Предельные свойства динамических систем

Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем.

Главы 1 и 2 посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для типичной меры.

Глава 3 посвящена изучению предельного поведения динамических систем с комплексным временем, а именно, типичным свойствам аналитических векторных полей с комплексным временем и заданных ими слоений.

0.1. Временные средние точки и меры.

Первыми из утверждений, описывающих временные средние индивидуальных точек и мер, вероятно, следует считать теорему Биркгофа-Хинчина, утверждающую, что предел временных средних для почти любой точки по эргодической инвариантной мере совпадает с этой мерой, и теорему Крылова-Боголюбова, которая гласит, что любая предельная точка временных средних любой меры является инвариантной мерой. В случае наличия абсолютно непрерывной инвариантной меры (скажем, в случае гамильтоновой динамики или для растягивающего отображения) эти же утверждения описывают и пределы временных средних типичных в смысле меры Лебега точек и временных средних абсолютно непрерывных мер.

Однако, часто динамическая система априори не обладает инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. Тем не менее, из физических соображений для таких систем естественным является именно постановка вопроса про асимптотическое поведение типичной в смысле меры Лебега точки.

Исследования этого вопроса были начаты Я. Г. Синаем [35], Д. Рюэллем [34] и Р. Боуэном [52], и положили начало понятию ЗШЗ-меры. Грубо говоря, вИЗ-меры — это инвариантные меры, наблюдаемые в продолжающемся долгое время реальном физическом эксперименте.

Существует несколько различных (и не эквивалентных!) определений ЗШЗ-меры, из которых мы упомянем два. Естественной называется мера, к которой сходятся временные средние любой абсолютно непрерывной (относительно лебеговой) меры. Наблюдаемой называется мера, в соответствии с которой распределены траектории почти всех (в смысле меры Лебега) точек. Точные определения могут быть найдены, к примеру, в обзоре [4] (см. также работы [25, 13, 48]). Там же показано, что наблюдаемая мера одновременно оказывается и естественной, однако обратное, вообще говоря, неверно (см. [26], [20]).

Пример Боуэна был приведен в [10] как первый пример динамической системы, для которой отсутствуют временные средние индивидуальных точек — иными словами, как пример отсутствия наблюдаемой вИЗ-меры. Однако отсюда, как уже было сказано вьппе, не следует, что не сходится последовательность временных средних меры Лебега, иными словами, что отсутствуют естественные ЗШЗ-меры. Глава 1 настоящей работы как раз и доказывает это последнее утверждение: в примере Боуэна естественной меры также нет.

Этот результат, как и результат следующей главы, является продвижением в направлении обозначенном противоположными по духу гипотезами Д. Рюэлля и Ж. Палиса:

Гипотеза 0.1.1 (Д. Рюэлль). Существует открытая область в пространстве гладких динамических систем, для типичной системы из которой для почти всех точек не существует временных средних.

Гипотеза 0.1.2 (Ж. Палис). Для типичной гладкой системы существуют временные средние почти всех (в смысле меры Лебега) начальных точек.

Впрочем, следует отметить, что эти две гипотезы не являются формально противоречащими друг другу из-за различных использованных определений типичности: Д. Рюэлль опирается на топологическую — принадлежность остаточному множеству, — а Ж. Палис на метрическую — множество параметров полной меры.).

Пример Боуэна имеет коразмерность 2 в пространстве векторных полей: для него требуется наличие двух сепаратрисных связок, поэтому в типичном двупараметриче-ском семействе ему соответствуют изолированные значения параметров.

Исследуя векторные поля на торе, автор установил, что можно слегка уменьшить коразмерность такого примера.

Для этого в главе 2 мы переходим к рассмотрению потоков Черри. Поток Черри был введён Т. Черри в работе [43] (см. также [42]) как пример потока на двумерной поверхности с квазиминимальным множеством канторового типа. А. Пуанкаре в работе [32] поставил вопрос о том, может ли гладкое векторное поле на двумерной поверхности иметь минимальное множество канторового типа, и отрицательный ответ на этот вопрос был получен А. Данжуа в его работе [12]. Соответственно, потоки Черри остаются наилучшим приближением к тому, что интересовало Пуанкаре.

Исследование потоков на двумерных поверхностях затем было продолжено многими авторами, и к настоящему моменту эта область хорошо исследована. Обзор известных результатов о классификации таких потоков приведен в обзоре С. X. Арансона и В. 3. Гринеса [1].

В главе 2, рассматривая потоки Черри с двумя ячейками, мы строим пример коразмерности 2 — 0 систем с отсутствием временных средних типичных точек и мер. «Коразмерность 2 — 0» здесь означает, что в типичном двупараметрическом семействе этому примеру соответствует Канторово множество параметров, увы, нулевой Хаусдорфовой размерности.

0.2. Динамические системы с комплексным временем.

Глава 3 посвящена изучению динамических систем с комплексным временем на комплексной плоскости С2. В этой главе мы рассматриваем векторные поля:

У У! (0.2.1) у = д (х, у), где /, д е С (С2), и функции / и д не имеют общей гиперповерхности нулей. Они задают слоение с особенностями комплексной плоскости на аналитические кривые.

Исследование полиномиальных векторных полей с комплексным временем фиксированной степени восходит к 16-ой проблеме Гильберта и было начато в 1950;70-ых годах в работах, И.Г. Петровского-Е.М. Ландиса, М.Г. Худай-Веренова ([39]), Ю. С. Ильяшенко ([15]). Одна из основных теорем, показывающих, что поведение таких систем в комплексной области нетривиально и противоречит вещественной интуиции, такова:

Теорема (Худай-Веренов, Ильяшенко, Щербаков, Накаи). Типичное полиномиальное слоение степени п > 2 плоскости С? минимально (т.е. все неособые слои плотны на всей плоскости) и эргодично (т.е. любое инвариантное измеримое множество имеет либо полную, либо нулевую меру Лебега).

Эта теорема доказывается в работах [39,15, 47, 27], в которых шаг за шагом ослабляются требования типичности. В главе 3 доказывается аналог этой теоремы для случая аналитических слоений:

Теорема 0.2.1. Типичное аналитическое слоение комплексной плоскости С? минимально и эргодично.

Типичность здесь понимается в топологическом смысле, а именно, свойство называется типичным, если оно выполнено для остаточного множества в пространстве векторных полей (снабженных топологией равномерной сходимости на компактах).

Стоит отметить, что исследования полиномиальных слоений основывается на рассмотрении бесконечно удаленной прямой, которая оказывается слоем с несколькими особыми точками (и, соответственно, с богатой группой монодромии).

Для аналитический слоений прямое применение такого метода невозможно: типичное аналитическое слоение имеет существенную особенность вдоль всей бесконечно удаленной прямой.

В упомянутых выше работах [39, 15, 47, 27] доказывается также свойство абсолютной негрубости типичного полиномиального слоения. Вопрос о том, имеет ли место аналогичное свойство для аналитических слоений (и если да, то в какой формулировке), остается открытым.

Отдельный лист полиномиального слоения представляет собой риманову поверхность. Как ни странно, о ее топологии известно довольно немного. В частности, остается открытой следующая гипотеза, сформулированная Д. В. Аносовым в 1963 г. на семинаре В. И. Арнольда:

Гипотеза 0.2.2 (Гипотеза Аносова). В классе полиномиальных слоений фиксированной степени плоскости С2 тождественный цикл может быть разрушен малым возмущением.

И тем более остается открытой гипотеза о том, что все слои, кроме счетного числа, односвязны.

С другой стороны, имеется результат Э. Жиса о топологии слоев, типичных в смысле гармонической меры. Оказывается, что типичный в этом смысле слой может быть лишь одного из семи топологических типов. Но подобный вопрос для типичного в смысле меры Лебега слоя остается открытым.

В отличие от полиномиального случая, удалось описать топологию слоев для аналитических слоений (см. [40]):

Теорема. (Т. С. Фирсова) У типичного аналитического слоения комплексной плоскости все слои кроме не более, чем счетного числа — диски, а остальные слои — цилиндры.

Оказывается, что у типичного аналитического слоения ровно счетное число топологических цилиндров, а именно:

Теорема 0.2.3. У типичного аналитического слоения комплексной плоскости все слои кроме в точности счетного числа — диски, а остальные слои — цилиндры.

Доказательство этой теоремы приводится в начале главы 3. Из этой теоремы также следует, что:

Следствие 0.2.4. У типичного аналитического слоения комплексной плоскости есть счетное число гомологически независимых предельных циклов.

Заметим также, что уже для слоений СР2 (как и в СРп) фиксированной (геометрической) степени многие естественные вопросы остаются открытыми. Так, в работе Ф. Лоре и Дж. Ребело (см. [22]) было доказано, существование открытой области, в которой типичное слоение минимально и эргодично. Однако неизвестно, являются ли минимальность и эргодичность глобально типичными.

1. С. X. Арансон, В. 3. Гринес. Топологическая классификация потоков на замкнутых многообразиях, Успехи Мат. Наук, 41 (1986), no. 1 (247), с. 149 169.

2. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильни-ков. Теория бифуркаций // Динамические системы, 5, М.: ВИНИТИ, 1986.

3. П. С. Бачурин. О связи между временными средними и минимальными аттракторами, Успехи Мат. Наук, 54 (1999), по. 6, с. 151−152.

4. М. Blank, L. Bunimovich. Multicomponent dynamical systems: SRB measures and phase transitions. Nonlinearity, 16 (2003), pp. 387−401.

5. R. Bowen. Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer Lecture Notes in Math. 470 (1975).

6. C. Boyd. The structure of Cherry flows, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 5 (1985), pp. 27−46.

7. O. VlRO Gluing of plane real algebraic curves and constructions of curves of degrees6 and 7. Topology (Leningrad, 1982), pp. 187−200. Lecture Notes in Math.

8. John Wermer. The hull of curve in Cn. Annals of Mathematics. Volume 68,3,1958.

9. Волк Д. С. Плотность сепаратрисных связок в пространстве полиномиальных слоений в CP2, Труды МИ АН, 2006, 254, с. 181−191.

10. A. Gaunderdorfer, Time averages for heteroclinic attractors, SIAM J. Math. Anal. 52 (1992), 1476−1489.

11. A. Gorodetski, Yu.Ilyashenko. Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, 6 (1996), N. 6, pp. 1177−1183.

12. A. Den joy. Sur les courbes definies par des equation differentielles a la surface du tore. J. Math. Pure et Appl., 11 (1932), pp. 333−375.

13. E. jarvenpaa, T. Tolonen. Relations between natural and observable measures. Nonlinearity, 18 (2005), pp. 897−912.

14. Ю. С. Ильяшенко, Мемуар Дюлака «О предельных циклах» и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений, Успехи Мат. Наук, 40 (1985), вып. б (246), с. 41−77.

15. Ильяшенко Ю. С. Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной плоскости. Труды сем. им. И. Г. Петровского, Вып. 4, 1978, стр. 83−136.

16. Ilyashenko Yu.S. Centennial History of Hilbert 16'th problem. Bulletin (New Serias) of the american mathematical society, Volume 39, Number 3, Pages 301 354.

17. Yu. Ilyashenko. The concept of minimal attractors and maximal attractors of partial differential equations of the Kuramoto-Sivashinski type, Chaos 1,1991, N. 2, pp. 168−173.

18. I. Itenberg, E. Shustin. Singular points and limit cycles of planar polynomial vector fields, Duke Math. J. 102 (2000), no. 1, pp. 1−37.

19. А. Б. Каток, Б. Хассельблат.

Введение

в современную теорию динамических систем. Факториал, 2005.

20. V. Kleptsyn. An example of non-coincidence of minimal and statistical attractors, Ergodic Theory Dynam. Systems, 26 (2006), pp. 759−768.

21. В. А. Клепцын, Несовпадение минимального и Милноровского аттракторов для ячейки Черри. рукопись.

22. F. Loray, J. Rebelo Minimal, rigid foliations by curves on CPn, J.Eur.Math.Soc.5(2003), no. 2, pp. 147- -201.

23. J. MlLNOR. On the concept of attractor, Comm. Math. Phys. 99 (1985), no. 2, pp. 177−195.

24. Дж. Милнор. Голоморфная динамика. РХД, 2000. Перевод с английского: J. Milnor, Dynamics in one complex variable. Vieweg, Braunschweig, 1999.

25. M. Misiurewicz. Ergodic natural measures, preprint (2004).

26. M. Misiurewicz, A. Zdunik. Convergence of images of certain measures. Statistical physics and dynamical systems (Koszeg, 1984), PP- 203−219, Progr. Phys. 10, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1985.

27. I. Nakai. Separatrices for nonsolvable dynamics on C, 0, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 44 (1994), no. 2, pp. 569−599.

28. A. Navas. Sur les groupes de diifeomorphismes du cercle, Enseignement mathematique, 50 (2004), pp. 29−68.

29. I. Nikolaev, E. Zhuzhoma. Flows on 2-dimensional manifolds. An overview. Lecture Notes in Math., 1007. Springer-Verlag, Berlin, 1999.

30. J. Palis. A global view of dynamics and a conjecture on the dynamics of finitude of attractors, Geometrie complexe et systemes dynamiques, Orsay 1995, Asterisque 261 (2000), xiii-xiv, pp. 335−347.

31. J. Palis, W. de Melo. Geometric Theory of Dynamical Systems. An introduction, SpringerVerlag. New York-Heidelberg-Berlin (1982).

32. H. Poincare. Sur les courbes definies par les equations differentielles, I, II, III, IV. J. Math. Pure et Appl, 2 (1881, 82, 85, 86), pp. 151−217.

33. D. Ruelle. Historical behaviour in smooth dynamical systems. Global analysis of dynamical systems, pp. 63−66, Inst. Phys., Bristol, 2001.

34. D. Ruelle. A measure associated with Axiom A attractors. Amer. J. Math., 98 (1976), pp. 619−654.

35. Я. Г. Синай. Гиббсовские меры в эргодической теории. Успехи Мат. Наук, 27 (1972), вып. 4, с. 21−69.

36. G. Stolzenberg. Uniform approximation on smooth curves. Acta. Math, 1966. Volume 115, 3−4,p.l85−198.

37. D. Sullivan. Conformal dynamical systems, Lecture Notes in Math. 1007 (1983), Springer, Berlin, pp. 725−752.

38. F. Takens, Heteroclinic Attractors: time averages and moduli of topological conjugacy, Bol. Soc. Bras. Mat. 25 (1994), No. 1, 107−120.

39. M.G. Khudai-Verenov, A property of the solutions of a differential equation (Russian), Mat. Sb. 56 (1962), pp. 301−308.

40. Фирсова T.C. Топология аналитических слоений в С2. Свойство Купки-Смейла, Труды МИАН, 2006, 254, 162−180.

41. J. Hutchinson. Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J., 30, No. 5, (1981), pp. 713−747.

42. T. Cherry. Topological properties of solutions of ordinary differential equations, Amer. J. Math, 59 (1937), pp. 957−982.

43. T. Cherry. Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus, Proc. bond. Math. Soc., 44 (1938), no. 2, pp. 175−215.

44. M.Chaperon. Generic complex flows. Preprint.

45. A. Schwartz. A generalization of Poincare-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds. Amer. J. Math. 85 (1963), 453−458.

46. M. Shub, D. Sullivan. Expanding endomorphisms of the circle revisited, Ergodic Theory Dynam. Systems 5 (1985), No. 2, pp. 285−289.

47. A. A. Shcherbakov. Dynamics of local grous of conformal mappings and geneic properties of differential equations on C2, Tr. Mat. Inst. im. V.A. Steklova, Ross. Akad. Nauk 254, (2006) Proc. Steklov Inst. Math. 254,(2006), pp. 103−120]. 73.

48. L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Stat. Phys. 108 (2002), pp. 733−754.

49. T. Young, Asymptotic measures and distributions of Birkhoff averages wth respect to Lebesgue measure, Disc, and Cont. Dyn. Sys., Volume 9 (2003), No. 2, 359−378.

50. M. A. Zaks, Fractal Fourier Spectra for Cherry Flows. Physica D, 149 (2001), no. 4, pp. 237−247.Работы автора по теме диссертации.

51. Т. И. Голенищева-Кутузова, Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2, Труды математического института им. В. А. Стеклова, 254 (2006), с. 192−195.

52. Т. И. Голенищева-Кутузова, В. А. Клепцын, Исследование сходимости процедуры Крылова-Боголюбова в примере Боуэна, Математические заметки, 38 (2007), по. 5, с. 678−689.