Об условиях голоморфного и гармонического продолжения функций в фиксированную область

Актуальность темы

.

На протяжении всего развития теории функций многих комплексных переменных актуальным является вопрос аналитического продолжения [2], [3], [4], [9], [20], [29], [34], [37], [39]. Это связано, прежде всего, со следующим замечательным явлением: в пространстве многих комплексных переменных в отличии от одного комплексного переменного существуют области, из которых любая голоморфная функция непременно продолжается в более широкую область. Благодаря этому факту, задача аналитического продолжения получила многочисленные приложения в квантовой теории поля [10].

Одним из главных методов аналитического продолжения является метод интегральных представлений голоморфных функций.

Первым по существу многомерным представлением, в котором интегрирование велось по всей границе области, было интегральное представление Бохнера-Мартинелли (ставшее уже классическим). Оно было получено Е. Мартинелли в 1938 году [50], а затем С. Бохнером в 1943 году [45] независимо друг от друга и разными методами. Эта формула решает задачу восстановления значений функции, голоморфной в ограниченной области с кусочно-гладкой границей, по ее значениям на границе.

С. Бохнером [45] и Ф. Севери [53] были найдены дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области. Эти условия получили название касателъных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CR-функциями. В 1957 году Г. Фикера [46] заменил дифференциальные условия на функцию интегральными. Несколько позже Б. М. Вайнсток [56] получил результат и для области с несвязной границей.

Результаты о продолжении C-R-функции со всей границы области стали уже классическими и вошли во многие учебники и монографии по комплексному анализу: [2], [3], [4], [9], [20], [29], [34], [37], [39],.

Несколько иной задачей является задача о нахождении условий голоморфной продолжимости в область СЛ-функции с части границы области. Этой теме посвящена обширная литература (см., например, книги [20], [39], а также статьи [35], [36], [38], [43], [44], [47], [52]). Обычно это голоморфное продолжение осуществлялось в голоморфную оболочку множества, где задана функция.

В 1986;1987 годах вышли работы Г. Лупаччиолу [48], [49], который рассматривал эту задачу для непрерывных СД-функций. В статьях A.M. Кыт-манова [18], [19] эти результаты были обобщены на случай функций класса CF (см. также книгу [20]).

В начале девяностых годов J1.A. Айзенберг и A.M. Кытманов рассмотрели задачу о нахождении условий голоморфного продолжения в фиксированную область, не являющуюся оболочкой голоморфности. В [5], [6] условия для существования голоморфного продолжения в область функции, заданной на связном куске ее границы, в явном аналитическом виде были получены для широкого класса областей, в том числе и для «усеченного» шара. В этих статьях доказана эквивалентность аналитического продолжения C-R-функции и гармонического продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли от нее.

Дальнейшее продвижение в этом направлении было сделано в книге JT.A. Айзенберга [42], а также в работах A.M. Кытманова и И. А. Цих [21], [22], И. А. Антиповой [7], Н. Н. Тарханова [31], [32], [55], Л. Н. Знаменской [13],.

Н.Н. Тарханова и А. А. Шлапунова [33].

В различных постановках задачу Коши для оператора Лапласа изучали С. Н. Мергелян [27], М. М. Лаврентьев [23], [24], В. К. Иванов [15], Д.Дж. Ньюман [51], В. Г. Мазья и В. П. Хавин [25], Ш. Ярмухамедов [41], А. А. Шлапунов [40] и другие.

Цель диссертации.

1. Получить условия существования голоморфного продолжения в фиксированную область интегрируемой СД-функции (заданной на гиперповерхности) в виде ограничения на рост производных интеграла Бохнера-Мартинелли.

2. Для гладкой СД-функции найти формулы для нахождения производных от интеграла Бохнера-Мартинелли через касательные производные от этой СЛ-функции, и, как следствие, получить условия голоморфного продолжения в фиксированную область в терминах роста касательных производных от самой C-R-функции.

3. Получить критерий разрешимости задачи Коши для уравнения Лапласа в фиксированной области на языке роста производных от потенциалов двойного слоя и простого слоя. Для гладких данных Коши из локальной разрешимости задачи получить ее разрешимость в фиксированной области в терминах роста производных локального решения.

4. На плоскости найти формулы, выражающие производные гармонической функции, через касательные производные от функции и от ее нормальной производной на гладкой кривой. Как следствие условие разрешимости задачи Коши в фиксированной области для гладких данных получить в терминах роста касательных производных от этих данных.

Методика исследования.

В работе применяются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, математического и функционального анализа, теории потенциала.

Научная новизна.

Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XXXV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск: НГУ, 1997) — Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск: Инст. выч. моделирования СО РАН, 1997) — XXXVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск: НГУ, 1998) — III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) посвященном памяти C.JI. Соболева (Новосибирск: НГУ, 1998) — Международной конференции «Симметрия в естествознании» (Красноярск: Инст. выч. моделирования СО РАН, 1998) — Международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск: КрасГУ, 2002) — Международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А. Д. Александрова (Новосибирск: Инст. математики им. C.JI. Соболева СО РАН, 2002) — а также на городском семинаре по многомерному комплексному анализу Красноярского государственного университета (1997;2003).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах [57]—[67]. В совместной работе [64] постановка задач и идеи доказательств некоторых результатов принадлежат A.M. Кытманову, сами же доказательства проведены автором диссертации.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав основного текста. Список.

1. Айзенберг J1.A., Митягин Б. С. Пространства функций, аналитических в кратно-круговых областях // Сиб. матем. журн. I960, Т. 1. № 2. С. 153— 170.

2. Айзенберг J1.A., Даутов Ш. А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам и их свойства. Новосибирск: Наука, 1975.

3. Айзенберг J1.A., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

4. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1990.

5. Айзенберг Л. А., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения функций, заданных на связном куске ее границы // Матем. сб., 1991. Т. 182, № 5. С. 490−507.

6. Айзенберг Л. А., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения функций, заданных на связном куске ее границы, 2 // Матем. сб., 1993. Т. 184, № 1. С. 1−14.

7. Антипова И. А. Применение логарифмического дифференциала к задаче голоморфного продолжения CR-гиперфункций // Сиб. матем. журн., 2000. Т. 41.№> 6. С. 1238−1251.

8. Беляев В. А. О множествах сходимости и абсолютной сходимости степенных рядов многих переменных // Исследование по современ. пробл. конструкт, теории функций. Баку: Сб. науч. тр., 1965. С. 407−412.

9. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М: Наука, 1964.

10. Владимиров B.C., Сергеев А. Г. Комплексный анализ в трубе будущего // Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 8. С. 191−266.

11. Волков Е. А. О границах подобластей, весовых классах Гелъдера и решениях в этих классах уравнений Пуассона // Тр. Матем. ин-та АН, 1972. Т.117. С. 75−99.

12. Горенский Н. Ю. Некоторые приложения дифференциальных свойств функции расстояния до открытых множеств в С" // Некотор. свойства голоморфн. функций многих комплексн. переменных. Красноярск. Сб. науч. тр. ИФСО АН, 1973. С. 203−208.

13. Знаменская Л. Н. Критерий голоморфной продолжимости функций класса Lp, заданных на части границы Шилова круговой сильно звездной области 11 Сиб. матем. журн., 1990. Т. 31. № 3.

14. Знаменский С. В., Маергойз JI.C. О степенных рядах от многих комплексных переменных // Голом, функ. многих компл. перем. Красноярск: Сб. науч. тр. ИФСО АН, 1972. С. 185−195.

15. Иванов В. К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному // Известия АН СССР. Сер. матем., 1956. Т. 20. № 6.

16. Красичков И. Ф. Системы функций со свойством двойной ортогональности // Матем. заметки, 1986. Т. 4. Л?> 5. С. 551−556.

17. Крейн М. Г., Нудельман П. Я. О некоторых новых задачах для функций класса Харди и континуальных семействах с двойной ортогональностью // ДАН СССР, 1973. Т. 209. № 3. С. 537−540.

18. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение интегрируемых СR-функций с части границы области // Матем. заметки, 1990. Т. 48. № 2. С. 64−71.

19. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение CR-функций с особенностями на гиперповерхности // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1990. Т. 54. № 6.

20. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992.

21. Кытманов A.M., Цих И. А. О голоморфном продолжении СR-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн., 1997. Т. 38. № 6. С. 13 191 334.

22. Кытманов A.M., Цих И. А. Об устранении особенностей CR-гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Фунд. и приклад, матем., 2000. Т. 6. Вып. 2. С. 1241−1254.

23. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. // Известия АН СССР. Сер. Матем., 1956. № 20. С. 819−842.

24. Лаврентьев М.М.О некоторых некорректных задачах математической физики. М.: СО АН СССР, 1962.

25. Мазья В. Г., Хавин В. П. О решения задачи Коши для уравнения Лапласа (единственность, нормальность, аппроксимация) // Труды Моск. матем. об-ва, 1974. Т. 307. С. 61−114.

26. Махмудов О. И. Задача Коши для системы уравнений теории упругости в пространстве // Известия ВУЗов. Математика, 1994. Т. 380. № 1. С. 5461.

27. Мергелян С. Я. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа // Успехи матем. наук, 1956. Т. II, № 5. С. 3−26.

28. Ройтберг Я. А. О значениях на границе области обобщенных эллиптических уравнений // Матем. сб., 1971. Т. 86(128). С. 248−267.

29. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С1. М.: Мир, 1984.

30. Соболев C.JI.

Введение

в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

31. Тарханов Н. Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем // ДАН СССР, 1985. Т. 284, №> 2. С. 294−297.

32. Тарханов Н. Н. Критерий разрешимости некорректной задачи Коши для эллиптических систем // ДАН СССР, 1989. Т. 308. № 3. С. 531−534.

33. Тарханов Н. Н., Шлапунов А. А. О задаче Коши для голоморфных функций класса Лебега L2 в области // СМЖ, 1992. Т. 33, М> 5. С. 186−195.

34. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М: Мир, 1976.

35. Хенкин Г. М., Чирка Е. М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных // Современные проблемы математики (Итоги науки и техн.) М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 4. С. 13−142.

36. Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // (Итоги науки и техники) Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 7. С. 23−124.

37. Хёрмандер J1.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

38. Чирка Е. М. Аналитическое представление CR-функций // Матем. сб., 1975. Т. 98(140). С. 591−623.

39. Шабат В. В.

Введение

в комплексный анализ. Т. 1−2. М.: Наука, 1985.

40. Шлапунов А. А. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Сиб. матем. журн., 1992. Т. 33, № 3. С. 205−215.

41. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР, 1972. Т. 235. № 21. С. 281−283.

42. Aizenberg L.A. Carleman’s Formulas in Complex Analysis. Theory and Applications. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1993.

43. Andreotti A., Hill C.D. E. E. Levi convexity and the Hans Lewy problejn. Part I. Reduction to vanishing theorems // Ann. Scuola norm. Super. Pisa. Sci. fis. e mat., 1972. V. 26. № 2. P. 325−363.

44. Andreotti A., Norguet, F. Probleme de Levi pour les classes de cohomologie // S. r. Acad. Sc, i., 1964. V. 258. P. 778−781. Sci. fis. e mat., 1972. V. 26. № 2. P. 325−363.

45. Boclmer S. Analitic and meivinorphic continuation by means of Green’s formula // Ann. Math., 1943. V. 144. P. 652−673.

46. Fichera G. Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di piu variabili complesse // Atti. Acc.ad. Naz. Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Math. Natur., 1957. V. 22. P. 706−715.

47. Lewi H. On the local character of the solutions of a typical linear differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. of Math., 1956. V. 64. № 3. P. 514−522.

48. Lupacciolu G.^4 theorem of holomorphic extension of СR-functions // Pacific J. Math., 1986. V. 124. № 1. P. 177−191.

49. Lupacciolu G. Holomorphic continuation in several complex variables // Pacific J. Math., 1987. V. 128. № 1. P. 117−126.

50. Martinelli E. Acluni teoremi integrali per le funzioni analitiche di piu variabili complesse // Mem. R. Acad. Ital., 1938. V. 9. P. 269−283.

51. Newman D.J. Numerical method for solution of an elliptic Cauchy problem // J. Math, and Pliys., 1960. V. 5. № 1. P. 72−75.

52. Rizza G.B. Su diverse estensioni dell’invariante di E.E. Levi nella teoria delle funzioni di piu variabili complesse // Ann. Mat. pura ed appl., 1957. V. 44. P. 73−89.

53. Severi F. Funzioni analitiche e forme differenziali // Jn.: Atti del quatro Congresso deH’Unione matematica Italiana. Т. I. Roma. Edizioni Gremonese, 1953. P. 125−140.

54. Straube E.J. Harmonic, and analytic functions admitting a distribution boundary value // Ann. Sci. Norm, super. Pisa cl. sci., 1984. V. 11. № 4. P. 559−591.

55. Tarklianov N.N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations Berlin: Akademie-Verlag., 1995.

56. Weinstock B.M. An approximation theorem for d-closed forms of type (n, n — 1) // Proc.: Amer. Math. Soc., 1970. V. 26. № 4. P. 625−628.

57. Ходос O.B. Об условиях голоморфного продолжения гладких функций в фиксированную область // Вопросы матем. анализа. Красноярск: Сб. науч. тр. КрасГТУ, 1997. Вып. 1. С. 132−136.

58. Ходос О. В. Об условиях голоморфного продолжения гладких СR-функций в фиксированную область // Материалы XXXV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: НГУ, 1997. С. 123−124.

59. Ходос О. В. Об условиях голоморфного продолжения гладких CR-функций в фиксированную область // Международная конференция «Математические модели и методы их исследования». Красноярск: Инст. выч. моделирования СО РАН, 1997. С. 184−185.

60. Ходос О. В. Об условиях гармонического продолжения гладких функций в фиксированную область // Комплексный анализ и матем. физика. Красноярск: Сб. науч. тр. КрасГУ, 1998. С. 225−231.

61. Ходос О. В. Условия голоморфного продолжения гладких функций в заданную область // Материалы XXXVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: НГУ, 1998. С. 114−116.

62. Ходос О. В. Критерий гармонического продолжения гладких функций в заданную область // III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) посвященный памяти C.JI. Соболева. (Тезисы докл.) Новосибирск: НГУ, 1998. С. 102−103.

63. Ходос О. В. О некоторых условиях гармонического продолжения гладких функций в фиксированную область // Международная конференция «Симметрия в естествознании». (Тезисы докл.) Красноярск: Инст. выч. моделирования СО РАН, 1998. С. 136−137.

64. Кытманов A.M., Ходос О. В. Об условиях голоморфного продолжения гладких CR-функций в фиксированную область // Известия вузов. Математика, 1999. №> 6(445). С. 37−40.

65. Ходос О. В. О вычислении производных гармонической функции на кривой в R2 // Международная конференция «Многомерный комплексный анализ». (Тезисы докл.) Красноярск: КрасГУ, 2002. С. 50−51.

66. Ходос О. В. О нахождении производных гармонической функции // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А. Д. Александрова. (Тезисы докл.) Новосибирск: Инст. математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002. С. 75−76.

67. Ходос О. В. О нахождении производной гармонической функции на кривой // Вестник КрасГУ. Физико-матем. науки. Красноярск: КрасГУ, 2003. Вып. 2. С. 92−105.lipc-^"' *У ^.