Представления функциональными интегралами решений начально-краевых задач для эволюционных уравнений

Диссертация посвящена представлению решений некоторых начальных и краевых задач для эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.

Связь между дифференциальными уравнениями в частных производных и интегрированием по пространству траекторий была обнаружена Р. Фейн-маном [56] при разработке нового подхода к квантовой механике. В 1948 году вышла в свет ставшая в настоящее время классической статья Р. Фейнмана, в которой была предложена конструкция, получившая название функционального интеграла. Как отметил Фейнман, эта конструкция восходит к П.А. М. Дираку. Фейнмановское определение основано на эвристическом понятии интеграла по траекториям, и хотя работа Фейнмана написана на физическом уровне строгости, благодаря своей интуитивности, элегантности, а главноеэффективности предложенного подхода, идея интегрирования по траекториям (функционального интегрирования) нашла множество последователей.

Процедура функционального интегрирования позволяет представлять решения эволюционных (псевдо)дифференциальных уравнений с помощью интегралов по бесконечномерным функциональным пространствам — пространствам траекторий. Исследование функциональных интегралов и их применение к изучению дифференциальных и псевдодифференциальных операторов (а также и других математических объектов) в настоящее время является одним из центральных направлений бесконечномерного анализа. Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Функциональные интегралы естественным образом возникают в теории марковских случайных процессов. Это обстоятельство позволило М. Кацу [64] получить представление решения уравнения теплопроводности с потенциалом в виде функционального интеграла по мере Винера, широко известное ныне как формула Фейнмана-Каца. На произвольные марковские процессы эта формула была обобщена Е. Б. Дынкинм.

Множество исследований посвящено диффузионным процессам на группах Ли и римановых многообразиях, а также представлениям решений уравнений Колмогорова с помощью функциональных интегралов по мерам, порождаемым диффузионными процессами, соответствующими входящим в уравнения дифференциальным операторам (см., например, работы С. Вата-набэ, Б. Драйвера, С. Де Витт-Моретт, Дж. Иилса, Н. Икеды, П. Малливена, О. Г. Смолянова, А. Трумана, К. Д. Элворси, Д. В. Штрука и др.).

Функциональные интегралы, содержащие геометрические характеристики многообразия, впервые появились в работе Онзагера и Маклупа [73] и содержали коэффициент Затем в литературе стали появляться и другие коэффициенты (| и В статье С. Де Витт-Моретт, К. Д. Элворси, Б. Л. Нельсона и Г. С. Заммельмана [48] был сделан обзор существующих к тому времени работ на эту тему и была поставлена задача выяснения условий, при которых надо использовать тот или иной коэффициент. Впервые в математической литературе строгое обоснование появления всех этих коэффициентов было дано в работах Смолянова, Вайцзеккера и их соавторов [85], [86], [87], [7], [89], [9], [88]. В этих работах было показано, что различные коэффициенты зависят от того, каким способом при аппроксимациях плотностей переходных вероятностей находится расстояние между объектами в многообразии: внутри многообразия, в объемлющем пространстве или внутри некоторого большего многообразия, подмногообразием которого является рассматриваемое. Математически строго коэффициент | был также выведен в работе Л. Андерссона и Б. Драйвера [40]. И несколько позднее Смолянова и Вайцзеккера коэффициент | был получен в работе [58].

Оригинальный фейнмановский подход основан на определении функционального интеграла как предела конечнократных интегралов. Всюду далее представления функциональных интегралов с помощью пределов конечнократных иптегралов мы будем называть формулами Фейпмапа. Фейнман использовал такую конструкцию для представления решения уравнения Шре-дингера с потенциалом. Э. Нельсон заметил, что доказательство формулы Фейнмана можно провести в этом случае путём применения теоремы Трот-тера. Так было положено осповапие очень эффективному методу получения функциональных интегралов для эволюционных уравнений. Тем не менее, в некоторых важных для приложений случаях теорема Троттера не может быть применена. В работах О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзеккера и их соавторов было предложено вместо формулы Троттера использовать значительно обобщающую её теорему Чернова. Это существенно расширяет область применения предложенного подхода.

Метод этих авторов имеет важные преимущества при исследовании эволюционных уравнений на многообразиях. Он позволяет получать аппроксимации функциональных интегралов по мере Винера в виде конечнократных интегралов от элементарных функций, содержащих геометрические характеристики многообразия (с уже знакомыми нам коэффициентами | и тогда как при традиционном подходе аналогичные конечнократные интегралы содержат невыражающиеся через элементарные функции переходные вероятности меры Випера па траекториях в многообразии.

Аппроксимации в работах Смолянова и Вайцзеккера приводят естественным образом к поверхностным мерам, отличным от меры Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. В диссертации получены функциональные интегралы по таким мерам для некоторых эволюционных уравнений на римановом многообразии. В частности, показано, что метод Смолянова-Вайцзеккера может быть применён к краевым задачам и к исследованию псевдодифференциальных уравнений.

В статье И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [И] была поставлена задача об обобщении формулы Фейнмана-Каца на более широкий класс линейных эволюционных уравнений, в том числе шредингеровского типа. Существует множество методов представления решения уравнения Шрёдингера с помощью функциональных интегралов. Классический цодход, основанный на интерпретации функционального интеграла как предела конечнократных и применении формулы Троттера восходит к самому Фейнману. Такой подход используется в работах С. Альбеверио, Ф. А. Березина, Ю. Л. Далецкого, В. П. Маслова, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смолянова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, Е. Т. Шавгулидзе, П. Экснера и др.

Для аналитических потенциалов и начальных условий представления решения уравнения Шрёдингера для функций на конечномерном евклидовом пространстве могут быть получены из представлений решения уравнения теплопроводности различными методами аналитического продолжения. Метод аналитического продолжения в комплексную область по параметру, входящему в уравнение теплопроводности, был получен Р. Камероном [42]. Дос-сом [49] и независимо от него А. Ю. Хренниковым был предложен метод аналитического продолжения по переменному, входящему в уравнение теплопроводности. Наконец, в физической литературе с давних пор используется метод «перехода к комплексному времени». Для случая конечномерного евклидова пространства все три метода аналитического продолжения равносильны. Во второй главе настоящей диссертации получены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римано-вом многообразии с помощью перехода по Доссу и Хренникову к уравнению теплопроводности на многообразии и применения результатов первой главы.

Существует ещё один весьма успешный подход к получению функциональных интегралов, соответствующих решению уравнения Шрёдингера, -это непосредственное применение методов теории случайных процессов, в частности, формулы Ито (см. [60], [77], [35]). Такой подход реализован в третьей главе диссертации для получения формулы Фейнмана-Каца-Ито, представляющей решение уравнения Шрёдингера со скаларным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве.

Дифференциальные уравнения для функций бесконечномерного аргумента встречаются в различных разделах теоретической физики, в том числе в квантовой теории поля (например, в связи с процедурой вторичного квантования) и в теории суперструн. Систематическое математическое исследование таких уравнений было начато в 60-х годах. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка в абстактном пространстве изучались JI. Гроссом, X. Го, М. И. Вишиком, Ю. JL Далецким, О. Г. Смоляновым, С. В. Фоминым, Н. И. Фроловым, А. В. Углановым и многими другими. Существует множество работ, посвященных формуле Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности (или в более общем случае для уравнения Колмогорова) в бесконечномерном пространстве (например, [14], [46]). Бесконечномерное уравнение Шрёдингера изучалось различными методами в работах С. Альбеверио, Ж. Бжезняка, Ю. JI. Далецкого, О. Г. Смолянова, А. Ю. Хренникова, Е. Т. Шавгулидзе и других авторов. Формула Фейнмана-Каца для уравнения Шрёдингера в бесконечномерном пространстве исследовалась в основном в работах [23], [65], [66], [35]. В этих работах был последовательно расширен класс потенциалов, для которых доказывается формула Фейнмана-Каца. В диссертации результаты, аналогичные результатам С. Альбеверио,.

0.Г. Смолянова и А. Ю. Хренникова [35], получены для бесконечномерного уравнения Шрёдингера, содержащего не только скалярный, но и векторный потенциал.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:

1. Получены представления решения задачи Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии в виде пределов конечно-кратных интегралов по декартовым степеням многообразия и в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.

2. Найдены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням области и в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.

3. Получены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов решений задач Коши для уравнений диффузии со сносом во всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.

4. Найдены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.

5. Доказано существование задаваемого формулой Фейнмана-Каца-Ито локального решения уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве.

Методы исследования.

В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Некоторые результаты диссертации могут быть использованы при исследовании квантовых систем с бесконечномерным конфигурационным пространством и с нелинейным конфигурационным пространством.

Апробация диссертации.

Результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на следующих конференциях:

1) XXVI Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004.

2) XXI Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённая 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2004.

3) XXVI Conference «Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis», Levico Terme, Italy, 2005.

4) XXVII Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2005.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора: [94], [95], [96], [97].

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из трёх глав, введения и заключения. Во введении проводится обзор работ по теме диссертации. В главе 1 представлены основные теоретические сведения, необходимые для дальнейшего изложения. Далее рассматривается задача Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии. Находятся семейства операторов, эквивалентные по Чернову разрешающей полугруппе операторов. С помощью теоремы Чернова решение задачи представляется в виде пределов конечнократных интегралов. При этом интегралы берутся от элементарных функций, зависящих от геометрических характеристик многообразия, коэффициентов уравнения и начальных данных. Получившиеся формулы (формулы Фейнмана) интерпретируются как функциональные интегралы по некоторым счётно-аддитивным мерам гауссовского типа. Одна из этих мер совпадает с мерой Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. Другие являются поверхностными мерами Смолянова, введёными в работах [85], [7], [8], [9], [75].

Далее в главе 1 рассматривается краевая задача Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия с гладкой границей. Для решения задачи Коши-Дирихле находятся соответствующие формулы Фейнмана и функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова и по сужению меры Винера на множество траекторий в областиданное сужение меры соответствует броуновскому движению в области с поглощением на границе. Кроме того, решение краевой задачи Коши-Дирихле в данной области многообразия представляется как предел решений задач Коши для семейства уравнений диффузии со сносом на всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.

В главе 2 рассматривается уравнение Шрёдингера на компактном рима-новом многообразии. Для аналитических на некотором множестве потенциала и начального условия находятся представления решения задачи Коши в виде функциональных интегралов по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, порождённой броуновским движением в многообразии. В доказательстве используются восходящий к Доссу метод перехода от уравнения Шрёдингера к уравнению теплопроводности и представления решений задачи Коши для уравнения диффузии, полученные в главе 1.

В главе 3 рассматривается уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве. Векторный потенциал играет ту же роль, что и магнитное поле в конечномерном случае. Доказывается существование решения задачи Коши для данного уравнения Шрёдингера. Решение является локальным по временной и пространственным переменным и представляется вероятностной формулой типа Фейнмана-Каца-Ито.

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

Пользуясь предоставленной возможностью, я хочу выразить чувство глубокой признательности моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постоянные поддержку и внимание к моей работе.

Заключение

.

В диссертации получены представления решений начально-краевых задач для некоторых эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов по мерам гауссовского типа.

В главе 1 получены представления решения задачи Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии в виде пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням многообразияпри этом интегралы берутся от элементарных функций, зависящих от геометрических характеристик многообразия, коэффициентов уравнения и начальных данных. Подобные представления называются формулами Фейнмана. Найденные представления интерпретируются как функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. Также в главе 1 рассмотрена задача Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия с гладкой границей. Найдены соответствующие формулы Фейнмана и функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова и по сужению меры Винера на множество траекторий в областиданное сужение меры соответствует броуновскому движению в области с поглощением на границе. Кроме того, решение краевой задачи Коши-Дирихле в данной области многообразия представлено как предел решений задач Коши для уравнений теплопроводности на всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.

В главе 2 получены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии в виде функциональных интегралов по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, порождённой броуновским движением в многообразии.

В главе 3 рассмотрено уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве. Векторный потенциал является бесконечномерным аналогом магнитного поля. Доказано существование локального по временной и пространственным переменным решения задачи Коши для данного уравнения Шрёдингера. Решение представлено вероятностной формулой типа Фейнмана-Каца-Ито.