Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница

В данной диссертационной работе изложены результаты, относящиеся к теории многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, связанные с вопросом роста многообразий.

Многообразие линейных алгебр над некоторым полем можно определить как класс всех линейных алгебр над этим полем, в которых выполняется фиксированный произвольный набор тождеств. Задание набора тождеств может быть неявным. Например, можно рассматривать многообразия, порожденные той или иной линейной алгеброй.

Одной из числовых характеристик произвольного многообразия V является размерность Cn (V) пространства полилинейных элементов степени п. Числа Cn (V) образуют последовательность, которую иногда называют последовательностью коразмерностей вербального идеала, соответствующего данному многообразию. Как принято в математическом анализе, различается полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост.

Автором рассмотрены многообразия почти полиномиального роста. То есть само многообразие имеет показательный рост, а любое его собственное подмногообразие — полиномиальный.

В таких классах линейных алгебр, как ассоциативные, алгебры Ли, широко известны результаты о многообразиях с почти полиномиальным ростом.

Так, А. Р. Кемером [19] было показано, что только два многообразия ассоциативных алгебр имеют почти полиномиальный рост. Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана G, второеалгеброй UT2 верхнетреугольных матриц порядка два.

В теории ассоциативных алгебр с инволюцией ситуация сходная. Согласно результатам A. Giambruno, С. П. Мищенко, A. Valenti [39], [44] существует только два многообразия с почти полиномиальным ростом. Одно из них порождается алгеброй G2 = К®К, где К — основное поле с инволюцией (а, Ь)* = (Ь, а). Это многообразие играет роль аналогичную роли бесконечномерной алгебры Грассмана G. Второе многообразие порождается четырехмерной алгеброй (аналогично UT2).

Существенным отличием теории многообразий алгебр Ли от ассоциативного случая является наличие многообразий сверхэкспоненциального роста. В то время как в ассоциативном случае хорошо известен результат А. Регева об ограниченности роста любого собственного многообразия ассоциативных алгебр некоторой экспонентой (см. [6], п. 6.1.9). Первым хорошо изученным примером многообразия сверхэкс-поненциалыюго роста алгебр Ли является многообразие AN2, определяемое тождеством (#1X2³) (x^x^xq) = 0- Данное многообразие было подробно исследовано И. Б. Воличенко [12], [14]. Новые результаты исследований этого многообразия можно посмотреть, например, в работе [38].

Следуя результатам Ю. П. Размыслова, И. Б. Воличенко, V. Drensky, С. П. Мищенко [10], [11], [25], [26], [27], можно сказать, что в теории многообразий алгебр Ли существует только четыре разрешимых многообразия почти полиномиального роста. К тому же построен только один пример неразрешимого многоообразия с таким ростом. Это многообразие порождено трехмерной простой алгеброй Ли [17], [31], [32], которое обозначим Vq. Существование новых примеров неразрешимых многообразий с почти полиномиальным ростом является интересной и трудной проблемой в теории многообразий алгебр Ли.

Перечислим разрешимые многообразия, рост которых является почти полиномиальным. Первое многообразие определяемое тождеством (xX2)(xzXt)(xbXQ) = 0, для единоообразия обозначим V. Вто, где G a G^ рое многообразие Vi порождается алгеброй Ли вида.

О О.

— бесконечномерная алгебра Грассмана, а 0 — нулевая алгебра относи тельно операции коммутирования матриц.

Для дальнейших примеров потребуются следующие алгебры. Ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов от переменной t обозначим R, его можно рассматривать как абелеву алгебру Ли. Обозначим также через М2 двумерную метабелеву алгебру Ли с базисом {h, е} и таблицей умножения he = hy, а через трехмерную нильпотентную алгебру Ли с базисом {a, b, с} и таблицей умножения Ьа = с, ас = be = 0.

Превратим R в М2-модуль, полагая f (t)h = tf{t), f (t)e = tf (t), а также в Л^-модуль, считая, что f (t)a = f'(t), f (t)b = tf (t), f (t)c = f (t). Штрих над многочленом обозначает взятие производной.

Необходимые нам алгебры — такие полупрямые произведения:

М = RXM2, N = RXN3.

Обозначим через V3 многообразие, порожденное алгеброй N, а через V4 многообразие, порожденное алгеброй М. Построенные многообразия имеют почти полиномиальный рост.

Одно из первых упоминаний алгебр Лейбница содержится в работе A.M. Блоха [8]. В 90-х годах эта тематика начала активно развиваться [40], [41]. В этой области работает ряд авторов таких, как А. А. Михалев, V. Drensky [37], [42] .

В данной работе получены новые примеры многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста. Кроме того, исследовано многообразие левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

Это многообразие по своим свойствам оказалось аналогом многообразия AN2 алгебр Ли.

Работа состоит из трех глав. В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и понятия. Во втором параграфе в качестве примера получены несложные результаты, связанные с многообразием В алгебр Лейбница, которое определяется тождеством x (yz) = О и по своим свойствам является аналогом метабелева многообразия алгебр Ли.

Теорема 1. Для любого п Рп (В) как Sn-модулъ раскладывается в прямую сумму неприводимых ненулевых подмодулей Рп{В) = V ф V2, где V — неприводимый подмодуль, соответствующий разбиению (п, 0), а V2 — неприводимый подмодуль, соответствующий разбиению (п — 1,1). При этом dim Рп (В) = п.

Замечание 1. Элементы.

XiXi1.Xin, i < %ч <. < injij фi>i образуют базис пространства Рп (В).

Следствие 1. Решетка подмногообразий многообразия В является дистрибутивной.

Третий и четвертый параграфы носят реферативный характер. В них изложены основные свойства многообразия AN2 и пяти многообразий алгебр Ли почти полиномиального pocTa: Vo, Vi, V2, V3, V4, которые описаны выше.

Из-за близости алгебр Ли и алгебр Лейбница возникает естественный вопрос: какие из свойств многообразий алгебр Ли переносятся на многообразия алгебр Лейбница. Цель работы — построить новые примеры многообразий алгебр Лейбница, которые по некоторым свойствам являются аналогами многообразий AN2, V2, V3, V4.

Вторая глава диссертации содержит новые результаты и посвящена многообразию 3N левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Оно определяется тождеством x (y{zt)) = 0.

По своим свойствам это многообразие похоже на многообразие алгебр Ли AN2.

В пятом и шестом параграфах для многообразия 3N был найден базис полилинейной части, даны формулы коразмерностей вербального идеала и кратностей. Теорема 2. 1) Совокупность элементов вида i.ib.-.imJb-Jm) = Xi{XilXh)(XhXh) ' ' • (XimXjm)Xk 1 • • • Xk"-2m-H где is < js, s = l,., m, i < г'2 <. < im, k < k2 <. < kn—2m—l> образуют базис пространства Pn{3N).

2) Коразмерность вербального идеала многообразия 3JV определяется равенством CnfaN) = п • inv (n — 1), где inv (m) — число инволюций (элементов порядка два) симметрической группы Sm. Теорема 3. Для многообразия 3N кратности т в разложении.

Е тхХ = Х3n.

AI-п равны числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Ah п.

Так как кратности ограничены в совокупности полиномиальной функцией с показателем равным ½, то кодлина в некотором смысле совпадает с количеством разбиений числа п.

Следствие 2. Для кодлины многообразия 3N выполняются следующие неравенства р{п) < InW < V2n-p (n), где р (п) — количество разбиений числа п.

В качестве гипотезы можно сформулировать другие известные для многообразия AN2 свойства. Многообразие 3N может обладать следующими экстремальными свойствами: иметь почти экспоненциальный рост коразмерностей вербального идеалаиметь почти полиномиальный рост кодлиныиметь почти конечные кратности.

Третья глава данной работы содержит результаты, связанные с многообразиями алгебр Лейбница V4- Эти многообразия являются аналогами многообразий V2, V3, V4 и имеют почти полиномиальный рост. В седьмом параграфе исследовано многообразие V2, построенное следующим образом.

Пусть К — поле характеристики ноль. Рассмотрим G — алгебру Грас-смана с порождающим множеством Е — {ei,., е&bdquo-,.}. Относительно коммутирования получим алгебру Ли G^: [<7ь <72] = <7i<72 — <72<7ъ где <7ь <72 из G.

Векторное пространство G с нулевым умножением (то есть д®-д$ = О для любых <7?,<72 из G) будет рассматриваться как абелева алгебра Ли, которую обозначим G0. Зададим действие элементов следующим образом: д? ¦ gj = (gig^f, gj • gf = 0, где д?, (gigjf из G°, д} из G ().

Такое действие задает представление Gна G0 и можно рассмотреть алгебру Лейбница G, являющуюся прямой суммой векторных пространств G () и G°, со следующим правилом умножения:

9i + 9i)(92 + 92) = 9192 + 9I92, где д{ из д? из G0. Многообразие порождено алгеброй G. Для исследуемого многообразия доказаны теоремы. Теорема 4. Базисом пространства полилинейных элементов многообразия Ц> являются элементы вида • • Xir (XhXk) • • ' (Xja-lX3s)l где ii < г2 <. < tr, j < j2 < • ¦ ¦ < js, n = s+r+1, г ф ikl, i ф jk2,.

Размерность пространства вычисляется no формуле: dim Pn (V2) = n • 2n~2.

Теорема 5. Многообразие V2 имеет почти полиномиальный рост. Следствие 3. Кодлина многообразия V2 вычисляется по формуле ln (V2) = Зп — 5.

В восьмом параграфе исследовано многообразие V^. Пусть задано К — поле нулевой характеристики. K[t] - кольцо многочленов от переменной t. N3 — алгебра Гейзенберга с базисом а, 6, с и умножением Ьа = с, ас = be = 0. Алгебра N3 является алгеброй Ли. Превратим кольцо многочленов K[t] в правый модуль алгебры N3. Базисные элементы действуют справа на полином f (t) из K[t] следующим образом: f (t)a = m, f (t)b = tf (t), f (t)c = f (t), где f'(t) — производная полинома f (t).

Необходимая алгебра Лейбница является прямой суммой векторных пространств N3 и K[t], где умножение задается правилом: x + f (t))(y + 9(t)) = xy + f (t)y, где х, у из N& /(?),#(?) из K[t]. Обозначим эту алгебру символом N. Полученная алгебра N порождает многообразие V3. Для него верен результат.

Теорема 6. Многообразие V3 имеет почти полиномиальный рост. В девятом параграфе исследовано многообразие V4. Пусть K[t] - ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов от переменной t над полем К. Его можно рассматривать как алгебру Лейбница с нулевым умножением. Обозначим через двумерную метабелеву алгебру Ли с базисом {h, е} и таблицей умножения he = —eh = h.

Зададим действие базисных элементов Мг на элементы K[t] следующим образом: f (t)h = tf (t), f (t)e = tf'(t), где f'(t) — производная многочлена f (t).

Пусть Мпрямая сумма векторных пространств Mi и K[t]. При этом в алгебре М умножение определяется правилом: mi + /i)(m2 + /2) = mim2 + /im2, где mi, m2 из M2 /ь/г из K[t).

Пусть V — многообразие, порожденное алгеброй Лейбница М: V4 = var М. Для данного многообразия доказана теорема. Теорема Т. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост.

Таким образом, в данной диссертационной работе представлены три новых примера многообразий алгебр Лейбница. В ходе исследований показано, что все они имеют почти полиномиальный рост. Кроме того, изучено многообразие левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Для этого многообразия найден базис полилинейной части, даны формулы коразмерностей вербального идеала и кратно-стей.

Результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах.

1. XXIV Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2002 г.).

2. X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2002 г.).

3. Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2002» (Казань, 2002 г.).

4. V Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Тула, 2003 г.).

5. семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основная часть результатов опубликована в работах автора [1], [2], [3], [4], [36].

В заключение автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю С. П. Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и моральную поддержку.

1. Абанина J1.E. Многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x (yz) = 0.//Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики, выпуск 1(11) — 2002 г.— 168 е.— стр. 3−7.

2. Абанина Л. Е., Мищенко С. П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница. //Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ, Москва: «Союз 2002. 154 с. — стр. 95−99.

3. Абанина Л. Е. Многообразие алгебр Лейбница V2./Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 18. Казань: Изд-во Казанского математ. общества, 2002. 112 с. — стр. 3−4.

4. Абанина Л. Е. Многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста.//Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V международной конференции Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2003 г. — 299 с. — стр. 3−4.

5. Бахтурин Ю. А. О тождествах в метабелевых алгебрах Ли. — Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1975, 1, стр. 12−18.

6. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли.- М.: Наука, 1985.

7. Бенедиктович И. И., Залесский А. Е. Т-идеалы свободной алгебры Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей.

8. Блох A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли. Доклады Академии наук СССР. 1965 г. Том 18. N 3.

9. Валенти А., Мищенко С. П. Экстремальные многообразия алгебр Лейбница. //Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V международной конференцииТула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2003 г. 299 с. — стр. 59−60.

10. Воличенко И. Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Весщ АН БССР: Сер. ф1з.- ма-тем.навук, 1980, N 1, с.23−30.

11. Воличенко И. Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Весщ АН БССР: Сер. ф! з.- ма-тем.навук, 1980, N 2, с.22−29.

12. Воличенко И. Б. О многообразии алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль//ДАН БССР 1981. Т.25. N 12. С. 1063−1066.

13. Воличенко И. Б. Исследование некоторых экстремальных многообразий алгебр Ли. Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук.-Минск, 1981.

14. Воличенко И. Б. Многообразия алгебр Ли с тождеством [xl, x2, x3],[x4,x5,x6]]=0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журн.-1984.-Т.25.-К 3. С.40−54.

15. Джамбруно А., Зайцев М. В., Мищенко С. П., Кратности характеров полилинейной части многообразия AN^-//Ученые записки. Фундаментальные проблемы математики и механики, выпуск 1(5) 1998 г. — стр. 59−62.

16. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп.-М.:Мир, 1982.18.