Исследование аналитической модели кромки при обработке изображений с использованием уравнений нелинейной диффузии

В конце 80-х и начале 90-х годов прошедшего столетия появились работы по применению моделей с дифференциальными уравнениями в частных производных при обработке изображений. Так, в работе Регопа Р. and Malik J., Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic diffusion. // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1990. Vol. 12. №.7. pp. 629−639 предлагается следующая модель. С математической точки зрения шум интерпретируется как некоторая абстрактная функция с максимумами и минимумамис некоторой, быть может, характерной частотойконечно, непериодическаяс условной амплитудой, меньшей, чем характерные значения сигнала для обрабатываемого изображения. Если рассматривать такую функцию (сначала в одномерной по пространственной переменной интерпретации) в качестве начального условия задачи Коши для линейного уравнения в частных производных параболического типа (уравнения диффузии), то, такой шум будет исчезать с течением времени, в силу свойств указанного уравнения. С другой стороны, если рассмотреть ступенчатую функцию, которая интерпретирует кромку на изображении (резкую границу яркости), в качестве начальной функции для того же линейного уравнения диффузии, то кромка будет размазываться с течением времени и четкость картинки будет нарушаться. П. Перона и Дж. Малик ставят следующую задачу: как добиться одновременного подавления шума и сохранения кромки в данном применении параболических уравнений? Для этой цели предлагается рассмотреть коэффициент диффузии, нелинейно зависящий от градиента решения. При этом он должен стремиться к нулю, когда производная решения стремится по модулю к бесконечности. В цитированной работе предлагаются типичные зависимости, удовлетворяющие указанному свойству. Однако авторы рассматривают уравнение диффузии в дивергентной форме. Простейшая подстановка выявляет некорректность по Адамару задачи с начальными условиями для предлагаемых зависимостей коэффициента диффузии от градиента решений.

Идеи П. Пероны и Дж. Малика развивались в работах Catte FLions P.-L., Morel J.-M. and Coll T., Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion // SI AM J. Numer. Anal 1992. Vol. 29. № 1. pp. 182 193 и Alvarez L., Lions P.-L. and Morel J.-M., Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion. //// SI AM J. Numer. Anal. 1992. Vol. 29. № 3. pp. 845−866. В последней работе обнаруживается некорректность по Адамару и предлагается модель, использующая уравнение параболического типа в недивергентной форме. Здесь, в коэффициенте диффузии используется свертка с гауссианом, куда входит малый параметр. Однако не понятно, какое значение малого параметра должно браться в каждом конкретном случае обработки изображений. К тому же, само использование гауссиана с малым параметром означает фактически некоторую регуляризацию, то есть заранее приводит к размазыванию изображений.

В работе Osker S. and Rudin LFeature-oriented image enhancement using shock filters. // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. Щ. pp. 919−940 предлагается использовать уравнение линейного переноса с разрывными коэффициентами. Однако основная цель здесь сегментирование изображения, а не подавление шумов.

В работах Rudin L., Osker S. and Fatemi E., Nonlinear total varaition based noise removal algorithms //Physica D. 1992. Vol. 60. pp. 259−268 и Proesmans M., Pauwels E.J., van Gool L., Coupled geometry-driven diffusion equations for low-level vision /f Geometry-driven diffusion in computer vision. Dordrecht: Kluwer Acad. Pubis. 1994¦ pp. 191−228 предлагаются модели подавления шумов и улучшения изображения, основанные на оптимизации функционалов. Необходимое условие экстремума в виде уравнения Эйлера-Лагранжа решается методом градиентного спуска. Получается довольно громоздкая система уравнений в частных производных с искусственно вводимым параметром и не лишенная неустойчивости по Адамару.

В работе Цурков В. И., Аналитическая модель сохранения кромки при подавлении шумов посредством анизотропной диффузии // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 107−110 рассматривается уравнение нелинейной диффузии, справедливое вблизи кромок, с коэффициентом, зависящим от градиента в виде степенной функции и удовлетворяющего упомянутому условию Пероны-Малика. Найдено автомодельное решение с сингулярностью гёльдеровского типа, которая сохраняется с течением времени. Автор интерпретирует этот факт как аналитическую модель сохранения кромки.

Диссертационная работа посвящена выбору модели одновременного сохранения кромки и подавления шумов на изображениях на основе уравнений в частных производных, исследованию её математических свойств и адекватности, разработке эффективных алгоритмов для использования на реальных изображениях.

Целью диссертационной работы является:

1. Среди различных моделей с использованием дифференциальных уравнений при обработке изображений выбор модели, обладающей следующими свойствами: разрешимостью соответствующих задач, устойчивостью в смысле малых возмущений начальных значений, одновременным подавлением шума и сохранением кромки, возможностью построения эффективного численного алгоритма в конкретных реализациях.

2. Построение и анализ автомодельных решений, которые имеют сингулярности, сохраняющиеся с течением времени и интерпретирующие модель сохранения кромки на изображениианализ асимптотического поведения автомодельных решений.

3. Численное обоснование одновременного сохранения кромки и подавления шума в аналитической модели.

4. Создание программного комплекса на основе применения аналитической модели сохранения кромки для эффективной обработки реальных изображений и его тестирование.

Научная новизна. Впервые исследованы свойства модели нелинейной диффузии в обработке изображений и получены следующие результаты :

1. Установлена адекватность аналитической модели кромки исходному требованию одновременного подавления шумов и сохранения кромок при обработке реальных изображений.

2. Разработаны численные алгоритмы по обработке изображений с использованием модели на основе уравнения нелинейной диффузии, включая расщепление по одномерным направлениям в методе дробных шагов.

3. Для уравнения модели нелинейной диффузии, на основании метода априорных оценок для потенциальной функции, установлено, что если в начальный момент кромка задаётся в виде сингулярной функции гёльдеровского типа с показателем, зависящим от параметра системы, то с течением времени решение будет относиться к тому же классу. Найдена зависимость класса решений уравнений модели подавления шумов в зависимости от типов начальных данных.

4. Исследованы закономерности предельного поведения решений уравнений модели нелинейной диффузии.

Практическая ценность.

Результаты диссертационной работы применимы в задачах обработки изображения и как предварительный этап в задачах распознавания и анализа изображений. Применение уравнения нелинейной диффузии позволяет удалить шум на изображении, максимально сохранив его естественную структуру. В работе предложен и программно реализован эффективный численный метод решения рассматриваемого уравнения.

Обоснованность научных положений. Теоретические результаты, полученные в диссертации, сформулированы в виде лемм и теорем и строго доказаны. Экспериментальные исследования проведены по предварительно разработанным и теоретически обоснованным методикам.

Методы исследования. В диссертации используются подходы математического моделирования, теории уравнений в частных производных, априорные оценки, принцип максимума для параболических уравнений, метод дробных шагов, метод потенциальных функций.

Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались:

• на научной конференции «Математические модели сложных систем и междисциплинарные исследования», посвященной 85-летию академика H.H. Моисеева (ВЦ РАН, Москва, 2002);

• на семинаре кафедры математического моделирования Московского Энергетического Института, в 2002 году;

• на семинаре лаборатории под руководством [НА. Бобылева) в институте проблем управления РАН в 2002 году.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатные работы [9−12].

Работа состоит из настоящего введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 70 наименований. Общий объём диссертации — 108 страниц.

В первой главе представлены основные известные подходы применения дифференциальных уравнений в частных производных при обработке изображений. Особое место уделяется вышеупомянутой постановке П.

Пероны и Дж. Малика, и детально обсуждается отсутствие устойчивости по Адамару для задач с начальными значениями. Центральное внимание уделяется недивергентной форме нелинейных параболических уравнений и аналитической модели сохранения кромки, чему и посвящается вся последующая часть диссертационной работы.

Во второй главе представлены теоремы существования и единственности краевых задач для уравнений нелинейной диффузии в функциональных пространства. Поскольку аналитическая модель кромки связана с сингулярной функцией гёльдеровского типа, то устанавливается теорема существования в классе Гёльдер-непрерывных функций. Доказательство основано на получении внутренних априорных оценок констант Липшица для так называемой потенциальной функции. Другой тип теорем существования предполагает, что начальные данные задаются в соболевских пространствах. Метод доказательства основан на получении априорных оценок энергетического типа и использовании аналога метода Галёркина. Также представлены результаты вычислений. На сингулярную функцию из аналитической модели сохранения кромки накладываются возмущения различных типов. В рамках данного рассмотрения после нескольких итераций шумы исчезают, а кромка — остаётся. В другой серии вычислений аналитическая модель кромки применяется в обработке реальных изображений. Используется метод дробных шагов для расщепления на одномерные модели. Представлены графики яркости до и после удаления шумов.

В третьей главе изучается класс автомодельных решений с переменной, равной отношению пространственной координаты к квадратному корню от времени. Устанавливается вид решений. Рассматривается асимптотическое поведение решений и стремление решений уравнения в частных производных к таким автомодельным решениям.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Осуществлен выбор модели одновременного подавления шумов и сохранения кромки на основе использования недивергентных уравнений параболического типа с точки зрения устойчивости относительно начальных данных, отсутствия априорного сглаживания и сохранения сингулярностей решения с течением времени.

2. Для модельных уравнений нелинейной диффузии со степенной зависимостью коэффициента от производной решения получены оценки производных потенциальной функции, из которых выводится разрешимость уравнений. Найдены типы решений в зависимости от классов начальных условий.

3. В модели нелинейной диффузии установлены свойства класса автомодельных решений и их роль как предельных по времени для исследуемой модели.

4. Разработан программный комплекс на основе эффективных численных алгоритмов по модели интерпретации одновременного сохранения кромок и подавления шумов, а также по обработке изображений с использованием уравнения нелинейной диффузии, включая расщепление по одномерным направлениям в методе дробных шагов.

Заключение

.

В заключение перечислим результаты, выносимые на защиту.

1. Осуществлен выбор модели одновременного подавления шумов и сохранения кромки на основе использования недивергентных уравнений параболического типа с точки зрения устойчивости относительно начальных данных, отсутствия априорного сглаживания и сохранения сингулярностей решения с течением времени.

2. Для модельных уравнений нелинейной диффузии со степенной зависимостью коэффициента от производной решения получены оценки производных потенциальной функции, из которых выводится разрешимость уравнений. Найдены типы решений в зависимости от классов начальных условий.

3. В модели нелинейной диффузии установлены свойства класса автомодельных решений и их роль как предельных по времени для исследуемой модели.

4. Разработан программный комплекс на основе эффективных численных алгоритмов по модели интерпретации одновременного сохранения кромок и подавления шумов, а также по обработке изображений с использованием уравнения нелинейной диффузии, включая расщепление по одномерным направлениям в методе дробных шагов.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить профессора Цуркова В. И. за постановку задачи и научное руководство, а также профессора Дубинского Ю. А. и чл.корр. РАН Бесова О. В. за научные консультации. Автор признателен к.т.н. Мурынину A.B. и к.ф.м.н. Матвееву И. А. за предоставление аппаратуры для экспериментальной части.