Скрученные подмножества в группах и их обобщения

В работе [13] М. Ашбахер вводит понятие скрученной подгруппы в группе. При этом скрученной подгруппой (twisted subgroup) называется подмножество К группы G, удовлетворяющее следующим условиям: tsi) 1 е к, ts2) Если х, у е К, то хух е К.

В.В. Беляевым было замечено, что в ряде случаев вместо свойства (ts2) удобнее рассматривать свойство ts2*) Если х, у G К, то xy~lx G К.

Основное определение. (Беляев В.В.) Подмножество К группы G, для которого выполняются (tsl) и (ts2*) будем называть скрученным подмноэюеством.

Нетрудно показать, что скрученные подмножества всегда являются скрученными подгруппами. В конечных группах справедливо и обратное, то есть любая скрученная подгруппа есть скрученное подмножество. При этом стоит заметить, что М. Ашбахер в [13] работает только в конечных группах.

Понятно, что любая подгруппа в группе является скрученным подмножеством. В качестве нетривиальных примеров скрученных подмножеств можно указать множество инволюций группы, пополненное 1, а также множества = { х G G | ip (x) = ж-1 } и D (ip) = { x~lcp (x) | х G G }, где ip — инволютивный автоморфизм группы G.

Следует отметить, что понятия скрученного подмножества и скрученной подгруппы в группе были введены недавно. Поэтому пока эти объекты не подвергались систематическому изучению. Так, например, в работе [13] М. Ашбахер исследует в основном скрученные подгруппы специального вида, которые возникают в работе Т. Федера и М. Варди [18] и связаны с прикладными задачами.

С другой стороны, понятие скрученного подмножества обнаруживает связь с рядом классических объектов, которые происходят как из теории групп так и из геометрии и теоретической физики. Остановимся на этой связи более подробно.

Пусть С? — произвольная группа. Исходя из определим на бинарную операцию х о у := ху~хх для всех х, у? Таким образом, мы ставим в соответствие группе Сг группоид (С?, о). При этом скрученными подмножествами группы (7 являются подгруппоиды группоида (С, о), содержащие 1.

Несложно проверить, что в любой группе выполняются следующие тождества: з1) х о х = х,.

62) х о (х о у) = у,.

63) х о (у о г) = (х о у) о {х о х).

Симметрические пространства.

Понятие симметрического пространства, ставшее классическим и вошедшее в учебники по дифференциальной геометрии (см. например [3], [10], [11]) благодаря работам Э. Картана является, по всей видимости, первым историческим примером изучения системы тождеств (з1)—(бЗ).

Сам Э. Картан [4] определял симметрическое пространство, как риманово многообразие, любая симметрия которого сохраняет метрику.

В более поздних работах, например [5], симметрическое пространство определяется, как гладкое многообразие М, на котором задана бинарная операция, удовлетворяющая тождествам (з1)—(бЗ) и дополнительному топологическому свойству б4) для любой точки х из М существует такая ее окрестность что равенство х о уо = т влечет равенство х = ги для всех точек т Е II.

Операция «о» имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть, А и В — точки некоторой поверхности М, лежащие достаточно близко друг от друга. Проведем геодезическую линию / из В в А. Продолжая I далее, отложим от точки, А на линии I точку С с тем условием, что ВА = АС. Полагая, теперь, А о В := С, мы вводим бинарную операцию на точках поверхности М. Проверяется, что данная операция удовлетворяет условиям (в1)-(в4).

Отметим, что общая теория симметрических пространств излагается в монографиях [2], [5], [12].

Системы корней.

Понятие системы корней возникает в теории групп лиева типа и необходимо для построения группы Вейля [16].

Пусть V — евклидово пространство размерности п. Скалярное произведение векторов х, у? V будем обозначать через {х, у). Для произвольного ненулевого вектора V? V определим отображение V —* V.

2 (Х, У) У)"{х) := х — ——г-.

Геометрически шь{х) есть отражение вектора х относительно гиперплоскости, ортогональной вектору V. Отображение тг1 является линейным оператором пространства V для всякого V ф 0, причем ш,(г>) = —V.

Подмножество ФСК называется системой корней пространства V [16], если выполняются следующие аксиомы:

1) Ф — конечное множество ненулевых векторов.

2) Ф порождает V.

3) Если г, 5 € Ф, то гуг (5) € Ф.

4) Если Ф, то 2(г, з)/(г, г) — целое число.

5) Если г, Ля € Ф, где Л € Е, то Л = ±1.

Пусть Ф — система корней пространства V. Определим на Ф бинарную операцию г о б := гиг (з) для произвольных г, в Е Ф.

Непосредственная проверка показывает, что операция «©-» удовлетворяет тождествам (з2) и (бЗ). Заметим, однако, что г ог — —г для всех г € Ф.

Далее, из условия (3) следует, что если г 6 Ф, то— г Ё Ф. Рассмотрим разбиение тг множества Ф на подмножества вида {г,—г}, где г € Ф. Нетрудно видеть, что разбиение 7 Г является конгруэнцией группоида (Ф, о). Следовательно в фактор-группоиде Ф = Ф/тг выполняются (в2) и (эЗ). Кроме того в Ф выполняется и (б1).

Таким образом, произвольной системе корней можно поставить в соответствие группоид, в котором бинарная операция удовлетворяет тождествам (з1)—(эЗ).

Заметим в заключении, что если функция ги сопоставляет элементам из группоида Ф их действие на V, то образ гЬф лежит в группе ортогональных преобразований пространства V и является подмножеством, замкнутым относительно операции «о», причем гиг*03* = ги^ о гЬ8* для всех г, в? Ф.

Симметричные матрицы.

Множество симметричных матриц в матричных кольцах играет большую роль в связи с задачей классификации симметричных билинейных форм.

Пусть 5 — множество симметричных матриц в матричной группе С?. Тогда понятно, что Е € 5, где Е — единичная матрица. Оказывается также, что для произвольных матриц 6 5 матрица X о У = ХУ~1Х снова содержится в ?>. Это можно проверить непосредственно, а можно заметить, что? совпадает с множеством 1(<р), где <р — инволютивный автоморфизм группы (2, переводящий произвольную матрицу X в матрицу.

Таким образом, множество? является скрученным подмножеством группы С.

Заметим, что скрученным подмножеством в (3 будет также множество матриц вида ХХТ, где X Е 6?. Это следует из того, что указанное множество совпадает сО (^) для определенного выше автоморфизма </?.

Лупы нечетного порядка.

В работах [21], [22], Дж. Глауберман исследовал группы нечетного порядка с введенной следующим образом бинарной операцией: х 0 у ух^. Относительно этой операции группа является лупой. В работе [21] для данных луп были доказаны аналоги теорем Лагранжа и Силова.

Заметим, что если подмножество Н группы нечетного порядка содержит 1 и замкнуто относительно операции «О», то Н замкнуто и относительно операции х * у — хух, поскольку х*у = х<�Э (х<�Эу). Таким образом, следуя терминологии М. Ашбахера [13], множество Н есть скрученная подгруппа. Но нетрудно показать, что тогда Н есть скрученное подмножество. Справедливо и обратное, то есть, если Н — скрученное подмножество из группы нечетного порядка, то Н замкнуто относительно операции «О» .

Таким образом, фактически, в работах [21], [22] изучались скрученные подмножества в группах нечетного порядка.

Возвращаясь к свойствам операции 110″ в группах нечетного порядка, что Дж. Глауберман отмечает в [21], что имеет место следующее тождество:

Ь) х О (у О {х © г)) = (х О {у 0 ж)) О г.

В работе [19] тождество (Ь) называется левым тождеством Бола, а лупы, в которых оно имеет место, соответственно, левыми лупами Бола. В [24, 26] рассматривается двойственное тождество.

И,) ((г © х) © у) © х = г ® ((ж © у) © х).

Лупы обладающие свойством (Ы) называются правыми лупами Бола. Естественно, результаты, полученные, скажем, для правых луп Бола могут быть легко перенесены на левые и наоборот.

М. Ашбахер в [14] работает с тождеством (Я). Следуя Бэру [15], для произвольной лупы (X, •) рассматривается множество К (Х) = { И{х) | х € X } С Зут (Х), где каждая подстановка Я (х) действует на X следующим образом: уН{х) := у ¦ х для всякого у е X. Со ссылкой на работы [19, 25], Ашбахер отмечает, что лупа X является правой лупой Бола тогда и только тогда, когда множество подстановок К (Х) является скрученным подмножеством группы Зут (Х).

Гирогруппы.

Гирогруппы — это лупы специального вида, которые, по всей видимости, впервые появились в работе Абрахама А. Унгара [30] в 1988 году. В этой работе рассматривался так называемый релятивистский группоид в котором бинарная операция не является ни коммутативной, ни ассоциативной. Понятие гирогруппы обобщает конструкцию релятивистского группоида .

Группоид (С, О) называется гирогруппой [17, 20], если его бинарная операция удовлетворяет следующим условиям:

1) в С существует по крайней мере один элемент, обозначаемый 1, такой, что 1 0 д — д для любого элемента д из С.

2) существует элемент 1 из С, удовлетворяющий (1), такой, что для любого элемента д из С? найдется элемент г из С, такой, чтог 0 д = 1.

3) для любых элементов а, Ь, г из С? существует единственный элемент дуг[а, Ъ){г) е (2, такой, что, а © (Ь © г) = (а © Ь) © дуг[а, Ъ]{г).

4) отображение гг —> дуг [а, 6] (ж) является автоморфизмом группоида.

С,©-).

5) дуг[а, 6] = дуг[а © 6,6] для всех а, Ь е С.

Конструкции гирогрупп и их физические интерпретации приводятся в работах [31],[32] и [34].

В работах [20], [33] показано, что любая гирогруппа может быть вложена в некоторую группу в виде скрученной подгруппы. Таким образом, скрученные подмножества в группах обнаруживают связь с конструкциями, возникающими в теоретической физике.

В силу приведенных выше примеров правомерно поставить общий вопрос об изучении скрученных подмножеств и разработке некоторой теории этих структур. Заметим, что построению начал такой теории посвящены работы Мыльникова А. Л. [6, 7, 8, 9] и совместная работа Беляева В. В. и Мыльникова А. Л. [1].

В настоящей диссертации продолжается исследование скрученных подмножеств в группах.

В главе I мы вводим на произвольной группе новую бинарную операцию х о у := ху~1х, которую называем операцией скручивания и исследуем свойства скрученных подмножеств с точки зрения тождеств, которым удовлетворяет эта операция.

В главе II исследуется поведение скрученных подмножеств в подгруппах, ими порожденных и вводится понятие симметричного подмножества, которое обобщает понятие скрученного.

1. Беляев, В. В. Оценка порядка группы, порожденной конечным скрученным подмножеством /В.В. Беляев, А. Л. Мыльников. //Математические системы. Вып.6 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.— Красноярск, 2007.—С. 3—5.

2. Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны /Дж. Вольф.— М.: Наука, 1982.

3. Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения. В 2 т. Т.2 Геометрия и топология многообразий /Б.А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко.— М.: Эдиториал УРСС, 1998.

4. Картан, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства: сб. ст. /Э. Картан— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.

5. Лоос, О. Симметрические пространства /О. Лоос— М.: Наука, 1985.

6. Мыльников, А. Л. Конечные перекрученные группы /А.Л. Мыльников //Математические системы. Вып. З /Краснояр. гос. аграр. ун-т, — Красноярск, 2005.—С. 53—58.

7. Мыльников, А. Л. Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы /А.Л.Мыльников //Сиб. матем. ж.—2006.— Т.47,—N5,—С. 1117−1127.

8. Мыльников, A.JI. О ступени разрешимости конечной перекрученной группы /A.JI. Мыльников //Вестник Красноярского госуниверситета.— 2006—N1.-C. 61−67.

9. Мыльников, A.JI. Конечные минимальные неперекрученные группы /A.JI. Мыльников //Вестник Красноярского госуниверситета.—2005.— N1.-C. 71−76.

10. Постников, М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. /М.М. Постников— М.: Изд-во «Факториал», 1998.

11. Трофимов, В.В.

Введение

в геометрию многообразий с симметриями /В.В. ТрофимовМ.: Изд-во МГУ, 1989.

12. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства /С. Хелгасон— М.: Мир, 1964.

13. Aschbacher, М. Near subgroups of finite groups /М. Aschbacher //J. Group Theory.—1998.—v.l. N2.-P. 113−129.

14. Aschbacher, M. On Bol loops of exponent 2 /М. Aschbacher //J. of Algebra 288(2005).-P. 99−136.

15. Baer, R. Nets and Groups /R. Baer //Trans. Amer. Math. Soc. 47(1939)—P. 110−141.

16. Carter, R. W. Simple groups of Lie type /R.W. Carter //New York: Wiley and Sons—1972.

17. Feder, T. Strong near subgroups and left gyrogroups /Т. Feder //J. of Algebra 259(2003).-P. 177−190.

18. Feder, T. The computational structure of monotone monadic SNP and constraint satisfaction: A study through datalog and group theory /Т. Feder, M. Vardi //SIAM J. Comput. N28. -1998.-P. 57−104.

19. Foguel, T. On twisted subgroups and Bol loops of odd order /T. Foguel, M. Kinyon, J. Philips //submitted for publication.

20. Foguel, T. Involutory decomposition of groups into twisted subgroups and subgroups /T. Foguel, A.A. Ungar //J. Group Theory 3(2000).-P. 27−46.

21. Glauberman, G. On loops of odd order /G. Glauberman //J. of Algebra.— 1964. Nl.-P. 374−395.

22. Glauberman, G. On loops of odd order II /G. Glauberman //J. of Algebra.— 1964. N8—P. 393−414.

23. Gorenstein, D. Finite groups /D. Gorenstein //Harper and Row.—New York, 1968.

24. Kiechle, H. Theory of K-loops, Lecture Notes in Mathematics 1778 /H. Kiechle //Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.—2002.

25. Kreuzer, A. Inner mappings of Bruck loops /A. Kreuzer //Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 123 (1998).-P. 53−57.

26. Robinson, D. A. Bol loops /D.A. Robinson //Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966).—P. 341−354.

27. Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups.—4th ed. /Joseph Rotman //1995 Springer-Verlag New York, Inc.

28. Suzuki, M. Group theory I /Michio Suzuki //1982 Springer-Verlag New York, Inc.

29. Suzuki, M. Group theory II /Michio Suzuki //1986 Springer-Verlag New York, Inc.

30. Ungar, A.A. Thomas rotation and the parametrization of the Lorentz transformation group /A.A. Ungar //Found. Phys. Lett—1988. N1.—P. 57—89.

31. Ungar, A.A. Thomas precession and its associated grouplike structure /A.A. Ungar // Amer. J. Phys—1991. -v.59.-P. 824−834.

32. Ungar, A.A. The holomorphic automorphism group of complex disk /A.A. Ungar //Aequat. Math—1994—v.47—P. 240−254.

33. Ungar, A.A. Thomas precession: its underlying gyrogroup axiom and their use in hyperbolic geometry and relativistic physics /A.A. Ungar //Found. Phys.—1997.—v.27.—P. 881−951.

34. Ungar, A.A. From Pythagoras to Einstein: the hyperbolic Pythagorean theorem /A.A. Ungar //Found. Phys.—1997. —v.28.—P. 1283—1321.Работы автора по теме диссертации.

35. Вепринцев, Д. В. Симметричные подмножества в группах /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.4 /Краснояр. гос. аграр. унт—Красноярск, 2005—С. 3—12.

36. Вепринцев, Д. В. Редуцированные симметричные подмножества в группах /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.4 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.—Красноярск, 2005.—С. 13—17.

37. Вепринцев, Д. В. Конечные группы, обладающие инволютивным автоморфизмом с небольшим числом неподвижных классов сопряженных элементов /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.6 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.—Красноярск, 2007.—С. 17—39.

38. Вепринцев, Д. В. Об операции скручивания в группах /Д.В. Вепринцев //Математические системы. Вып.6 /Краснояр. гос. аграр. ун-т.— Красноярск, 2007.—С. 6—16.

39. Вепринцев, Д. В. Инволютивная декомпозиция группы и скрученные подмножества с малым количеством инволюций /Д.В. Вепринцев, А. Л. Мыльников //Сиб. матем. ж.-2008.-Т.49,-Ш,-С. 275—280.

40. Вепринцев, Д. В. Симметричные подмножества в группах /Д.В. Вепринцев //Мат-лы ХЫУ междунар. науч. студен, конф.— Новосибирск, 2006.—С. 89.

41. Вепринцев, Д. В. Конечные группы, обладающие инволютивным автоморфизмом с небольшим числом неподвижных классов сопряженных элементов /Д.В. Вепринцев //Мат-лы междунар. конф. &bdquo-Алгебра и ее приложения" .—Красноярск, 2007.—С. 29—30.У.