Генценовское исчисление естественных выводов как средство экспликации форм интуитивных умозаключений в трудах античных математиков

Актуальность темы

.

Человеку, приступающему к изучению современной математической логики, может показаться, что последняя является «изобретением» последнего времени. Однако, соответствуя в главном действительности, этот взгляд требует некоторой, как представляется, вполне оправданной корректировки.

Такое представление о возникновении той или иной научной дисциплины, при котором идет речь об «изобретении» последней, превращает ее в своеобразное «deus ex machina», что в отношении логики менее всего применимо.

Современная математическая логика во многом «коренится» в тех формах интуитивных умозаключений, которые начали использоваться с момента появления в поле зрения объектов, служащих предметами специального рассуждения — математического рассуждения. Но эти способы умозаключений долгое время считались принадлежащими основным объектам (или структурам), на которые направлено указанное математическое рассуждение. Именно поэтому «логика» математического рассуждения развивалась на чисто интуитивном уровне, не получая «закрепления» в форме так называемых «писанных правил». Имеется с ^ определенного рода параллелизм начальных шагов современной математической логики и современной алгебры — и та, и другая во многом «исходили» из чисто интуитивного оперирования со своими объектами, — в случае математической логики такими объектами являлись определенного рода «предложения», в случае же алгебры — некоторые алгебраические структуры.

Наконец, математиками была осознана настоятельная необходимость параллельного уточнения наряду с базисными представлениями чисто математического характера также и свойств логических операций с этими представлениями.

Если мы изобразим точками всю совокупность положений какой-либо математической дисциплины, например, элементарной геометрии, и точку А, отвечающую какому-нибудь положению, будем соединять прямыми с В, С, Б, ., как с положениями, из которых, А выводится, то получим сеть, которая начинается в точках, отвечающих начальным, т. е. очевидным, положениям. Можно сказать, что математика обычно интересуется не самой сетью, а только ее узлами. Для нее важно указать какой-нибудь путь, ведущий от очевидных положений А, В, С, Б,. к интересующему его положению О, существование которого почему-либо подозревается и, если этот путь найден, то математик со спокойной совестью может сказать, что положение О им доказано. Более же глубоким, но еще не успевшим внедриться во все области математики является взгляд, по которому исследование логической сети является не менее важным, чем исследование ее узлов. Нужно предполагать, что логический анализ в будущем будет приобретать все большее и большее значение и интеллектуальная совесть математика будущего времени будет гораздо чувствительнее, он будет искать не какой-нибудь путь от А, В, С,. к О, а путь определенного типа, идущий от наперед заданной части аксиом через положения определенных типов" [Мордухай-Болтовской, стр. 28].

В 30-е гг. нынешнего столетия немецким математиком и логиком Г. Генценом была построена система логического вывода, называемая «исчислением естественных выводов», достаточно адекватно представляющая структуру математического рассуждения. Сам Генцен в своей работе «Непротиворечивость чистой теории чисел» приводит пример применения исчисления естественных выводов к одному из исторически существующих математических доказательств, а именно, к евклидову доказательству теоремы о бесконечности простых чисел.

Наряду с тем, что у Генцена фигурирует лишь один пример использования исчисления естественных выводов в качестве инструмента экспликации фактически проводимых в математике доказательств, это исчисление применяется к евклидовой теореме, которая переформулирована и выражена в современной форме. Между тем заранее не очевидно, что способы заключений, применяемые в математических доказательствах более чем 2000 лет назад, настолько похожи на способы заключений современного математического рассуждения, что позволяет считать генценовское исчисление естественных выводов допустимой моделью как античного математического рассуждения, так и математического доказательства, проводимого в современной математике.

Поэтому оказывается оправданной попытка, учитывая все особенности представления математических структур в античности (первым из дошедших до нас и наиболее известным представителем этого античного восприятия математических объектов являются «Начала» Евклида) и придерживаясь точности и строгости, достигнутых в современной математической логике, показать, что интуитивные математические доказательства в евклидовых «Началах» возможно проинтерпретировать посредством схем правил, нашедших свое выражение в современных логико-математических исчислениях.

Степень разработанности темы.

Следует отметить тот факт, что другие примеры, кроме упомянутого примера, приводимого Генценом в работе «Непротиворечивость чистой теории чисел» и иллюстрирующего возможность применения исчисления естественных выводов к фактическим математическим доказательствам, проводимым в античности, — пример «расчлененного» доказательства теоремы Евклида: «Существует бесконечно много простых чисел», автору предлагаемого диссертационного исследования неизвестны.

Цели и задачи исследования.

Непосредственная цель предлагаемой работы состоит в обосновании тезиса о том, что генценовское исчисление естественных выводов представляет собой наиболее подходящее средство экспликации тех форм интуитивных умозаключений, которые находят свое выражение в дошедших до нас работах античных математиков. Возможность такого обоснования опирается на то обстоятельство, что античное математическое доказательство в своих главных чертах имеет ту же логическую структуру и в большинстве своем использует те же логические операции, что и современное математическое рассуждение, что в конечном итоге и позволяет рассматривать генценовское исчисление естественных выводов в качестве некоторой модели доказательств античной математики.

Достижение заявленной цели исследования предполагает анализ нескольких вопросов, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1) «Вложением» интуитивных математических доказательств античности, представителем которых являются доказательства геометрических предложений в «Началах» Евклида, в систему основных и производных правил исчисления естественных выводов (секвенциальный вариант) показать, что формы интуитивных умозаключений, находящих свое выражение в античной математике, возможно описать посредством схем правил генценовского исчисления естественных выводов в его секвенциальном варианте.

2) Показать, что логика математического рассуждения до своего фактического закрепления в работах по математической логике в первой половине XX века развивалась как интуитивная система логических заключений в доказательствах математических предложений.

3) Продемонстрировать тот факт, что одним из оснований построения в 30-е гг. XX столетия Г. Генценом исчисления естественных выводов явились фактически проводимые на чисто интуитивном уровне способы логических заключений, фигурирующие в математических доказательствах на протяжении нескольких столетий.

Научная новизна результатов исследования.

В ходе осуществляемой в предлагаемой работе экспликации интуитивных математических доказательств, в частности нашедших свое выражение в письменной форме в первой книге «Начал» Евклида, средствами построенной в XX веке системы правил логического вывода.

— выявлен интуитивный характер возникновения и формирования одного из бурно развивающихся в настоящее время разделов современной математической логики;

— на конкретном примере показана непосредственная связь современных теоретических концепций математической логики с интуитивным оперированием с логическими структурами в математическом доказательстве;

— сделана попытка обоснования той точки зрения, согласно которой современные логические исчисления являются в том числе некоторым обобщением фактически осуществляемых в математических рассуждениях способов интуитивных логических заключений.

Методология исследования.

Специфика темы и попытка найти «золотую середину» между, с одной стороны, необходимостью оставаться верным исторической «правде», а с другой, — соответствовать точности и строгости, являющихся характерной особенностью современных логико-математических языков, предопределили выбор основного метода предлагаемого исследования. Этим методом предлагаемой диссертационной работы служит метод историко-логической реконструкции.

Настоящая работа посвящена анализу тех способов рассуждений, которые уже в шестом веке до нашей эры систематически применялись античными математиками в процессах математических доказательств. Инструментом такого анализа будет служить исчисление естественных выводов (в секвенциальном варианте), созданное в 30-е годы XX столетия выдающимся математиком и логиком Герхардом Генценом и опубликованное в [Gentzen, 1934;1935]. Исследование данной темы было предложено автору Шаниным H.A., и некоторые из результатов, нашедших свое выражение в этой работе, получены благодаря его советам и рекомендациям. Однако эта пока ещё слишком общая формулировка цели предстоящего исследования требует некоторых необходимых комментариев.

Во-первых, наш анализ способов рассуждений, нашедших свое выражение в античной математике, отправляется от конкретного произведения того времени — речь идет об известном произведении античной математики, о «Началах» Евклида.

Во-вторых, и данное обстоятельство нужно выделить особо, указанный анализ не затрагивает базисных представлений чисто геометрического характера, принимаемых в книге Евклида, но целиком относится к прояснению только логической структуры умозаключений с помощью математических моделей естественного языка, получивших своё развитие в конце XIX — начале XX веков. Таким образом, данное исследование относится не к истории математики, но к истории логики, и в нем почти не затрагивается генезис концепций античной математики.

В-третьих, хотя в качестве исходного и главного предмета анализа форм интуитивных умозаключений в античной математике и выступают «Начала» знаменитого древнегреческого геометра, в заглавии настоящей работы употреблена «обобщенная» формулировка: «формы интуитивных умозаключений в трудах античных математиков». Оправданность такой обобщённой" формулировки можно обосновать следующим обстоятельством.

Как указывает Н. Бурбаки, Оригинальность греков (в сравнении, скажем, с древними египтянами и вавилонянами — А.Б.) заключается именно в их сознательных попытках расположить цепь математических доказательств в такую последовательность, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял бы места сомнению и завоевал общее признание" [Бурбаки, 1963, стр. 10].

Иначе говоря, эта констатированная Бурбаки «оригинальность» древнегреческих математиков проявляется прежде всего в их стремлении к строго логическому построению всего здания математической науки, а то, что дело обстояло именно так, лишний раз подтверждает знакомство с «Началами» Евклида. Хотя многие из достигнутых в античности математических результатов историки математики могут связать с тем или иным конкретным именем, однако вклад какого-либо отдельного математика в «логический фундамент» этого здания не удается специфицировать из-за отсутствия достоверных данных по этому вопросу. Этим в конечном счёте объясняется и то, что некоторые историки математики придерживаются той точки зрения, что способы умозаключений, служащие инструментами доказательств в «Началах» Евклида, приобрели определённого рода «устоявшийся» характер их интуитивного употребления в математических доказательствах уже во времена, более ранние, чем эпоха самого Евклида.

Эти историки достаточно убедительно показывают и обосновывают то, что в некоторых из своих книг, составляющих «Начала», Евклид использует результаты, которые уже нашли свое выражение и более или менее явное оформление у предшествовавших ему математиков, причем в данном контексте это означает, что некоторые способы умозаключений приобрели в античной математике определенного рода «постоянство» интуитивного употребления. Здесь мы основываемся на работах математика Б.Л. ван дер Вардена, математика и историка математики Д. Я. Стройка, а также историка математики Жмудь Л. Я.

В-четвертых, любое исследование, посвященное анализу форм интуитивных умозаключений, применявшихся математиками в античности, не может обойти стороной вопрос об отношении этих.

СС ^ логических переходов в математических доказательствах к первой в истории логики отчетливо построенной системе схем умозаключений, согласно которым, по мнению автора этой системы, и должно строится любое корректное рассуждение. Речь идет о силлогистической системе Аристотеля. Согласно цитированному уже выше Бурбаки, заслуга Аристотеля Состоит в том, что ему впервые удалось систематизировать и кодифицировать приёмы рассуждения, которые у его предшественников оставались неясными и несформулированными. Нам здесь следует особо выделить главный тезис этого труда (речь идет о «Первой аналитике» Аристотеля — А.Б.), а именно, что каждое корректное рассуждение можно свести к систематическому применению очень небольшого числа неизменных правил, независимых от частной природы объектов, о которых идет речь (независимость ясно обнаруживается обозначением понятий или высказываний с помощью букв, что, возможно, было заимствовано Аристотелем у математиков)" [Бурбаки, 1963, стр.12].

Вопрос об отношении системы интуитивных логических переходов, фигурирующей в процессах доказательств в античной математике, к силлогистической системе Аристотеля решается следующим образом.

Античные математики фактически не использовали правил, сформулированных Аристотелем в силлогистической форме, в качестве формальных инструментов своих доказательств. (Правда, некоторые силлогизмы, преобразованные в «современную форму», можно обнаружить у античных математиков в качестве иногда встречающихся видов умозаключений, однако говорить о систематическом употреблении таких форм умозаключений, которые можно эксплицировать с помощью силлогистической системы Аристотеля, не приходиться). Дело в том, что Аристотель сформулировал схемы умозаключений лишь для весьма «узких» типов суждений. Именно поэтому (как убедительно показано в [Лукасевич, 1959]) для обоснования некоторых силлогизмов, обозначенных Аристотелем как «несовершенные», последний интуитивно применяет такие формы умозаключений, которые выходят за рамки его системы.

С точки зрения математиков, силлогистическая система Аристотеля имеет тот существенный недостаток, что в языке, используемом при построении этой системы, не встречаются многоместные предикаты (см. [Hilbert, Ackermann, 1972, s.65−73], [Новиков, 1959, стр. 128]). В то же время в математических рассуждениях многоместные предикаты и многоместные предметные операции пронизывают всю структуру математики. Отметим, что в [Hilbert, Ackermann, 1972, s.43−63] для изложения аристотелевской системы в современном виде вводится специальное исчисление -«исчисление классов» («der Klassenkalkul»). .> Введение в рассмотрение предикатов от нескольких переменных, способных выражать отношения между предметами, приносит существенно новое по сравнению с логикой предикатов от одного переменного. Оказывается, что во всех системах аксиом математических дисциплин существуют аксиомы, не выразимые посредством предикатов от одного переменного" [Новиков, 1959, стр. 129].

Чтобы проиллюстрировать это высказывание, не нужно ходить далеко. Обратимся к первой книге евклидовых «Начал». В формулировках предложений, доказываемых в этой книге, встречаются, в частности, отношения равенства отрезков, углов и треугольников, которые в логико-предметном языке выразимы посредством двухместных предикатов, отношение параллельности двух прямых, что также представимо в этом языке посредством двухместного предиката, трехместное отношение между точками «не лежать на одной прямой» и т. п.

Таким образом, оставаясь на почве только традиционной логики, мы не сможем достаточно адекватно эксплицировать формы интуитивных умозаключений, нашедших свое выражение в античной математике.

Использование современного логико-предметного языка 1-й ступени дает возможность в полной мере отразить фактическую роль многоместных предикатов и многоместных операций в «Началах» Евклида, а генценовское исчисление естественных выводов оказывается подходящим средством для адекватной экспликации форм интуитивных умозаключений в упомянутом произведении. Обоснование этих и с* и утверждении является основной целью настоящей работы.

Заключение

.

Подведем некоторые итоги изложенному выше. Как мы видим, в своих доказательствах геометрических предложений в первой книге «Начал» Евклид на интуитивном уровне пользуется такими способами умозаключений, которые можно эксплицировать посредством современной теории логического вывода — исчисления естественных выводов, предложенного в 30-е гг. нынешнего века математиком и логиком Генценом.

Труды Аристотеля и его преемников, по-видимому, не оказали заметного влияния на математику. Греческие математики в своих исследованиях шли по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями в IV в. (Теодором, Теэтетом, Евдоксом), и мало интересовались формальной логикой при изложении своих результатов. Это не должно вызывать удивлениядостаточно сравнить гибкость и точность математических рассуждений, которое имело место начиная с этого периода, с весьма рудиментарным состоянием аристотелевой логики" [Бурбаки, 1963, стр.14].

Это по выражению Бурбаки «весьма рудиментарное состояние аристотелевой логики» можно объяснить одним: Аристотель ограничивается лишь сравнительно частным случаем логических отношений, — отношений, существующих между понятиями, или терминамион не анализирует в явной форме в своей силлогистической системе логические отношения между предложениями (или, как называет эти языковые конструкции Бурбаки, «полностью неопределенными высказываниями», — см. [Бурбаки, 1963, стр. 13]).

Но Аристотель сосредотачивает свое внимание почти исключительно на особом виде отношений и логических рассуждений, составляющих то, что он называет силлогизмом: по сути это отношения, выражаемые в наше время на языке теории множеств в виде, А с В или.

АпВ = 0 (примечание Бурбаки: «соответствующие формулы Аристотеля «Всякое, А есть В» и «Некоторое, А есть В» «, — А.Б.) и способ сцепления этих отношений или их отрицаний по схеме.

АаВиВаС)^(А^С). Аристотель все же был достаточно знаком с математикой своей эпохи и не мог не заметить, что подобные схемы были недостаточными для описания всех логических операций математиков, ни тем более для других применений логики" [Бурбаки, 1963, стр.12−13].

Сам Аристотель иногда пользуется такими способами интуитивных умозаключений, которые выходят за рамки его силлогистической системы. Некоторым примером может служить аристотелево обоснование положения: «из истинных [посылок] нельзя вывести ложное заключение». (Примем, что переменная без знака отрицания обозначает истинное высказывание, а со знаком отрицания — ложное высказывание).

Рассуждение Аристотеля:

Итак, что из истинных [посылок] нельзя вывести ложное заключение, явствует прежде всего из следующего. Если при наличии, А необходимо есть Б, то, если нет Б, необходимо нет и А. Следовательно, если, А истинно, то необходимо истинно и Биначе окажется, что одно и то же вместе есть и не есть, что невозможно" [Аристотель, Первая аналитика, 53 В 10−15].

Детализируем это рассуждение Аристотеля, используя для этого генценовское исчисление естественных выводов в его секвенциальном варианте.

Пусть если есть А, имеет место и Б" .

Это высказывание можно рассматривать в виде следующей секвенции: «при допущении, А имеет место Б»: А => Б.

Далее Аристотелем применяется метод «доказательство от противного»: «предположим, что при допущении, А не имеет место Б» .

Ниже для обозначения ситуации «X не имеет место» употребляется форма записи: -, х). а=>->б.

Два высказывания приводят к противоречию: а=> б и а=>->б. На основании этого Аристотель делает заключение: «если нет Б, необходимо нет и А». Если а=> б и Л =>-.?, то =>->а.

Следовательно, если, А истинно, то необходимо истинно и Б <. .>" [Аристотель, Первая аналитика, 53Ы4].

Для экспликации интуитивного логического перехода, который имеет место у Аристотеля в данном фрагменте его рассуждения, можно привлечь еще одно «правило заключения для отрицания», упоминаемое Генценом в работе «Непротиворечивость чистой теории чисел» (см. [Генцен, 1967, стр.101]). Это правило имеет вид: Г г=>(Р->0'.

Вернемся к рассуждению Аристотеля. В виде секвенций последнее можно проинтерпретировать следующим образом.

Если нет А, то, следовательно, если, А истинно, то необходимо истинно и Б" .

-, а.

Л->£).

Как видим, в своих доказательствах Аристотель на интуитивном уровне употребляет такой способ умозаключений, которым часто пользуется Евклид в своих доказательствах геометрических предложений, а именно, в доказательствах «методом от противного», и который в системе Генцена получил название «правило опровержения».

Следовательно, прав был Лукасевич, утверждая в своей работе «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики»:

Никто не может вполне понять аристотелевские доказательства, если не знает, что, кроме аристотелевской системы, существует еще другая система логики, более фундаментальная, чем теория силлогизма. Этологика предложений" [Лукасевич, 1959, стр.92].

Впрочем, Аристотель пытался обойти трудности, которые подстерегают доказательство вышеприведенного положения, что из истинных посылок нельзя доказать ложное заключение, средствами силлогистической системы, трудности, упоминаемые им сразу после проведения этого доказательства, опираясь на интуитивные способы умозаключений.

Однако на том основании, что, А положено как один термин, нельзя полагать, что при наличии чего-то одного с необходимостью вытекает что-то [другое], ибо это невозможно. Ведь то, что вытекает с необходимостью, есть заключение, а для того, чтобы получилось заключение, требуется по меньшей мере три термина и два их сочетания, т. е. две посылки. Следовательно, если истинно, что всему тому, чему присуще Б, присуще А, и всему тому, чему присуще В, присуще Б, то чему присуще В, необходимо присуще Аи это не может быть ложно, ибо иначе одно и то же было бы вместе присуще и не присуще. Таким образом, А положено как одно, но охватывает две посылки" [Аристотель, Первая аналитика, 53 В 15 -23].

Указанные трудности проистекают из недостаточности силлогистической системы.

Эта аристотелевская теория доказательства имеет существенный недостаток: она предполагает, что все проблемы могут быть выражены посредством четырех видов силлогистических посылок и что, следовательно, категорический силлогизм является единственным инструментом доказательства. Аристотель не осознает, что его же собственная теория силлогизма служит примером, свидетельствующим против этой концепции. Будучи импликациями, модусы силлогизма являются предложениями иного рода, чем посылки силлогизма, но тем не менее они являются истинными предложениями, и если какое-нибудь из них не самоочевидно и не доказано, то оно требует доказательства своей истинности. Это доказательство, однако, не может быть дано средствами категорического силлогизма, потому что импликация не имеет ни субъекта, ни предиката, и было бы бесполезно искать средний термин между несуществующими крайними" [Лукасевич, 1959, стр.87].

Аристотель пытается избежать трудности, обусловленной недостаточностью построенной им силлогистической системы, двумя путями. Первый, как мы видели, состоит, в том, что в тех случаях, когда силлогистическая система не может быть использована в качестве формального инструмента доказательства, Аристотель пользуется интуитивными формами умозаключений, аналогичными употребляемым античными математиками в своих доказательствах. Второй путь состоит в фактическом расширении, используя современную терминологию, языка, принятого в силлогистической системе.

Не обязательно всегда требовать, чтобы термины были выражены [одним только] словом, ибо часто встречаются сочетания слов, для которых нет [равнозначного им] имени. Поэтому силлогизм с такого рода терминами трудно бывает свести [к одной из фигур]. А иногда делают ошибку именно из-за такого рода попытки, как если бы предположили, что имеется силлогизм без средних терминов. Пусть, А означает два прямых угла, Б — треугольник, а В — равнобедренный. А присуще В через БА же присуще Б не через что-то другое, ибо треугольник сам по себе имеет [в совокупности] два прямых угла. Так что для посылки АБ, которая хотя и может быть доказана, не будет среднего термина. Очевидно, таким образом, что средний термин не всегда следует брать как определенное нечто, но что иногда следует брать его как сочетание слов, как это имеет место и в только что приведенном примере" [Аристотель, Первая аналитика, 48а 29−39].

В этом фрагменте текста Аристотеля для нас особенно показательным является то, что в качестве примера, мотивирующего расширенную трактовку терминов, входящих в силлогизм, последний приводит пример, взятый из современной ему геометрии.