).

Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения и, в частности, функция I₀(х) удовлетворяет уравнению Наряду с функцией I (х) рассматривают функцию K (х), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

K (х) является вещественной функцией х. В самом деле, формулы (12) и (13) дают Пользуясь асимптотическим выражением для, находим:

Формулы (23) и (18) показывают, что К (х) экспоненциально убывают, а I (х) экспоненциально возрастают при х. Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации y = АI (х) + ВК (х).

В частности, если у ограничено на бесконечности, то A = 0 и у = BK (x); если же у ограничено при х = 0, то В = 0 и у = AI (х). Из линейной независимости I и K следует, что К (х) имеет при х = 0 полюсго порядка (K~x-) при 0 и логарифмическую особенность при = 0. В п. 4 показано, что

K₀(x) = n+ … при x 0.

В отличие от J (x) и N (x) функции I (x) и K (x) являются монотонными (I (x) возрастает, а K (x) убывает с ростом x).

Наиболее важное значение имеет функция

K₀(x) = .

3. Приложение функций Бесселя

Уравнение Бесселя встречается весьма часто при решении задач математической физики. Мы не можем за недостатком места рассматривать сколько-нибудь полное применение функций Бесселя и ограничимся лишь основными фактами, устанавливающими связь уравнения Бесселя с основными уравнениями математической физики. Начнем с уравнения Лапласа.

3.1 Функции Бесселя и уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид

.

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций: одной — только от р, второй — от и третьей — от z:

U = R (p) Ф () Z (z).

Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим

Каждая из двух последних написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимая переменная входит только в первую из этих дробей, а z — только во вторую. Приравнивая вторую из дробей постоянной (- р²) и третью — постоянной k², получим следующие три уравнения

Ф () + p²Ф () = 0, Z (z) — k²Z (z) = 0,

[R ()] - R () + k²R (р) = 0

или

R () + R () + R () = 0.

Будем пока считать, постоянные р и k отличными от нуля. Первые два уравнения дают нам

Наконец, третье уравнение дает Z_p(k), где Z_p(z) есть — любое решение уравнения Бесселя с параметром р. Если хотим иметь решение однозначное, то постоянную р мы должны считать целым числом n.

Получим, таким образом, решения уравнения Лапласа следующего вида:

(1)

где n — любое целое число и постоянная k может иметь любое значение.

Если k = 0, то мы должны вместо Z (z) = e^±kz считать Z (z) = l, или Z (z) = z, и уравнение для R () даст нам R () = ^±p. Наконец, при р = 0 надо считать,

Ф () = A + B и при p = k = 0 надо считать R () = C+D1g. При n = 0 формула (1) дает нам решения следующего вида:

(2)

не зависящие от угла. Такие решения играют существенную роль при рассмотрении потенциала масс, имеющих осевую симметрию. Если, мы хотим получить решение, конечное при = 0, то в формуле (2) должны положить постоянную С₂ равной нулю, и будем иметь решения вида

e^kzJ₀(kp). (3)

Из решений уравнения Лапласа такого типа может быть получено решение, являющееся основным в теории ньютоновского потенциала, а именно, имеет место формула

(4)

имеющая многочисленное применение в теории потенциала. Чтобы доказать эту формулу, обратимся к формуле, которая даст нам

откуда, интегрируя по k, получим

или, подставляя пределы,

Последний интеграл легко вычисляется методом интегрирования выражений с тригонометрическими функциями (применением теории вычетов) откуда и вытекает непосредственно формула (4).

Если вместо постоянной k² ввести постоянную (- k²), то е^±kz перейдет в cos kz и sin kz, a J_p(k) и N_p(k) могут быть заменены на I_р(k) и K_р(k).

3.2 Волновое уравнение в цилиндрических координатах

Рассмотрим теперь волновое уравнение

(1)

где

и будем искать его решение в виде произведения

U = e ^{- it}V (x, y, z). (2)

Подставляя, в уравнение (1), получаем для V уравнение вида

?V + k²V = 0, (3)

где

. (4)

Уравнение (3) называется иногда уравнением Гельмгольца. Если мы возьмем какое-нибудь его решение, подставим в формулу (2) и отделим вещественную часть, то она даст вещественное решение волнового уравнения, которое в отношении зависимости от времени представляет собою гармоническое колебание частоты. В отдельных случаях — это решение может изображать стоячую волну, а в других случаях — распространяющуюся, волну. Выясним сначала эти понятия на простейших случаях. Если взять, например, произведение e ^{- it}sin kx, то его вещественная часть cos t sin kx даст стоячую волну. Точно так же произведение e ^{- it} cos kx дает тоже стоячую волну. Если же взять произведение e-^it e ^ikx, то его вещественная часть cos (kx — t) даст синусоидальную волну, которая распространяется в направлении оси X со скоростью. При применении функций Бесселя роль cos kx и sin kx будут играть J_p(k) и N_р(k), а роль e ^ikx и e ^{- ikx} будут играть

Вернемся к уравнению (3) и напишем оператор Лапласа в цилиндрических координатах, считая пока, что V не зависит от z

Решения этого уравнения имеют вид Z_p(kр), где Zp (z) — любое решение уравнения Бесселя с параметром р.

Считая p = n целым, получаем однозначные решения. Если возьмем функцию Бесселя, то получим решение

вещественная часть которых

дает стоячую волну. Если для решения возьмем первую функцию Ханкеля, то, принимая во внимание асимптотическое выражение функции Ханкеля при большом аргументе, будем иметь, ограничиваясь первыми членами, следующее асимптотическое представление:

т.е. на бесконечности мы имеем распространяющуюся волну, фаза которой уходит на бесконечность. Про такие решения будем говорить, что они удовлетворяют принципу излучения. Если же мы вместо множителя е-^it взяли бы множитель е^it, то должны были бы для того, чтобы удовлетворить принципу излучения, в качестве второго множителя брать вторую функцию Ханкеля, так как согласно асимптотическому выражению мы имеем следующее асимптотическое равенство:

Рассмотрим теперь общий случай, когда функция V зависит и от координаты z. Уравнение (3) будет при этом иметь вид

Ищем его решение в виде

V = R () Ф () Z (z).

Применяя обычный метод разделения переменных, найдем решение уравнения.

(5)

где Z_p(z) — любое решение уравнения Бесселя. Полагая k² — h² = ² и рассматривая случай однозначных решений (р = n — целому положительному числу), мы будем иметь следующие решения:

(6)

и

(7)

Первое из этих решений остается конечным при = 0 и дает стоячую волну. Второе решение удовлетворяет принципу излучения. Решениями первого типа обычно пользуются в том случае, когда область, в которой происходят колебания, есть внутренняя часть цилиндра, содержащая ось = 0. Решения второго типа применяются для части пространства, находящегося вне цилиндра. В задачах дифракции приходится часто пользоваться, и многозначными решениями, для которых р не есть целое число.

Рассмотрим одну задачу частного вида. Уравнение (3) имеет очевидное решение е^ikx = e^{ik cos}. Умножая его на e ^{- it}, получим решение e^{i(kx - t)}, которое представляет собою элементарную плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X. Положим, что эта плоская волна имеет место не во всем безграничном пространстве, но лишь вне цилиндра = а, причем на этом цилиндре должно быть выполнено предельное условие: V = 0 (при р = а).

Чтобы удовлетворить этому предельному условию, мы должны добавить к решению e^ikx уравнения (3) еще некоторое другое решение этого уравнения (добавочное возмущение, получаемое в результате дифракции), причем это добавочное решение должно обязательно удовлетворить принципу излучения и быть однозначным решением. Принимая во внимание сказанное выше и независимость основного решения от z, мы будем искать это добавочное решение, пользуясь показательными функциями вместо тригонометрических, в виде линейной комбинации решений вида (7) при = k:

(8)

Нам надо только определить коэффициенты а_n из предельного условия. Используя формулу и полагая там t = ieⁱ и z = k, мы можем написать основное заданное решение в виде

(9)

В силу предельного условия мы должны иметь

и мы получаем для коэффициентов a_n следующие выражения:

Окончательное решение задачи будет, следовательно, иметь форму:

Рассмотренная задача имеет применение в некоторых частных случаях дифракции электромагнитных волн относительно бесконечного проводящего цилиндра. Полученные ряды представляются практически удобными лишь в случае сравнительно большой длины волны.

Заключение

В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по бесселевым функциям. В первой главе дано описание бесселевых функций, их свойств и соотношений. Во второй главе рассмотрены различные виды цилиндрических функций и их свойства. В третьей главе было показано приложение функций Бесселя к основным уравнениям математической физики.

По результатам дипломной работы можно сделать вывод, что функции Бесселя по праву занимают одно важнейших мест в теории специальных функций.

Данную дипломную работу можно использовать как методическое пособие для студентов физико-математических ВУЗов при ознакомлении с бесселевыми функциями и при изучении их применения к уравнениям математической физики.

Библиография

Арфкен Г. Математические методы в физике. Перев. с англ. В. В. Чепкунова. — М.: Атомиздат, 1970.

Бейтмен Г., Эридейн А. Высшие трансцендентные функции. Перев. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Изд. «Наука», 1974.

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988.

Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1979.

Джеффрис. Г., Свиряс. Б. Методы математической физики — Издательство «Мир», — М.: 1970.

Зельдович Я.Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973.

Михлин С. Г. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1968.

Положий. Г. Н. Уравнения математической физики — М.: Издательство «Высшая школа»,

Прудников. А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции — М.: 1983.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. — М.: Мир, 1984, Т. 2.

Романовсаий. П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Физматгиз, 1961.

Самойленко А.М., Кривошея С. А. Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — М.: Высшая школа, 1989.

Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Под общей ред. Г. И. Кручковича. — М.: Высшая школа, 1970.

Смирнов. В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974, т. 3, ч. 2.