Парадигмальные аспекты математического познания

Актуальность темы

исследования обусловлена рядом серьезных проблем, стоящих как перед философией математики, так и перед эпистемологией в целом. Ситуацию, которая сложилась в современной философии математики, можно охарактеризовать как попытку выхода из идеологического тупика, в котором она оказалась в результате исчерпанности круга проблем, связанных с обсуждением проблем кризиса оснований. Эта ситуация получила наименование «эпистемического поворота», суть которого — в обращении к темам познания в математике. Можно отметить рост числа конференций, остроту происходящих на них дискуссий, нарастание объема публикаций, посвященных философским проблемам математического познания. Диссертант считает важным подчеркнуть отличия в тематике дискуссий в зарубежном и отечественном сообществах философов, что в значительной степени определило общую направленность диссертационного исследования. На Западе, где сильны традиции аналитической философии направление дискуссий задается знаменитой дилеммой П. Бенацеррафа: «если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?» (В. В. Целищев) Соответственно, ставится задача такой.

I интерпретации «идеальных конструкций», «абстракций» математических сущностей"), которая позволила бы осуществить этот контакт. При всем разнообразии концепций, направлений, решений можно отметить единство в подходе, задаваемое аналитической традицией.

Отечественная философия изначально отличается ориентацией на исследование истории математики. Концептуально это выразилось в поисках общих закономерностей развития математического познания, критериальных особенностей этапов его генезиса, выявлении механизмов перехода от одного этапа к другому. К настоящему времени в ходе оживленных дискуссий в рамках отечественного сообщества четко оформились два направления -* фундаменталистское, ориентированное на обсуждение эпистемических вопросов в традициях классической проблематики оснований, и нефундаменталистское, поднимающее проблемы, связанные с культурно-историческим, личностным контекстом математического познания. Анализ показывает достаточно жесткое противостояние по всем вопросам предметной области философии математики. Напряженные дискуссии происходят и между сторонниками нефундаменталистского направления, в котором, несмотря на общность тематики, отмечается разное понимание сути социокультурного подхода, отличия в определениях понятий «наука», «культура», несогласие в механизмах их взаимодействия. I Сторонники социокультурного подхода пытаются концептуально осмыслить ситуацию динамики математического знания, процесс интенсивного образования новых предметных областей, изменение статуса математики в общей системе культуры. Поиск инвариантов, обеспечивающих единство математического знания и специфицирующих его в системе научного познания, становится в этих условиях одной из важнейших задач. Обсуждаются понятия «стиль», «познавательная установка», «парадигмальная схема», в которых фиксируются определенное единство и различие элементов дисциплинарной системы математики. Основное концептуальное противоречие, служащее предметом жесткой I критики со стороны сторонников классической философии математики, — культурный релятивизм", элементы которого можно видеть уже в культурологических идеях О. Шпенглера, и четкое выражение в представлении о «несоизмеримости» парадигм концепции Т. Куна.

Автор диссертационного исследования предполагает, что концептуально осмыслить вопрос о единстве науки и, тем самым, преодолеть культурный релятивизм возможно только путем прояснения глубинных, фундаментальных закономерностей, определяющих природу науки, выявив факторы, конституирующие науку вообще, и математику, в частности. С точки зрения автора работы, это возможно при понимании науки как системы социальной деятельности, регулируемой механизмами культуры.

В диссертации высказывается предположение о том, что смысловой потенциал понятия «парадигма» далеко не исчерпан. Несмотря на критику нечеткости его определения, неоднородности содержащихся в нем компонентов различного эпистемического статуса, можно отметить постоянное использование этого понятия в различных контекстах философии науки. С точки зрения автора работы, это связано с тем, что в модели Т. Куна парадигма фактически выступает фактором, конституирующим науку, обеспечивая ее стабильное функционирование в рамках концептуального единства научного сообщества. Вместе с тем, желая избежать смысловой неоднозначности, стоящей за понятием «парадигма», автор вводит представление о «парадигмальных аспектах», под которыми подразумевается система онтологических допущений и регулятивных структур, обеспечивающих конституирование математики как науки.

По мнению автора, наиболее явно этот фактор выступает в период перехода от практической математике к теоретической и приобретения ею статуса науки в рамках рационального познания античной Греции. Таким образом, этот процесс становится предметом диссертационного исследования. В соответствии с развиваемыми в работе представлениями в сфере внимания оказывается и анализ возможностей социокультурного подхода при исследовании процессов формирования науки.

Степень разработанности проблемы.

Анализ современного состояния философии математики осуществлен на основе работ новосибирской школы философии математики под руководством В. В. Целищева, что позволило выделить ключевую проблему, определившую направление диссертационного исследования.

Выделение этапов исторического развития математики и их периодизация рассматривается в работах А. Н. Колмогорова, Н. Бурбаки,.

Ф. Китчера, Г. Е. Шилова, Б. С. Чендова, А. Г. Барабашева, С. С. Демидова,.

A. Д. Александрова.

В представлении механизма развития математики существуют в основном, две модели: эволюционная и революционная. В рамках первой позиции (А. Д. Александров, Н. Бурбаки, А. Г. Барабашев, А. П. Юшкевич, Е. И. Славутин Ф. Китчер) намечаются некоторые элементы преемственности (внутренняя эволюция типов задач, развитие теоретической систематизации, появление аксиоматического метода) в осуществлении перехода практическая-теоретическая математика. Согласно второй модели (А. Н. Колмогоров, С. С. Демидов, Г. И. Рузавин, JI. Я. Жмудь, С. Н. Бычков, И. Г. Башмакова), при возникновении теоретической математики имеет место качественный скачок, связываемый в большинстве случаев с действием внешних факторов развития математики, основную роль среди которых играет социокультурная детерминация.

При анализе развития практической математики использовались классические работы Л. Леви-Брюля, О. Нейгебауэра, Дж. Вуда, Л. Б. Ван дер Вардена, Д. Я. Стройка. Материал о развитии счетных систем содержится в работе Ф. Кликса.

При анализе современного априоризма использовались работы.

B. Я. Перминова, А. Г. Барабашева, В. А. Бажанова, В. Б. Губина,.

A. Н. Кричевца.

Интересные результаты относительно факторов, определяющих становление теоретической математики, получены в нефундаменталистской философии математики (М. А. Розов, А. В. Родин,.

B. Л. Шапошников, С. Н. Бычков, О. А. Габриелян, Г. А. Нуждин, Р. К. Кадыржанов, А. Н. Нысанбаев, В. К. Петросян и др.), в рамках которой активно дискутируется вопрос о единстве математического знания, выявляется степень различия этапов развития математики, осуществляется поиск инвариантных структур, специфицирующих математическую деятельность.

В соответствии с поставленной проблемой и определением предмета исследования формулируются цели и задачи диссертационной работы.

Цели и задачи исследования.

Целью работы является выявление парадигмальных аспектов, выступающих фактором конституирования теоретической математики как науки, определяющих возможность функционирования математики как стабильной системы научной деятельности.

В соответствии с этой целью, в работе ставятся следующие задачи:

— Используя возможности социокультурного подхода, сформулировать критерии различения математики как практической деятельности (практической математики) и теоретической математики.

— На историческом материале выявить особенности механизма развития практической математики, становление понятия числа и числовых систем древности.

— Проанализировать истоки априоризма в понимании математики и логику его развития в современных версиях философии математики.

— Рассмотреть факторы, определяющие становление теоретической математики и особенности формирования ее предметной области.

Методологическая основа исследования.

Представляемое исследование основывается на методологии социокультурного подхода в философии науки, получившего развитие в работах отечественных философов науки. Социокультурный подход сегодня представляет разнообразие методов и предметных областей исследования, в соответствии с которыми в настоящей работе был востребован следующий ряд идей.

— Представление о науке как системе совместного духовного конструирования.

— Используется основополагающий тезис о социокультурной природе науки, наиболее последовательно разрабатываемый в отечественной философии и методологии науки М. К. Петровым, В. С. Степиным,.

JI. М. Косаревой, Е. А. Мамчур, А. П. Огурцовым, Б. Г. Юдиным, М. А. Розовым и др.

— Для анализа надындивидуальной структуры памяти научного сообщества используется предложенное М. А. Розовым представление о нормативных системах и социальных эстафетах. Функционирование таких систем осуществляется на основе непосредственного копирования образцов деятельности индивидами и может рассматриваться как простейшая модель социальной памяти научного сообщества. Такая модель позволяет исследовать научное познание в рамках взаимодействия индивидуальных и надындивидуальных структур в процессе совместной деятельности индивидов в науке по конструированию предметных значений.

— Используется представление о нормативной регуляции науки как необходимом элементе научной деятельности, формируемой в системе научной рефлексии. Деятельность индивидов при этом может рассматриваться как дестабилизирующий фактор, расшатывающий систему знания и несущий потенциальную угрозу ее гибели. Это позволяет исследовать научное познание как самоорганизующуюся систему, одной из важнейших и конституирующих функций которой является необходимость стабилизации знания, обеспечения его устойчивого понятийного и методологического пространства. Важную роль в связи с этим представляет анализ регулятивных механизмов научного познания в работах Ю. К. Никитинской.

Положения, выносимые на защиту.

Практическая и теоретическая математики исторически суть две принципиально отличные формы знания, не содержащие возможности естественного эволюционирования одна в другую. В практической математики числа и фигуры являются знаками операций в составе трансляционного механизма надындивидуальных структур деятельности.

— Формирование теоретической математики связано с процессом придания онтологического статуса числу и фигуре путем включения их в схемы рационального конструирования античной натурфилософии. Формирование предметного поля математического познания есть онтологизация знаков операций практической математики и превращение их в предмет исследования.

— Источником априоризма в его современной праксеологической версии является отсутствие четкого разграничения индивидуальных и надындивидуальных структур и типов деятельности в практической и теоретической математике. Эффект априорности математических объектов возникает за счет рефлексивного осознания превращения знаков операций в предмет исследования.

— Одним из факторов становления теоретической математики является формирование регулятивной системы, элементом которой является совокупность методологических требований, которые выполняют функцию стабилизации системы, то есть, выступают в роли парадигмальных аспектов математического познания.

— Парадигмальные аспекты, элементами которых являются система определенных онтологических допущений (онтологизация числа) и регулятивная система в структуре методологического сознания, выступают фактором, конституирующим математику как науку.

Научная новизна.

1. Научная новизна заключается в переводе классической постановки проблемы выяснения специфики математического познания в плоскость изучения факторов, конституирующих науку вообще, и математику, в частности.

2. В рамках представленной интерпретации социокультурной природы математики введена спецификация практической и теоретической математики как разных типов деятельности, обеспечиваемых различными трансляционными механизмами.

3. Используемая в работе концепция позволяет объяснить возникновение «эффекта априоризма» в понимании математического познания, в результате онтологизации знаков операций практической деятельности, в роли которых выступают числа и фигуры в процессе включения их в схемы рационального познания, в результате чего они становятся предметом исследования.

4. Проведена периодизация этапов эволюционного развития счетных и измерительных систем в соответствии с изменением характера практической деятельности в рамках развития практической математики.

5. Введено понятие парадигмальных аспектов, представленных системой определенных онтологических допущений и элементов регулятивной структуры, которое позволяет выявить необходимый фактор конституирования математики как науки.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в разработке одной из актуальных проблем философии математикиспецифических особенностей механизма развития математического познания. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях эпистемических проблем, а также применены в педагогической практике, как в основном учебном курсе философии, так и при чтении спецкурсов по философии и истории науки.

Апробация работы. Основные положения настоящей работы докладывались автором на конференциях: «Философия и жизненный мир человека» (Саратов, СГУ, 2003), «Человек в глобальном мире» (Саратов, СГУ, 2004), «Человек в научном и религиозном мире: проблема внутреннего диалога» (Саратов, СГУ, 2005). Диссертационное исследование обсуждалось на заседаниях кафедры философии и методологии науки Саратовского государственного университета (июнь 2005 г., сентябрь 2005 г.).

Основные результаты исследования изложены в следующих публикациях:

1. АгафоновИ.В. Рациональность и смысл жизни //Философия и жизненный мир человека, Саратов, 2003, С. 160−164.

2. Агафонов И. В. Парадигмальные установки (аспекты, элементы, традиции) развития математического познания // Человек в глобальном мире, Саратов, 2004, С. 153−156.

3. Агафонов И. В. Социокультурные аспекты формирования науки в античности // Человек в научном и религиозном мире: проблема внутреннего диалога", Саратов, 2005, С. 84−88.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих четыре параграфа, заключения и списка литературы.

Заключение

.

В современной философии науки проблема социальной детерминации познания становится одной из наиболее дискутируемых. Классическое понимание социальной природы науки исходило из выявления факторов, обуславливающих научное познание, и шло в направлении все более глубокого осмысления сложности механизма взаимоотношений науки и социально-производственной сферы. Впоследствии в рамках методологии науки назрело осознание ограниченности традиционного логико-гносеологического подхода к анализу знания, в рамках которого социальность неизбежно выступает в качестве внешнего фактора, хотя и проникающего достаточно глубоко в «ткань» науки.

Развиваемый в настоящей работе подход дает возможность понять социальную природу науки, которая проявляется в закономерностях ее функционирования как социальной системы, включающей особые способы организации деятельности «всеобщего труда», а также систему трансляции научного опыта, выраженного не только в результатах этой деятельности, но и в самих ее образцах и в целом обеспечивающих стабильное функционирование всей системы научного знания.

При этом утверждается, что результат любого акта познавательной деятельности детерминирован не только предметом этой деятельности, и не только специфическими его методами и средствами получения знания, но системой «общения» в широком смысле, необходимостью трансляции результата познания в надындивидуальных структурах практики. В такой системе общения каждый индивид лишен конкретных личностных особенностей и способен, по крайней мере, мысленно выполнять операции, являясь собственно носителем надындивидуальной структуры знания, формирование которой выступает необходимым условием появления системы научной деятельности.

Наиболее четко это проявляется в становлении математического познания. В ходе развития практической математики происходит формирование надындивидуальных структур практической деятельности счета и строительства — формируются единые эталоны, использование которых наиболее технологично в смысле их воспроизведения и трансляции в системе социальной памяти. Становление надындивидуальных структур происходит под непосредственным воздействием практики обмена, в ходе развития которой, появляется необходимость во всеобщих стандартах и эталонах, обеспечивающих единое пространство образцов транслируемой деятельности. Появление чисел и фигур представляет собой один из явных примеров формирования надындивидуальных структур в сфере практической деятельности счета и строительства.

Зарождение теоретической математики связано с возникновением рационального познания в культуре античной Греции и включением в него чисел и фигур, становящихся здесь объектами познания. Этот процесс связан с наделением числа и фигуры, выполняющих в практической математике роль знаков соответствующих операций, онтологическим статусом, то есть формирования представления о них в системе знания как о самостоятельных сущностях. Познавательная деятельность по своему характеру отличается высокой степенью индивидуальной свободы от деятельности практической, которая транслируется строго алгоритмически, исключая какие-либо отклонения от установленной процедуры. Деятельность отдельного субъекта предполагает включение индивидуальных результатов конструирования в общую систему надындивидуальной памяти, что создает угрозу потенциального «расшатывания» всей системы знания. Стабильность ее может быть обеспечена специальными регуляционными механизмамиструктурой ограничений, накладываемых на деятельность отдельного индивида, в совокупности обеспечивающие воспроизводимость математической деятельности и ее результатов. В этой ситуации теоретическая математика может функционировать только при наличии стабильной системы трансляции средств деятельности — социальной памяти.

Начальный этап развития математического познания (пифагореизм) характеризуется ограниченным набором образцов деятельности, стабильность при этом обеспечивается простым копированием и воспроизведением. По мере накопления знания меняется способ их трансляции и, соответственно, усложняются механизмы стабилизации системыпоявляются системы оценок, предпочтений, в целом нормирующие деятельность каждого индивида — участника системы социальной памяти. Формирование этих структур связано с выделением теоретической математики из античной натурфилософии как рационального познания в рамках специфической предметной области математических объектов. В этих условиях стихийное нормирование деятельности сменяется сознательным нормотворчеством в рамках самосознания математики, ее специфики в сравнении с философией и физикой, как одних из первых форм рационального познания в античности. Формируется система оценок образцов деятельности, её средств и результатов, формируются предписания вместе с системой их обоснования, представление об идеале, то есть, возникает весь аппарат методологического сознания, выполняющего регулятивную функцию по отношению к деятельности в науке.

Элементом методологического сознания является введенное здесь понятие парадигмальных аспектов как системы онтологических допущений и методологических принципов, конституирующих предметное поле математического познания. Таким образом, стабильность структуры его понятийных форм при смене конкретного нормативного содержания обусловлена их связью с фундаментальными структурами, лежащими в основании всей системы духовного производства.

Социокультурный подход, основанный на представлениях о трансляционной природе любого и, в том числе, научного знания, позволяет иначе проинтерпретировать проблему специфики математического объекта и математического познания. Математические объекты (числа и фигуры), выступая как результат онтологизации знаков операций практической деятельности, определяются парадигмальными аспектами как системой конституирующих принципов, определяющих возможности и границы духовного конструирования их предметных значений. Введенное представление о нормативной природе объектов математического познания, позволяет, с одной стороны, избежать обращения к априоризму при объяснении их специфики. С другой стороны, анализ надындивидуальных структур математического познания позволяет преодолеть наиболее проблемные моменты математического натурализма в западной аналитической традиции, связанные с трудностями истолкования особого эпистемического статуса математических утверждений на основе эмпирического источника любого и, в том числе, математического знания.

Приведенный здесь подход, связанный с выявлением парадигмальных аспектов, предоставляет, на наш взгляд, широкие возможности для дальнейшего исследования развития математических теорий, выбирая в качестве объекта такого исследования динамику образования и развития предметного поля математического познания, определяемую включением в схемы рационального поиска новых математических структур.