Построение ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с параметром

Актуальность темы

Задача построения периодических решений систем дифференциальных уравнений на данный момент достаточно далека от своего разрешения. Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических процессов [1, 3, 8, 12, 19, 22, 25, 26, 37, 60, 75, 84, 91 — 99]. Большое количество работ, посвященных этой теме, показывает, что многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению.

Эта задача становится еще более сложной, если система дифференциальных уравнений имеет тривиальное (нулевое) решение и требуется построить ее ненулевое периодическое решение. Рассмотрим, например, уравнение вида al3f + a2*:+a3(a1(t) + a4x2) х = О, где при различных значениях констант at, / = 174 и периодической функции а, (0 получаются известные уравнения Хилла и Матье, которые имеют нулевое решение. Вопросу построения периодических решений этих двух уравнений посвящены работы [1, 12, 17, 25, 26, 55, 92], но их недостатком является то, что они не объясняют строго математически, почему получающееся периодическое решение будет ненулевым. Существуют системы более сложного вида, для которых пока еще не выработаны общие методы построения их ненулевых периодических решений.

Цель работы состоит в построении ненулевого периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений вида х = A (t)x + f (x, t, e), (0.1) в которой л- - л-мерный вектор-столбец, А (с) — п >- пматрица, непрерывная и сопериодическая по /, ф>0, f (x, /, &•) — пмерная вектор-функция, непрерывная по своим переменным и тпериодическая по t, е — тмерный вектор-параметр.

Методика исследования. Метод построения ненулевого периодического решения системы (0.1) состоит в построении последовательных приближений, каждое из которых должно являться сопериодической вектор-функцией, Вначале ставится задача нахождения первого ненулевого приближения, решаемая методом неподвижной точки нелинейного оператора. Высшие периодические приближения строятся при условии, чтобы в дальнейшем не возникало непериодических членов по времени. Существенным при этом является вопрос о сходимости последовательных периодических приближений к ненулевому периодическому решению системы (0.1).

Еще одним из методов, примененных для построения периодического решения системы (0.1) в данной работе, является способ перехода от дифференциального уравнения к интегральному.

Основные результаты" имеющиеся по данной проблеме. Главные идеи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в книгах А. Пуанкаре [72], А. М. Ляпунова [57], В. В. Немыцкого, В. В. Степанова [68], Л. С. Понтрягина [71], Ю. Н. Бибикова [7], Н. П. Еру-гина [32, 33], Ф. Харгмана [88].

С развитием техники и постановкой новых задач в механике, электротехнике в начале XX века на первое место выходит теория нелинейных колебаний. Основы этой теории были заложены А. Пуанкаре [72], А. М. Ляпуновым [57], И. Г. Малкиным [58].

Своеобразным синтезом математики и механики является монография Л. И. Мандельштама [59], в которой автор рассматривает вопросы колебаний нелинейных систем дифференциальных уравнений с целью применения их к конкретным моделям акустики, электротехники и другим областям техники.

Монография Б. В. Булгакова [14] подытожила его многочисленные исследования. Книга содержит огромный материал по колебаниям различного вида линейных и нелинейных систем (консервативных, диссипативных и др.) с одной и несколькими степенями свободы, проиллюстрирована конкретными физическими моделями.

Наиболее полные исследования автономных динамических систем на плоскости проведены А. А. Андроновым, А. А. Витт, С. Э. Хайкиным [1], Е. А. Леонтовичем [2], Дж. М, Марсден [61], Хопфом [91] и для неавтономных систем — Ю. I I. Бибиковым [6], Е. Ф. Мшценко, Н. X. Розовым [66].

Самыми распространенными методами построения периодических решений на сегодняшнее время являются итерационные методы, такие, например, как метод усреднения. Он заключается в том, что правые части сложных дифференциальных уравнений, описывающих колебания, заменяются «сглаженными», усредненными функциями, не содержащими явно времени и быстро изменяющихся параметров системы. Получающиеся в результате усредненные уравнения либо точно интегрируются, либо упрощаются, что позволяет получить важные выводы относительно изучаемого движения как качественного, так и количественного характера.

В основу метода усреднения для исследования нелинейных колебательных процессов в радиои электротехнике, механике легли работы Ван-дер-Поля [17], разработавшего эффективный прием приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения вида.

Х+Й?2Х= sf (x, х), (0−2) описывающего колебательный процесс в системе с одной степенью свободы, названный им методом «медленно меняющихся коэффициентов».

Первые шаги в области математического обоснования метода усреднения для дифференциальных уравнений с 2япериодическими правыми частями по времени t сделаны II Фату и Л. И. Мандельштамом в [59]. Для отыскания 2лпериодического решения применялся метод последовательных приближений, где в качестве первого приближения бралось решение усредненной системы, доказывалась сходимость приближений и «близость» предельной функции к решению усредненной системы.

Создание же более строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову и Н. М. Крылову [10, 42, 63, 64]. Н. Н. Боголюбов показал, что метод усреднения связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений. Он рассматривал уравнение х = Щх, t), (0.3) названное им уравнением в стандартной форме, где х<=Е" (Е" - евклидово пмерное пространство) и указал, как строить не только систему первого приближения (усредненную систему), но и усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью.

Сформулированный и развитый им метод усреднения применительно к уравнениям в стандартной форме (0.3) получил и строгое математическое обоснование. Это обоснование сводится к определению условий, при выполнении которых разность между решением точной системы уравнений (0.3) и решением соответствующей ей усредненной системы для достаточно малых значений параметра s становится сколь угодно малой на сколь угодно большом, но конечном интервале времени.

Дальнейшие разработки метода усреднения принадлежат В. М. Волосо-ву, Н. Н. Моисееву, Н. Д. Зубареву [63].

Наиболее полно изученными с точки зрения приближенного построения периодических решений являются квазилинейные системы видов.

X = Ах + eZ (x, t, s) +.

Дальнейшее развитие теории построения периодических решений квазилинейных систем дано в [26]. Здесь применяется итерационный метод построения периодического решения системы (0.4) в так называемом критическом случае первого порядка. Предполагается, что порождающая система (система, получающаяся из (0.4) при е~ 0) имеет семейство линейно независимых 2ж-периодических решений. Задача о существовании 2к-периодического решения исходной системы (0.4), обращающееся в одно из порождающих решений при? = 0, сводится к решению некоторого трансцендентного уравнения (уравнение для порождающих амплитуд). Было установлено, что если это уравнение имеет только простые корни (критический случай первого порядка), то система (0.4) имеет единственное 1л-периодическое решение," обращающееся в одно из порождающих решений при? = 0. Существенным здесь является вопрос о приближенном построении искомого 2лпериодического решения в виде итерационных последовательностей и оценке области сходимости по параметру е, для которого применяется метод простых итераций и метод конечных мажорирующих уравнений, разработанные А. М. Ляпуновым в [57] и в дальнейшем Ю. А. Рябовым в [51, 76].

Украинские математики О. Б. Лыкова, А. А. Бойчук, В. А. Журавлев, В. Г. Чуйко в работах [12, 55] продолжают изучать системы вида (0.4), (0.5) в критическом случае первого и второго порядка (уравнение для порождающих амплитуд имеет кратные корни) для неавтономных и автономных систем и распространяют на них метод простых итераций работы [26]. А. А. Бойчук в работе [11] дает способ построения решения двухточечной (в том числе и периодической) краевой задачи для нелинейной системы в критических случаях первого и второго порядков.

М. М. Вайнбергом в работе [16] изучается вопрос о ветвлении периодических решений квазилинейных неавтономных и автономных систем вида (0.4), (0.5) при малых изменениях параметра е. Здесь выводятся уравнения разветвления, в результате чего делаются выводы о числе, виде и способе построения каждого из получающихся периодических решений.

Дж. Хейлом в работе [89] был предложен метод построения периодического решения квазилинейной системы специального вида, для которой установлены необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Решение строится методом простых итераций из условия, чтобы последующее приближение было периодической функцией.

А. М. Самойленко в [78] предлагает численно-аналитический метод построения периодического решения системы дифференциальных уравнений = /(>,*), (0−6) где вектор-функция f{t, x) непрерывна по хеЕ", t и Г-периодична по t. Для нахождения искомого J-периодического решения строятся последовательные приближения, являющиеся Г-периодическими вектор-функциями. Доказываются теоремы о сходимости и об области сходимости последовательных приближений к 'Гпериодическому решению системы (0.6). В работе [79] А. М. Самойленко численно-аналитическим методом исследует системы вида.

Хf (t, X, X).

Дальнейшей разработкой численно-аналитического метода для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, занимался Ю. Д. Шлапак в [90].

В. Н. Лаптинский в работах [29, 44 — 50] дает конструктивные методы анализа периодических решений различных классов периодических систем дифференциальных уравнений.

В работах [18, 34] Г. В. Каменков развивает новый метод исследования колебаний нелинейных систем, названный им методом функций Ляпунова. Он рассматривает системы как с одной, так и несколькими степенями свободы, квазилинейные и существенно нелинейные (не обращающиеся в линейные при значении параметра, равным нулю). Для систем второго порядка, кроме ответа на вопрос о существовании периодических решений, он решил задачу и об оценке величины малого параметра, при которой и менее которой построенные периодические решения существуют.

П. Б. Голоквосчюс в работах [23, 24] рассматривает системы = />(*)* +ДО,.

X = РЦ) хf sG (x, U S) +• /(/) с малым скалярным параметром е, где матрица ДО имеет специальный вид. На основе использования фундаментальной матрицы системы.

X Р{1.)х им получены необходимые и достаточные условия существования периодического решения для каждой из рассмотренных систем в некритическом и критическом случаях, предложен способ построения искомого периодического решения.

Е. Л. Тонков в работе [85] рассматривает вопрос о существовании функции Грина для решения о-периодической краевой задачи х + q{t)x + p (t)x = f (x, x, t), х (<�У) = x (co), i (0) = i (tf>). В работе [86] с привлечением функции Грина им решается линейная задача оптимального управления периодическими решениями.

Другими широко распространенными на сегодняшний день методами построения периодических решений дифференциальных уравнений являются метод нормальных форм А. Д. Брюно [13], метод сравнения Е. В. Воскресенского [20], проекдионно-итеративный метод [53, 54], метод отражающей функции В. И. Мироненко [62], метод точечных отображений Ю. И. Ней-марка [67], метод итераций Мозера [97]. М. А. Красносельский в работах [38, 39] условие существования периодического решения определяет неподвижной точкой оператора сдвига по траекториям исходной системы дифференциальных уравнений.

М. Т. Терехиным [82 — 84] и его учениками [15, 52, 74] исследовались вопросы существования ненулевых периодических решений и бифуркации систем дифференциальных уравнений, зависящих от векторного параметра. При доказательстве теорем используется фундаментальная матрица соответствующей линеаризованной системы и принципы неподвижной точки. Работа [84] посвящена определению условий существования устойчивого предельного цикла для системы «хищник — жертва» специального вида, расположенного в окрестности состояния равновесия и даны оценки областей притяжения к этому состоянию равновесия. В работе [15] используется представление фундаментальной матрицы в виде матрицантав работе [52] в систему дифференциальных уравнений искусственно вводится векторный параметрв работе [74] фундаментальная матрица находится на основании специального (треугольного) вида матрицы системы линейного приближения.

В большинстве работ, посвященных построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, используются итерационные методы, при помощи которых искомое периодическое решение ищется как предел строящихся последовательных периодических приближений. В работах [4, 5, 23, 24, 26, 29, 44 — 46, 49, 50, 55, 60, 65] сразу говорится, что дифференциальное уравнение не имеет нулевого решения. Это избавляет от необходимости доказывать то, что предельная функция будет ненулевым решением. В работах [11, 12, 16, 26, 58] уточняется, что дифференциальное уравнение имеет нулевое решение только при нулевом значении параметра. В работах [10, 26, 42, 63, 64, 76, 78, 79] вообще не рассматривается вопрос о том, будет ли предельная функция нулевой или нет, если методы исследования указанных работ применить к системе, имеющей нулевое решение при любом значении параметра.

В представленной диссертации исследуется наиболее трудный и мало изученный случай, когда исходная система дифференциальных уравнений вида (0.1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра, методом последовательных приближений определяются условия существования ненулевых периодических решений таких систем. Это одно из главных отличий данной работы от предшествующих.

Кроме того, в данной работе не используется ни фундаментальная матрица [30, 71, 82, 88] соответствующей линейной однородной системы, ни порождающее семейство периодических решений [26, 30, 55, 58] линейной системы, ни матрица Грина [26, 35, 55, 85, 86] для соответствующей краевой задачи. Это объясняется невозможностью в общем случае описать аналитическую структуру периодического решения системы линейного приближения системы (0.1) с коэффициентами, зависящими от времени.

В диссертации для построения ненулевого периодического решения системы (0.1) существенную роль играет наличие в правой части нелинейных членов, а именно вектор-форм по фазовой переменной.

Если в работах [11, 12, 23, 24, 26, 30, 39, 42, 51, 55, 58, 63, 76, 77] используются итерационные методы построения периодических решений систем со скалярным параметром и периодическое решение ищется в виде ряда, составленного по степеням этого параметра, то в данной диссертации в общем случае используется векторный параметр, что существенно усложняет решение задачи определения оценки значений параметра, при которых существует периодическое решение. Отметим, что в случае скалярного параметра проверка условий теорем и соответственно алгоритм построения периодического решения упрощаются.

Отличительной чертой диссертации от работ [29, 44 — 46, 49, 50] является применение итерационных методов в особенном случае (интеграл по периоду от матрицы системы линейного приближения является особенной матрицей). В диссертации исследование этого случая выполнено с привлечением аппарата псевдообратных матриц, что позволило доказать теоремы о существовании ненулевых периодических решений системы (0.1) при более общих предположениях.

Содержание работы. Диссертация содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения построения ненулевых периодических решений на основе подходов [47, 48, 82 — 84]. Работа состоит из трех глав, разбитых на параграфы (сквозная нумерация параграфов).

В первых двух главах диссертации предполагается, что система (0.1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра е. Искомое периодическое решение системы (0.1) находится как ненулевой предел последовательности периодических вектор-функций. Исследуются два случая: неособенный (интеграл по периоду от матрицы системы линейного приближения является неособенной матрицей) и особенный (интеграл по периоду от матрицы системы линейного приближения является особенной матрицей).

Первая глава диссертации посвящена построению первого ненулевого приближения. Дается общая схема алгоритма построения ненулевого периодического решения методом последовательных приближений. В § 1, § 2 главы 1 исследуется неособенный случай. Здесь даются необходимые и достаточные условия существования первого ненулевого приближения к ненулевому периодическому решению системы (0.1), являющегося постоянным вектором (не зависящим от времени). Дается аналитическая структура этого приближения и оценка значений параметра, при которых оно существует. При доказательстве теорем используются методы неподвижной точки нелинейного оператора. В § 3 исследуется особенный случай. Здесь показывается, что при определенных условиях, наложенных на линейную и нелинейную части исходной системы дифференциальных уравнений, задача построения первого ненулевого приближения сводится к применению результатов, полученных при рассмотрении неособенного случая (§ 1, § 2). В этом случае применяется аппарат псевдообратных матриц.

Рассмотрены конкретные системы дифференциальных уравнений, построены первые ненулевые приближения к их ненулевым периодическим решениям.

Вторая глава работы посвящена построению и исследованию сходимости высших периодических приближений в неособенном (§ 4) и особенном случаях (§ 5). В каждом из случаев даются коэффициентные признаки существования начальных значений (постоянных векторов) для кго приближения из условия периодичности (£+1)-го приближения. Доказана основная теорема о сходимости последовательных периодических приближений к ненулевому периодическому решению исходной системы дифференциальных уравнений, приводится оценка снизу и сверху нормы искомого периодического решения.

В качестве примера рассмотрена система «хищник — жертва» при наличии внутривидовой конкуренции, проблема существования ненулевого периодического решения которой исследуется методом последовательных приближений.

В третьей главе диссертации используется метод перехода от дифференциального уравнения к интегральному уравнению. В § 6 главы 3 доказывается основная теорема о сведении задачи нахождения ненулевого периодического решения системы (0.1) к задаче нахождения ненулевого периодического решения интегрального уравнения и решения некоторого трансцендентного уравнения. Для нахождения условий существования ненулевого периодического решения интегрального уравнения в особенном случае (§ 8) применяется аппарат псевдообратных матриц. Даются коэффициентные условия существования периодического решения интегрального уравнения и оценка значении параметра, при которых это решете существует. Получен общий вид обратных операторов линейных операторов специального вида. Доказательство теорем существования периодического решения основано на привлечении свойств линейных обратных операторов и применении локального принципа сжимающих отображений.

Приведены примеры построения периодического решения уравнения Дюффинга (вдали от главного резонанса) и положительного периодического решения уравнения бимолекулярной химической реакции. Даны оценки величин параметров, при которых существуют искомые периодические решения.

Необходимые сведения по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [7, 32, 68, 71, 88], по функциональному анализу — из [36, 39, 56, 67], по линейной алгебре — из [21].

На защиту выносятся следующие положения:

1). Определение необходимых и достаточных условий существования первого ненулевого приближения в неособенном и особенном случаях;

2). Определение коэффициентных условий существования высших периодических приближений и их сходимость к ненулевому периодическому решению в неособенном и особенном случаях;

3). Построение ненулевого периодического решения исходной системы путем перехода к интегральному уравнению в неособенном и особенном случаях.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической.

15 конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии, на XXIII Конференции молодых ученых МГУ («Ломоносов-2001»), на Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложений в Рязанском государственном педагогическом университете (9−12 октября 2001), на семинаре по дифференциальным уравнениям в Удмуртском государственном университете.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [100.

110].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной работе рассматривалась задача построения ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений вида.

Х= А (/)х + /{.V, t, ?) где х-«-мерный вектор, A (tf (x, s) — соответственно пхп-матрица и п-мерная вектор-функция, о-периодические по t, s — от-мерный вектор-параметр.

В случае, когда эта система имеет нулевое решение при всех значениях параметра е, задача построения ненулевого сопериодического решения свелась к построению последовательных ©—периодических приближений, где начальное значение для каждого из этих приближений определяется на основании принципов неподвижной точки. Даются коэффициентные условия сходимости «-периодических приближений к ненулевому сопериодическому решению исходной системы.

В случае, когда система не имеет нулевого решения, задача построения ненулевого сопериодического решения свелась к нахождению &—периодического решения интегрального уравнения.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи.