Стабилизация решений вырождающихся линейных эллиптических и параболических уравнений

Работа посвящена изучению стабилизации решений линейных вырождающихся параболических и эллиптических уравнений с краевыми условиями разных типов на границе неограниченной области Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В диссертации для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка исследовано поведение при х —>¦ оо решения этой задачи в зависимости от геометрии Г2 и коэффициентов уравнения. Для вырождающихся параболических уравнений исследовано поведение при? —> оо решения задачи в зависимости от геометрии и коэффициентов уравнения.

Пусть — неограниченная область пространства п >

2, х — (#1, Х2, хп) € Рассматривается линейное эллиптическое уравнение второго порядка:

Ьи=- Ф, (0.1) п п.

Ьи=^ (а^{х)их1)х. + + ((к (х)и)х.] - й (х)и. г, 3=1 г—1.

Все коэффициенты уравнения измеримы в О, с1 > 0. Условия на обобщенную функцию Ф будут даны ниже. Симметрическая матрица (а^-(ж)} удовлетворяет условию эллиптичности: существуют положительные постоянная Т и неотрицательная непрерывная в П функция в (х) такие, что для любого вектора у? Шп и почти всех х? П справедливы неравенства: п.

Ф)Ы2 < ^ аар (х)уаур < ф) Т|?/|2. (0.2) аф=1.

Функция 5(х) может обращаться в нуль на границе области и функции б (ж), (¿-(ж) и предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному подмножеству Г2.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) с сочетающимися краевыми условиями первого и третьего типа г=1 хет2 0.

0.3).

Здесь Г*! С д£1 — произвольное замкнутое подмножество, Г2 = ?ЮГхбудем иметь дело с обобщенным решением задачи (0.1), (0.3) в определении которого (см. ниже) условия (0.3) формально не участвуют. Тем не менее, при условии гладкости границы сЮ и коэффициентов уравнения (0.1) это обобщенное решение будет удовлетворять условию (0.3) на Г2 поточечно, а на Гх в смысле следа.

В диссертации для эллиптических уравнений исследована зависимость скорости убывания при х оо решения задачи (0.1), (0.3) от геометрии неограниченной области Q и функции s (x).

Список работ и результатов, посвященных изучению поведения решений эллиптических уравнений и систем огромен. Поэтому ограничимся лишь теми их них, в которых исследуется скорость убывания решения на бесконечности. Отметим интересную работу В. А. Кондратьева и С. Д. Эйдельмана [25], в которой доказано Li-неравепство Гарна-ка для эллиптических систем уравнений и в качестве приложения получено обобщение теоремы Лиувилля и установлено экспоненциальное убывание (рост) положительного решения в неограниченном цилиндре. В работе O.A. Олейник, Г. А. Иосифьян [41] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений при х —> +оо в областях с некомпактной границей в зависимости от геометрических свойств области и функционала Ф, стоящего в правой части уравнения. В частности, в работе [41] для области С Rn, лежащей в полупространвнешней нормали к границе. Мы стве хп > 0 и непустыми, ограниченными при любом t > 0 сечениями St = О П {х: хп = t} установлено, что решение задачи Дирихле aij (x)uXi)Xj = 0, идп = О, для любых Т > 0 и е ~ const 6 (0,1) удовлетворяет оценке.

J aij (x)uXiuXjdx < Сехр{—оi1 ~~.

ПП{х:Т<�хп<�Т+1] ?2 где a (ti, t2) = f/3(xn)dxn, (3{хп) = Л—Л½(а-п) — Л (t) — измеримая, V локально ограниченная функция на (0, оо) такая, что.

О < kit) < inf < I aij (x)uxiux, dx I I u2dx.

С0°°(П) J J J.

I st st.

— 1 где х = («1, ., ж&bdquo-1).

В более поздних работах А. Ф. Тедеева, А. Е. Шишкова [44] и А. Е. Шишкова [49] установлены сен-венановские оценки для квазилинейных эллиптических уравнений второго и высокого порядков. В работе Л. М. Кожевниковой [22] для задачи Дирихле в неограниченной области п.

— К>(у)%)% = ф, и=0 0 an и в предположении s = 1 получена оценка.

J Vu2dy < Mexp (-rciV), N > 2, (0.4) где xn — А-последовательность (см. определение ниже, £1(г) = {у ^ ^ У < г}).

В большинстве работ, посвященных установлению сен-венановских оценок для эллиптического уравнения используется понятие емкости замкнутого множества Е С Мп из работы [24] и его обобщения:

Л (д, Е) = IVg4xg е С?(ШпЕ), ^ д2 сЬ = Я.

Легко видеть, что число, А {С}, Е) является первым собственным значением оператораД в области С? Е с граничным условием Дирихле на Е и условием Неймана на оставшейся части границы. В работе В.М. Ми-клюкова [33] число дО) названо основной частотой множества ф и получены некоторые оценки снизу для этого числа.

Обычно при доказательстве сен-венановских оценок для эллиптического уравнения в области используется емкость для пары С} = ?(?), Е = сЮ, где ?(?) = {ж € П | х = ?} — какое-то сечение области (не обязательно плоское.) В работе [19] показано, что в случае области с нерегулярным поведением границы оценки, базирующиеся на характеристике Амогут становиться неточными. Поэтому в работах [18], [19] предложена иная характеристика неограниченной области — А-последовательность. В диссертации это понятие адаптируется на случай неравномерно эллиптического уравнения.

Будем предполагать, что неограниченная область О имеет р ветвей, уходящих на бесконечность, и представлена в виде объединения оо.

П = и последовательности вложенных с ограниченно ных областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения распадаются на конечное число ограниченных пор добластей со^, г = 1,: = 0 ¦ Пересечение г=1 распадается на конечное число липшицевых гиперповерхностей г = 1.

Определим векторы ^ = и (А^,., Аформулами if = dist (Sf, Sf+1) и Af = A (o-f), где.

0.5).

Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что при всех N > 0 выполняются неравенства l<0Af (if)2, г = 1,., р. (0.6).

Отметим, что в случае, когда функция d оценивается снизу функцией s, т. е. d > 5s, 5 > 0, х Е Г2, легко добиться выполнения условия (0.6). В самом деле, поскольку A (Q) > O, то достаточным для (0.6) является неравенство 1 < 65(tf)2, г = 1, то есть сечения Sf следует выбирать «достаточно удаленными «друг от друга. оо.

Описанное выше представление Q — [J Q, N при выполнении нераn=о венств (0.6) будем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (0.1), (0.3) (в дальнейшем просто А-разбиением). Понятие А-разбиения было введено Л. М. Кожевниковой в [18] в случае Гг = 0 и s = 1 для области, имеющей одну ветвь, уходящую на бесконечность «вдоль оси Ох В работе [18] области tiN = Q{zn) = {х G О, I XI < zN}, N = U7OO (0.7) определяются последовательностью чисел {zjv}w=oПриведено простое условие, необходимое и достаточное для существования последовательоо ности чисел такой, что для разбиения Q — |J QN выполнено требовало ние (0.6) (в случае равномерно эллиптического уравнения без младших членов, т. е. s = 1): для любого г > 0 найдется г2 > г такое, что r2) ii (ri)) > 0. (0.8).

Отметим, что прототип понятия А-последовательности использовался в работе O.A. Олейник, Г. А. Иосифьян [40] для системы уравнений теории упругости. В этой работе определяется неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел {Ду}??=о такая, что.

1 < - Длг+0, N = О, оо, где.

Х (гь г2) — и* { А{<2}.

П (г2) П (п) С Я С П (г2) >, Г! < г2, т д € спа), \д\ьм = число © зависит лишь от п и констант равномерной эллиптичности.

Будем считать, что функционал Ф на множестве функций Со°(МпГ1) определяется равенством.

IV Л II фу + 5 ф^Хг] Ах, / [Аф2 + 5 ф.?] Ах < оо. (0.9) по г=1^о ?=1.

Будем предполагать, что коэффициенты оператора Ь удовлетворяют неравенствам.

Ь — с|2 < зА/2, < А^/вА, |сг-| < Ау/вй, х 6 (0.10) где Ь = (&-ь &2, • • •, Ьп)] с = (сх, с2,., сп), А — постоянная. Потребуем, чтобы для вектора с при всех N = 0,1,. и к таком, что 12Т2к2ве2к — 1, были выполнены соотношения хеш?, «= 1, р. (0.11).

5с.

Это условие корректно, поскольку, липшицева функция сНз^б^, х) почти всюду имеет производную.

В следующей теореме рассматривается обобщенное решение задачи (0.1), (0.3), которое будет определено в § 1.

Теорема 1. Пусть = У — некоторое Х-разбиение области.

N=0.

Пусть коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют соотношениям (0.9)-(0.11). Тогда найдется число С > 1 такое, что решение и (х) задачи (0.1), (0.3) удовлетворяет оценке ^Уг² + с1и2) с1х < С1вхр (-2А-7У) J зи2дх, (0.12) где постоянная к — из условия (0.11).

Конечно, оценка существенным образом зависит от представления оо.

Г2 = У О, 1*. Для случая области с одной ветвью при краевых условиях N=0 первого рода в [18] показано, что «наилучшая» оценка (0.12) получается при минимально возможных расстояниях^, при которых еще не нарушается условие (0.6) с фиксированным в. В случае сочетающихся краоо евых условий (0.3) описание оптимального представления П = у.

N=0 для получения «наилучшей» оценки (0.12) затруднительно, поскольку оно существенным образом зависит от распределения на границе условий первого и третьего типа, которое может быть не регулярным.

В случае областей вращения оценка (0.12) приводится к более «конструктивному» виду. При этом мы увидим, что из двух разбиений более сильную оценку дает то, для которого постоянная в в (0.6) наименьшая.

Рассмотрим область вращения = {хеЖп: х = (ж1,ж')| И < /Ы, XI > 0}, (0.13) с положительной функцией /(ал). Следуя [18], определим П-после-довательность {^дг} индуктивным равенством, начиная с произвольного г0 > 0: гх = зир{£| шГ / >t — N = 1, оо. (0−14) гдг-ъг).

Ниже приводятся условия, при которых П-последовательность определяет А-разбиение по формуле (0.7). В § 1 устанавливается оценка.

2лг dr, N. (0.15) т.

Если потребовать существование постоянной ги такой, что.

8Щ>{/{х)ге[г-/{г), г+ №)]}< г>г0, (0.16) то при некотором с > 1 справедливы оценки.

ZN.

Idr.

Щ' N>0- (0.17).

ZQ.

Оценки (0.15), (0.17) принадлежат Л. М. Кожевниковой (см. [18]).

Пусть множество Ti распределено достаточно регулярно. А именно, предполагается существование положительных чисел D, <5i и § 2 таких, что при всех b > а > D, b — а> min{/(a),/(6)}/2 выполнены неравенства mesPvTi П [а, 6] > 6Х (Ь — а), (0.18) где «существенная» проекция РгГ определяется равенством.

РгГг = {t|mes&bdquo-2Г1 П {ххг = t} > 62fn~2{t)}. (0.19).

Тогда при s (x) = 1 формула (0.7) определяет А-разбиение области (см. § 3). Та же П-последовательность определяет А-разбиение и в случае неравномерно эллиптического уравнения, если при некотором С > 0 выполнено условие локальной равномерности s (x) < Cs{y)1 х, уе П}>г, г > 20, (0.20) где.

Щг = {Ы, х') max{z0,r — f®) < хг < f (xi)/a}.

Если же уравнение является вырождающимся, т. е. условие (0.20) не выполнено, мы требуем, чтобы всюду было граничное условие Дирихле, т. е. Гх = дО и для простоты, ограничимся случаем п — 2. Функция в (х) здесь предполагается непрерывной в О/, а по переменной х2 — четной и невозрастающей в интервалах (0,/(жх)). Кроме того, предполагается существование числа V 6 (1,2) такого, что.

Ы — х2у-2з (хъ х2)) >0, же ж2 > 0. (0.21).

Если /- непрерывная функция, то условию (0.21) удовлетворяет, например, функция вида з{хЬ Х2) = Р (Х1)Ц (Х1) + фх) — |ж2|)^ [1 е (0,1), с непрерывными функциями /3(жх) > 0? £(х1) > 0 и таким V Е (1,2), что V + ¡-л < 2. В частности, при е (х{) = 0 получаем вырождающееся на границе области уравнение. В § 3 доказано, что при выполнении условий (0.16), (0.21) П-последовательность также определяет А-разбиение.

По-видимому, значение /х > 1 показателя вырождения уравнения на границе области приводит к трудностям в интерпретации краевого условия Дирихле. В самом деле, в работе В. П. Михайлова [34], (см. также [35], [36]) доказано, что необходимым и достаточным условием существования Ь2 — предела на границе функции и{х) является условие.

J Чи (х)2г (х)с1х < оо, (0.22) Я где г (х) — расстояние от точки х до границы дС}. В том случае, когда и (х) является решением вырождающегося на границе области С} эллиптического уравнения с показателем вырождения ?1 > 1, условие (0.22) может не выполняться. Это означает, что краевое условие Дирихле как бы теряется. В таком случае постановка краевой задачи (0.1), (0.3) теряет смысл. Более полно вопрос о принятии решением эллиптического уравнения краевого условия Дирихле был изучен в работах А. К. Гущина.

9], [11], [12] на основе установленного свойства Сп1(ф)-непрерывности (и других, более глубоких свойств) решения эллиптического уравнения. Но и при этих более общих подходах к определению решения задачи Дирихле условие (0.22) остается необходимым.

Теперь оценка (0.15) позволяет получить такое следствие из теоремы 1 г.

J зЧи2(1х < С2ехр (-2& Jщ), г > г0. (0.23).

0П (г).

В последнее неравенство зависимость от выбора Л-разбиения области входит только через постоянную к, которая определяется параметром 9. Легко видеть, что при больших в постоянная к ведет себя как С/л/д.

Точность оценки (0.12) для широкого класса областей вращения в случае уравнений в дивергентной форме п.

X] (а<*р (х)ихр)ха = 0, (0.1') а, 0=1.

Lsu = div sVu = -Ф (0.24) установлена в следующей теореме.

В том случае, когда функция s (r, 0) = s (r, 0,., 0) возрастает и стремится к бесконечности при г —> оо, введем обозначения г = г —Л, r+ = ri +Д, где 7*1 такая точка, что s (t*i, 0) = es (r, 0) и, А = 7*1 — г.

Теорема 2. Пусть область Г2/ определена функцией /, удовлетворяющей условию (0.16), и {?Ar}jvo — П-последовательность. Пусть существует число С > 0 такое, что функция s (x) удовлетворяет условию s (x) < Cs (y), х, уе г > zQ. (0.25).

Тогда для неотрицательного решения уравнения (0.1-) (и ф 0) в области вращения Qf П {a-i > Zo} найдутся положительные числа К, т такие, что.

J s^7u2dx>rnexp (-2KN). (0.26).

Если же функция в (г, 0) монотонно возрастая стремится к бесконечности и существует число С > 0 такое, что з (ж) < Св (г/), х, у Е ЩуГ П {ж е Мп I г < < г+}, г > г0, (0.27) то найдется 7 > 0 такое, что неотрицательное решение уравнения Ь3и = 0 в области вращения П > ^о} удовлетворяет оценке и{гн, 0) > техр (-Ю/(ф^, О))7. (0.28).

Если выбрать функцинал Ф так, чтобы ф^ = 0 и ф > 0, то из принципа максимума следует, что решение задачи (0.24), (0.3) неотрицательно в Q, f. Таким образом, для вырождающегося уравнения второго порядка в дивергентной форме в неограниченной области доказана точность оценки (0.12) скорости убывания решения задачи с сочетанием краевых условий разных типов в том смысле, что постоянная к в показателе экспоненты не может быть заменена на последовательность к]г, возрастающую к бесконечности.

Примеры областей и уравнений, для которых скорость убывания решений выражена в терминах геометрии области, рассмотрены в § 5 первой главы.

Вторая глава посвящена изучению скорости убывания при t оо решения вырождающегося параболического уравнения.

Рассмотрим в цилиндрической области В — {¿->0}х0 линейное уравнение второго порядка: п п.

Щ = х) иХ1)Хз + + (с1и)Хг) — (¿-(г, х) и. (0.29).

1 г=1.

На элементы симметрической матрицы {.