Системный анализ устойчивости нелинейных динамических систем

Теория устойчивости получила свое развитие еще в XVIII веке, когда Леонард Эйлер строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы — стержня, сжатого сжимающей силой. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ляпунова A.M. 27]. Им были предложены два метода для исследования устойчивости механических систем. Первый метод тем или иным образом исследовал возмущенные решения, которые в основном искались в виде рядов и па основе их свойств делался вывод об устойчивости нулевого решения исходной системы. Этот метод применим только к ограниченному классу случаев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Малкина И. Г. 29], Че-таева Н.Г. 40], Барбашина Е. А. 5], Зубова В. И. 19], Козлова В. В. 25]. Близкое направление по исследованию асимптотического поведения решений и выводов по устойчивости развивается в работах Еругина Н. П. 16], Воскресенского Е. В. 13],[12].

В отличии от первого метода, второй метод Ляпунова является более общим. В его основе лежит исследование функций, обладающих специальными свойствами. Одним из основных преимуществ данного метода является то, что он не ограничивается только вопросами устойчивости, но также позволяет ответить на ряд других важных вопросов. Например, оценка области асимптотической устойчивости, получение условий, при которых нулевое решение остается устойчивым под воздействием различных возмущений и так далее. Развитию данного метода посвящено большое количество работ [26], [6], [19], [21], [34].

Одним из основных подходов для решения вопроса об устойчивости для нелинейных систем является замена исследуемой системы на некоторую вспомогательную систему, которая является более простой для исследования. Для упрощенной системы доказывается устойчивость и показывают, что данное свойство сохраняется при переходе к первоначальной системе.

Еще Ляпуновым были получены условия, при которых линейное приближение решает вопрос об устойчивости нулевого решения. Им также были получены условия, когда вопрос об устойчивости не может быть решен только исследованием линейных членов. В результате приходится рассматривать члены более высокого порядка. Эта задача получила дальнейшее развитие в следующих работах [29], [42].

В некоторых случаях приходится исследовать системы, разложение которых в ряд не содержит линейных членов. В результате этого задача сводится к исследованию систем с однородными правыми частями. Исследованием таких систем занимались Красовский Н. Н., Малкин И. Г., Зубов В. И. Было показано [29], [24], что возмущения более высокого порядка однородности не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Также были получены оценки на решения системы в том случае, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым. Зубовым В. И. было показано, что асимптотическая устойчивость для данного класса систем возможно только тогда, когда порядок однородности является рациональным числом с нечетным числителем и знаменателем. Также им было показано, что при условии асимптотической устойчивости нулевого решения системы существует однородная функция Ляпунова, при этом данная функция является столько же раз непрерывно дифференцируемой, как и правые части системы.

В случае, когда правые части являются нестационарными, анализ устойчивости значительно усложняется. В своей работе Ляпунов предложил подход, который позволяет решить эту проблему, когда правые части являются периодическими функциями, но для более общего случая задача не была решена. Одним из подходов, которые позволяют перейти от исследования нестационарной системы к исследованию стационарной, является метод усреднения. Развитием данного метода занимались такие ученые, как Ван-дер-Поль Б. 10], Боголюбов Н. Н. 7],[8], Митропольский Ю. А. 31]. Было строго математически обосновано применение данного метода, а также получена оценка отклонения решения исходной системы от решения усредненной системы на конечном и бесконечном интервале. Полученные результаты были сформулированы для достаточно широкого класса систем и в следствие этого предполагались сильные ограничения на правые части уравнений. В случае однородных правых частей удается значительно ослабить данные ограничения.

Александров А.Ю. 1], [2], [3] в своих работах исследовал взаимосвязь между устойчивостью нулевого решения усредненной системы и исходной нестационарной системы. Им рассматривались системы вида где fs (x) и hj (x) — однородные функции порядка ц > 1 и, а > 1 соответственно. Делалось предположение, что нулевое решение невозмущенпой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову и на основе этого делался вывод об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Основным методом исследования являлся метод оценок [19]. Нами будет получен похожий результат в первой главе, но в основу исследования будет положен второй метод Ляпунова. Будет несколько усилено условие на правые части системы, за счет этого можно будет гарантировать равномерную устойчивость нулевого решения исходной системы. Для этого случая будет построено однопараметрическое семейство функций и доказано, что при достаточк s = 1,., п $ — 1, ., 71, но малом значении параметра, функции данного семейства будут являться функциями Ляпунова. На основе стандартных методов будет предложен механизм для оценки области асимптотической устойчивости для систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, для которых существует среднее. В работах Александрова А. Ю. были также исследованы различные случаи возмущающей функции bsj (t). Для случая, когда интеграл от этой функции ограничен, были получены условия на порядки однородности fi и а, при которых нулевое решение возмущенной системы остается устойчивым. Похожие условия, только в более общем случае, будут получены нами в третьей главе.

Основной целью второй главы является исследование нестационарных однородных систем, для правых частей которых не существует среднее. Приводятся примеры, которые показывают, что из устойчивости системы при любом «замороженном» моменте времени не следует устойчивость исходной системы. Получены условия, при которых система однородных нестационарных дифференциальных уравнений является равномерно диссипа-тивной. Сформулирована и доказана соответствующая теорема.

В третей главе рассматриваются различные типы возмущений, которые не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. В качестве возмущающих функций будут рассматриваться различные однородные нестационарные функции. В первую очередь интерес представляют функции, порядок однородности которых меньше чем порядок однородности правых частей исходной системы. Во второй части главы исследуется управляемая система нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений. На основе результатов, полученных в первой и третей главе, формулируется несколько теорем о стабилизации данных систем.

Диссертация основа на результатах автора, опубликованных в статьях [35], [36], [37], [38], [39]. Все теоремы, замечания, следствия и примеры снабжены номером. Результаты других ученых даются без номера и со ссылкой на первоисточник. При ссылках на формулы из другого параграфа будет использоваться два числа. Первое указывает номер параграфа, второе номер формулы в нем. Если формула находится в другой главе, то будет использоваться ссылка, состоящая из трех чисел.

Заключение

.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Разработан системный подход к анализу асимптотической устойчивости систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, правые части которых имеют среднее по времени. Сформулирована и доказана теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения для данного типа систем, которая позволяет свести задачу к исследованию стационарных систем. Получена функция Ляпунова, на основе которой построен алгоритм оценки области асимптотической устойчивости.

2. Исследован случай, когда правые части системы не имеют среднего. Показано, что асимптотической устойчивости системы однородных нестационарных дифференциальных уравнений в любой «замороженный» момент времени недостаточно для асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. В то же время, если несколько усилить условия на правые части системы, можно показать равномерную диссипативность для данного типа систем. Сформулирована и доказана соответствующая теорема.

3. Получены классы возмущений на правые части системы, которые не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Предложен алгоритм построения функции Ляпунова для возмущенной системы.

4. Получены условия стабилизации для класса нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе результатов, полученных в предыдущих главах, сформулировано и доказано несколько теорем, которые дают основные принципы построения управления с линейной обратной связью, которое решает задачу стабилизации для данных системы. Для случая, когда задача стабилизации не может быть решена в виде управления с линейной обратной связью, предложен алгоритм построения управления в виде нелинейной обратной связи.