Решетки и произведения кратно ?-веерных и ?-расслоенных классов Фиттинга конечных групп

Характерной особенностью развития алгебры являлось и является увеличивающаяся общность рассматриваемых ею объектов. И если совсем недавно изучались такие достаточно общие структуры как группы, кольца, поля и т. д., то на сегодняшний день на первый план выходит еще более общая структура — класс. В теории групп класс представляет собой совокупность групп, содержащую вместе с каждой своей группой в и все группы, изоморфные в. Таким образом, группы характеризуются уже по свойствам тех или иных классов, в связи с чем, требуются исследования различных классов групп, а также взаимосвязей между ними. Появляется новое направление в алгебре — теория классов групп. Самостоятельное развитие эта теория начала только в 30-е годы после выхода работ Г. Биркгофа [54] и Б. X. Неймана [67]. На начальном этапе развития теории классов групп в основном изучались различные классы групп, содержащие бесконечные группы (многообразия, квазимногообразия и т. д.). Интенсивное изучение классов конечных групп началось в 1963 г. после выхода работы В. Гашюца [63], где ключевое место заняли формации групп. На сегодняшний день наиболее разработанными в теории классов групп являются теории многообразий и формаций. Кроме того, в последние годы развиваются теории классов Фиттинга и классов Шунка.

В работе В. Гашюца [63] был предложен способ конструирования формаций с помощью специальных функций, называемых экранами. Наложение различных условий на экран привело к рассмотрению локальных и композиционных формаций [50]. Классы Фиттинга двойственны формациям с точки зрения замыкающих их операций. Поэтому в теории классов Фиттинга оказалось возможным применение определений и методологического аппарата теории формаций. По аналогии с экраном вводится радикальная функция, рассматриваются локальные классы.

Фиттинга [8]. В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные формации и классы Фиттинга [39], В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх — частично композиционные формации [4]. Все это послужило отправным пунктом к работе В. А. Ведерникова и М. М. Сорокиной по обобщению известных формаций и классов Фиттинга [5,7]. Понятие экрана, радикальной функции было обобщено понятием спутника. Была введена новая функция, названная направлением класса. Различное задание направления класса привело к возникновению новых видов формаций и классов Фиттинга: полных, специальных, центральных, свободных, биканонических, канонических и т. д. Общими понятиями здесь являются веерные и расслоенные формации и классы Фиттинга, имеющие отличие в областях определения спутников и направлений.

Еще одним способом построения классов групп является их произведение. В работах Л. А. Шеметкова [49,51] было показано, что произведение локальных формаций является локальной формацией. Однако произведение двух композиционных формаций не обязано быть композиционной. Тем не менее, при наложении ограничения на первый множитель 9Л произведения аналогичный результат будет получен.

50]. Позже эти результаты были распространены на частично локальные и частично композиционные формации [39,19]. Продолжением этих исследований стало выделение условий, при которых однопорожденная локальная формация разлагается в произведение неединичных формаций [52]. Для локальных классов Фиттинга локальность произведения была установлена Н. Т. Воробьевым [14], для р-локальных классов Фиттинга р-локальность произведения — И. В. Дудкиным [16].

Кроме идеи обобщения известных и построения новых классов групп в алгебре также присутствует идея упорядочения, классификации классов. Эта идея получила свое развитие в теории решеток классов групп. Множество всех классов групп образуют решетку относительно отношения «сг», подрешетками которой являются все указанные выше классы. Следует отметить, что в ряде зарубежных работ по теории классов групп рассматривается еще один способ упорядочения классов групп. Так, например, если и ф — классы Фиттинга разрешимых конечных групп, то ЯН строго содержится в ф (и пишут Ш"ф), если ф-инъектор любой конечной разрешимой группы в содержит в качестве подгруппы 9Я-инъектор группы в. Напомним, что для класса групп подгруппа V группы в называется {^-инъектором в в, если для любой субнормальной подгруппы.

N группы в пересечение УпЫ является^{-максимальной} подгруппой в N.

Отношение ««» определяет решетку на данном множестве. Решетки с отношением ««» изучались в теориях классов разрешимых конечных групп: локальных формаций, классов Шунка, классов Фитттинга (см. более подробно [55−60,62,64−66,70,71]). В отечественной литературе термин «решетка» ассоциируется с более естественным отношением «с» и исследование произвольных классов групп таким образом сводится к исследованию их составляющих.

Методы общей теории решеток успешно используются при исследовании классов групп. Так при изучении формаций различной длины А. Н. Скиба существенно использовал тот факт, что решетка (локальных) формаций модулярна [35]. Поэтому как в теории формаций, так и в теории классов Фиттинга в основном идет отыскание модулярных и дистрибутивных решеток [34,39,40]. Например, известно, что решетка нормальных классов Фиттинга, классов Фиттинга из секции Локетта являются модулярными [65,55]. Получены также другие свойства решеток формаций и классов Фиттинга [15].

При рассмотрении спутников большинства известных формаций и классов Фиттинга можно увидеть, что эти классы имеют спутники, все непустые значения которых сами являются веерными (расслоенными) классами. В связи с этим возникло понятие кратности класса, введенное А. Н. Скибой в работе [37] для локальных формаций: всякая формация считается 0кратно локальнойпри п>1 формация {у п-кратно локальна, если? г=ЬР (-?), где все непустые значения спутника? (п-1)-кратно локальныформация тотально локальна, если она п-кратно локальна для всех натуральных п. Аналогично определяется кратность для других видов формаций и классов Фиттинга.

В данной диссертации исследуются кратно о-локальные и расслоенные классы Фиттинга. Приведены алгебраические и индуктивные решетки классов Фиттинга, описаны п-кратно ¿-^-расслоенные классы Фиттинга с булевой решеткой п-кратно^{-расслоенных} подклассов. Доказано, что произведение п-кратно со-локальных классов Фиттинга является п-кратно со-локальным. Тем самым дан положительный ответ на вопрос 25 работы [39]. Также доказано, что произведение п-кратно П-расслоенных классов Фиттинга является ¿-^-расслоенным, описаны однопорожденные кратно со-локальные классы Фиттинга, однопорожденные кратно О-биканонические классы Фиттинга.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

диссертации. Среди многочисленных подходов к изучению классов групп можно выделить следующие два подхода. Первый из них связан с представлением исследуемого класса групп в виде произведения Шф более простых классов групп Ш и ф. Второй подход связан с рассмотрением в классе групп решетки всех его подклассов. Впервые применение этих подходов было осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой было показано, что привлечение данных конструкций весьма полезно и при изучении формаций (Шеметков Л. А., Скиба А. Н. «Формации алгебраических систем», Скиба А. Н. «Алгебра формаций»). В связи с появлением концепций частичной веерности, расслоенности, а также концепции кратности формаций и классов Фиттинга актуальной задачей стало рассмотрение произведений и решеток таких классов. Теория формаций является достаточно разработанной областью теории групп. Поэтому можно проследить успешное обобщение найденных ранее результатов. Однако для классов Фиттинга не установлено до сих пор, является ли решетка всех классов Фиттинга модулярной. До настоящего времени также было неизвестно, что решетка всех классов Фиттинга является алгебраической. Мало исследованы произведения классов Фиттинга. Н. Т. Воробьев изучил локальный случай [14], И. В. Дудкин — р-локальный [16]. В работе [39] был поставлен вопрос об изучении произведений со-локальных классов Фиттинга.

В данной диссертации исследованы решетки и произведения кратно со-веерных и О-расслоенных классов Фиттинга, показано применение решеточных конструкций к исследованию п-кратно^{-расслоенных} классов Фиттинга с дополняемыми п-кратно^{-расслоенными} подклассами Фиттинга.

Цель и задачи исследования

Целью данной диссертации является изучение решеток и произведений кратно со-веерных и П-расслоенных классов Фиттинга. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи: найти алгебраические, индуктивные и булевы решетки классов Фиттингавыяснить, является ли произведение п-кратно ю-локальных классов Фиттинга п-кратно ю-локальным, является ли произведение п-кратно О-расслоенных классов Фиттинга п-кратно О-расслоеннымописать однопорожденные произведения кратно ю-локальных классов Фиттингаописать однопорожденные произведения кратно биканонических классов Фиттинга.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются кратно ю-веерные и П-расслоенные классы Фиттинга конечных групп, а предметом исследования — решетки и произведения таких классов.

Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Решетка всех классов Фиттинга, решетки: где фо^фшЯ^, где Ро<�фК00 являются алгебраическими.

2) Решетки ОКХД Ос:2С, и 0 являются Г2КЬ-индуктивнымирешетки Г2ВЬ" и О являются ОВЬ-индуктивными.

3) Описание О-классов Фиттинга с г-направлением ф, ф<|/2', с булевой решеткойподклассов Фиттингаописание ГЖп-классов.

Фиттинга с булевой решеткой <�ЗВп-подклассов Фиттинга.

4) Пусть 5Ш и ф — п-кратно со-локальные классы Фиттинга. Тогда является п-кратно со-локальным классом Фиттинга.

5) Пусть 9Я и ф — п-кратно О-расслоенные классы Фиттинга с г-направлением ф таким, что ф<�М'г'- Тогда — п-кратно ¿-^-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф.

6) Описание однопорожденных факторизаций кратно со-локальных классов Фиттинга, являющихся классами Локетта.

7) Описание однопорожденных факторизаций кратно О,-биканонических классов Фиттинга, являющихся классами Локетта.

Личпын вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры Брянского государственного университета (2000;2002) — на третьей Международной алгебраической конференции на Украине (г. Сумы, 2001) — на региональной научно-технической конференции «Вклад ученых и специалистов в национальную экономику» (г. Брянск, 2001, 2002) — на Международном семинаре по теории групп (г. Екатеринбург, 2001) — на Международной конференции по чистой и прикладной математике, посвященной началу работы Д. А. Граве (г. Киев, 2002) — на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2002).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и шести тезисах конференций [21−24,42−47].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 71 наименования. Объем диссертации — 101 страница.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

Заключение

.

В диссертации получены следующие результаты:

— установлена алгебраичность решетки всех классов Фиттинга, решеток где фо<�фсо!^, где р0<�фК°°.

— показано, что решетки ОКЬ", <�Г2с:2[, и Q являются ОКЬ-индуктивнымирешетки ПВЬ" и 0 являются ПВЬ-индуктивными.

— описаны 0-классы Фиттинга с г-направлением ф, ф<|/2', с булевой решеткой О^{-подклассов} ФиттингаПВп-классы Фиттинга с булевой решеткой ОВп-подклассов Фиттинга.

— доказано, что произведение п-кратно со-локальных классов Фиттинга является п-кратно со-локальным, произведение п-кратно О-расслоенных классов Фиттинга — п-кратно ¿-^-расслоенным;

— описаны однопорожденные произведения кратно со-локальных классов Фиттинга, являющиеся классами Локеттаописаны однопорожденные произведения кратно О-биканонических классов Фиттинга, являющиеся классами Локетта.