Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типа

Заключение

75.

Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнений типа Соболева посвящено большое количество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. Л. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями типа Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости.

Исследования С. Л. Соболева были продолжены Р. А. Александряном [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеленяком [5], Н. Д. Копачевским [6, 7], С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым [8, 9]. Среди работ, продолживших исследования С. Л. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальперна [11, 12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.

Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта «квазифронта». В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна.

Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляций и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет места.

Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13], С. Т. Симакова [14], П. А. Крутицкого [15]. В этих работах, при помощи фундаментальных и сингулярных решений операторов внутренних волн, т. е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с помощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу С. Я. Секерж-Зеньковича [16], где впервые, на основе преобразования Фурье, было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, уравнение которых имеет вид д2 (А3и — (32и) + ш2 А2и = О, где (3 — параметр стратификации, ш0 — частота Вейсяля-Брента.

В работах Ю. Д. Плетнера [17] - [19] была обнаружена тесная связь между уравнениями типа Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, в ходе исследования частных начально-краевых задач для уравнений внутренних волн было замечено, что свойства их решений как функций пространственных переменных близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, речь идет о таком свойстве, как аналитичность по пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних волн близка к классической системе Коши-Римана. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по временной переменной необходимое число раз представить в следующем виде з ' Ф 1*и = ! (18Ф{г-з)и (з), ф (г) еС (2)([0,+оо).

1 г 0.

Из данного вида и важного свойства вольтерровских операторов — равенства нулю спектрального радиуса — следует, что указанное интегродифференциальное уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтерровскими операторами эллиптическое уравнение.

Е3 д2и згг^0г=1 1.

Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн в случае областей с негладкой границей [20] - [23]. Кроме того, в работе [24] были обнаружены модельные уравнения тина Соболева высокого, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых волн во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем интегродифференциальных уравнений второго порядка. Отметим также, что в работе [25] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первого порядка, т. е. так называемые уравнения псевдопараболического типа [26].

Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравнений типа Соболева — псевдопараболических уравнений [26]. Все уравнения, для которых поставлены рассматриваемые в данной диссертации задачи, относятся именно к этому типу соболевских уравнений. Здесь следует уточнить терминологию. Под псевдопараболическими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не типа Коши-Ковалевской высокого порядка с производной, но времени первого порядка вида (А (и)) + В (и) = 0, где А (и) и В (и) — это эллиптические, и, вообще говоря, нелинейные операторы.

В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [27], по всей видимости, впервые математически строго было получено линейное исевдоиараболическое уравнение (Аи + си) + Ли = 0, се Кх{0} описывающее нестационарный процесс фильтрации в трещиновато — пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [28], Е. С. Дзекцера [29], Ю. Н. Работнова [30, 31] и Г. А. Свиридюка [32, 33] были получены новые уравнения псевдопараболического типа. Следует упомянуть также работы [34, 35] где были выведены самые разнообразные уравнения псевдопараболического типа: линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков и т. п.

Перечень работ, посвященных изучению нелинейных уравнений псевдопараболического типа, весьма обширен. Волновые уравнения третьего порядка исследовались в работах [36] - [51]. В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, для которых исследовались вопросы глобальной во времени разрешимости и разрушения. В случае глобальной во времени разрешимости исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных так и для многомерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса: д (иххи)+их + иих + ихх = 0. дЬ.

Изучению волновых уравнений псевдопараболического типа пятого порядка Розенау и Розенау-Бюргерса посвящены работы [52] - [58]: д и) — ихиих^хх — от.

В этих работах исследованы вопросы глобальной во времени разрешимости, асимптотического поведения при больших временах и устойчивочти решений типа бегущих волн.

С другой стороны, немало работ посвящено исследованию диссипативных нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Приведем некоторый обзор результатов.

Применение полугруппового подхода к общей теории сингулярных уравнений типа Соболева получило глубокое и широкое развитие в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [59, 60]. Используя полугруппы операторов с нетривиальными ядрами и образами, а также некоторые обобщения понятий ограниченных, секториальных и радиальных операторов в сочетании с понятием фазового пространства удалось свести изучение линейных и полулинейных сингулярных уравнений типа Соболева к изучению структур соответствующих ядер, образов и фазовых пространств полугрупп операторов.

Исследованию псевдопараболических уравнений с незнакоопределенным или необратимым оператором при старшей производной во времени посвящена работа И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [61]. В данной монографии авторы исследовали уравнения, в абстрактной постановке имеющие вид где ЬиВ — самосопряженные (или диссипативные) операторы в данном гильбертовом пространстве. И основная цель работы, реализованная авторами, это связанная с этим операторно-дифференциальным уравнением спектральная задача.

Ьи = АВи, для которой изучены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов в некоторых семидифинитных Гильбертовых пространствах.

Кроме того, в абстрактной постановке вырождающиеся уравнения псевдопараболического типа рассматривались в работе А. Раунп, А. Уа^ [62]. В этой работе в законченном виде был предложен метод редукции сингулярных уравнений типа Соболева к дифференциальному включению.

Iи е, А и ей с многозначным линейным оператором.

А: V —> 2?.

Данный метод основан на хорошо разработанном методе многозначных линейных операторов и основной результат — это теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных сингулярных уравнений типа Соболева.

Широкий спектр результатов для уравнений и систем уравнений, неразрешенных относительно старшей производной рассматривается в работе Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [63]. В монографии изучаются некоторые аспекты задачи Коши и смешанных задач для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Устанавливаются условия разрешимости в весовых соболевских пространствах, доказываются теоремы единственности, выводятся априорные НУ — оценки решений. Изучаются асимптотические свойства решений некоторых задач гидродинамики.

Отметим также работу X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [26], где рассматриваются вопросы локальной разрешимости для уравнений псевдопараболического типа. В данной монографии центральное место занимает исследование операторных и онераторно-дифференциальных уравнений. Для псевдопараболических операторно-дифференциальных уравнений изучаются вопросы Си!.2 — разрешимости. Рассматривается обоснование методов конечномерной апроксимации, в частности, метода Галеркина.

Исследованию псевдоиараболических включений с двойной нелинейностью посвящена работа II. Stefanelli [64]. Метод, используемый в данной работе является развитием метода многозначных линейных операторов предложенный в работе А. Гаунп, А. Yagi [62].

Псевдонараболические уравнения с монотонной нелинейностью рассматривались в работе Я. Е. Showalter [65]. В данной работе в развернутом виде рассматривается классический метод монотонности в приложении к разнообразным классам уравнений математической физики и, в частности, к нелинейным уравнениям типа Соболева с монотонными нелинейностями.

Задачи оптимального управления линейных задач для уравнений псевдопараболического типа исследовались в работе С. И. Ляшко [66] (см. также библиографию к этой работе).

Вопросы разрушения решения за конечное время и существования глобального во времени ограниченного решения нелинейного уравнения Буссинеска с источником щ — Аф (и) — Ащ + ц (и) = О исследовалось в работах А. И. Кожанова [67, 68]. В данных работах для доказательства разрушения используется полученный в работе принцип сравнения решений первой краевой задачи для данного уравнения. В частности, в работе доказано, что имеет место разрушение положительного решения задачи, и получены результаты типа теорем существования-несуществования.

Наконец, в работе A. JI. Гладкова [69] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа: ut = сАщ + (р (и) в классе растущих функций <�р (и), где и принадлежит некоторому классу корректности.

Доказательству принципа максимума для уравнений псевдопараболического типа посвящена работа Е. Di Benedetto и M. Pierre [70]. Исследованию псевдопараболических уравнений методами функций комплексного переменного посвящены работы Н. Begehr и D. Q. Dai [71, 72]. Отметим также, что исследованиям задач для квазилинейных уравнений типа Соболева посвящены работы С. Г. Пяткова [73] и С. Guowang и W. Shu-bin [74].

Перейдем к обзору результатов и методов доказательства теорем о несуществовании-несуществовании и разрушении решений, применимых для уравнений псевдопараболического типа. Здесь необходимо пояснить, что понимается под термином «разрушение решения». Под этим термином мы понимаем существование момента времени to < оо, при котором происходит выход решения эволюционной задачи из класса гладкости, которому данное решение принадлежало на интервале (0,io) (класса гладкости, для которого формулируется и доказывается теорема о локальной разрешимости). Забегая вперед, отметим, что во всех рассмотренных в диссертации задачах для нелинейных уравнений разрушение решения сопровождается обращением нормы последнего в бесконечность (в том пространстве, где мы ищем решение), однако такое поведения решения при t —> ¿-о вовсе не является обязательным в самом понятии «разрушение». В монографии М. О. Корпусова, А. Г. Свешникова, А. Б. Альшина и Ю. Д. Плетнера [75] было показано, что явление разрушения решений псевдопараболических уравнений, описывающих нестационарные процессы в полупроводниковых средах, соответствует физическому процессу — пробою полупроводника.

Итак, прежде всего отметим классическую работу Фуджиты о несуществовании положительного решения для полулинейного уравнения параболического типа [76]. В данной работе, помимо доказательства разрушения, впервые был получен оптимальный результат типа теоремы существования-несуществования ограниченного решения, понимаемого в классическом смысле. В этой работе, используя известные свойства фундаментального решения оператора теплопроводности, автор вывел необходимые и достаточные условия разрушения положительного решения задачи Коши для полулинейного параболического уравнения ди. ," = А" + и dt.

В другой, также классической, работе Н. A. Levine [77] был предложен энергетический подход к исследованию вопроса о разрушении сильного и слабого обобщенного решений для достаточно больших начальных данных задачи. Эта работа посвящена исследованию глобальной во времени неразрешимости задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения вида du, ., «.

А— + Lи = ¥-(и), n (0) = it0,.

CLL где существенно использовалось то, что операторы, А и L — линейные, положительно определенные и самосопряженные, а оператор F («) (вообще говоря, нелинейный) имеет симметричную производную Фреше.

В работе Н. Amann Н. и М. Fila [79] была предложена новая задача, для которой удалось получить оптимальный результат Фуджиты.

Широкий спектр результатов по исследованию неограниченных решений был получен в работе А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова и.

A. П. Михайлова [80]. В данной монографии исследуются вопросы разрушения решений квазилинейных параболических уравнений. Причем в ходе изучения указанных вопросов используется самая разнообразная техника. Для одних задач применяются признаки сравнения с помощью которых, а также верхних и нижних решений доказываются теоремы существования-несуществования. Для других задач применяется метод неограниченных коэффициентов Фурье. Получены достаточные условия разрушения решений классов квазилинейных уравнений параболического типа. Заметим, что методика развитая для доказательства разрушения решений параболических уравнений может быть применена и при исследовании вопросов разрушения для псевдопараболических уравнений. Отметим также работы В. А. Галактионова [81] - [83].

Кроме того, интересные результаты по получению оценок сверху и снизу для скорости разрушения решения были достигнуты в работе J. D. Rossi [84].

Метод доказательства несуществования решения некоторых классов краевых задач, основанный на использовании принципа максимума развит в работах Ю. В. Егорова,.

B. А. Кондратьева [85, 86].

Принципиально новый подход, называемый методом пробных функций, предложен в работах С. И. Похожаева и Э. Митидиери [87]. В этой работе в законченном виде был предложен общий метод исследования дифференциальных неравенств в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов.

При этом оказалось, что с точки зрения доказательства разрушения нет никакой разницы в типе дифференциального неравенства в частных производных. Отметим, что по всей видимости разработанная методика может быть применена к исследованию псевдопараболических неравенств в неограниченных областях. Отметим также работы С. И. Похожаева [88, 89], в которых рассматрвались вопросы разрушения решений дифференциальных неравенств в частных производных, и работу Г. Г. Лаптева [90].

Вопросам разрушения решений уравнений псевдопараболического типа, помимо уже цитированных работ Н. А. Ьеуте [77, 78] (а также [91] - [97]) и А. И. Кожанова [68], посвящены публикации [98] - [102] группы китайских математиков, в которых исследовались вопросы разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной во времени.

Вопросами разрешимости задач для уравнений с двойными нелинейностями посвящены работы [103] - [110]. Причем в работе [110] был рассмотрен случай нелинейного эллиптического оператора при производной во времени, в частности, такое дважды нелинейное уравнение л (сМ|Уи|р-2Уи)) — Д (|Ди|*Ди) = 0. с/с.

Техника доказательства локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле дважды нелинейных псевдопараболических уравнений, используемая в данной диссертации, близка к технике работы [110].

Наконец, значительный прогресс в исследовании вопросов разрешимости и разрушения решений нелинейных псевдопараболических уравнений, по мнению автора данной диссертации, был достигнут в работах М. О. Корпусова и А. Г. Свешникова [111] - [118] (см. также упомянутую монографию [75]). В указанных работах, помимо разнообразных результатов для конкретных уравнений, получены важные результаты общего характера. Именно, рассмотрены пять классов псевдопараболических уравнений: первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации, второй — сильно нелинейные уравнения с источниками и линейной диссипацией, третий — сильно нелинейные уравнения с источником и нелинейной диссипацией, четвертый — волновые сильно нелинейные уравнения с источником, пятый '— волновые диссипативные сильно нелинейные уравнения с источником. При этом все смешанные краевые задачи для данных сильно нелинейных уравнений сводятся к задачам Коши для дифференциальных уравнений с нелинейными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Для поставленных задач доказаны теоремы о локальной разрешимости в сильном обобщенном и слабом обобщенном смыслах, достаточных, а также необходимых и достаточных условиях разрушения обобщенных решений за конечное время, получены оценки на время и скорость разрушения. Отметим, что техника доказательства несуществования глобальных во времени решений абстрактных задач в [111] - [118] является развитием энергетического метода Н. А. Levine. Подход Н. А. Levine обобщен в следующих направлениях: во-первых, рассмотрен случай нелинейного оператора, А и оператора В более общего вида, чем в работах H.A. Levine, и получены двусторонние оценки времени разрушения, во-вторых, в случае линейного оператора, А получены оптимальные двусторонние оценки не только времени, но и скорости разрушения. В работе [75] показано, что к расмотренным классам относится весьма обширный круг модельных уравнений из физики полупроводников, магнитной гидродинамики, нелинейных гравитационных волн и т. п. Следует отметить, что техника доказательства локальной разрешимости и разрушения обобщенных решений (метод энергетических неравенств), примененная в настоящей работе, во многом сходна с техникой, развитой в работах [111] - [118] и [75]. Вместе с тем, нелинейные задачи, рассмотренные в настоящей работе, не сводятся ни к одной из пяти абстрактных задач Коши, изученных в указанных работах.

Перейдем к краткому описанию данной диссертационной работы.

Диссертация посвящена развитию методов доказательства разрешимости смешанных краевых задач для линейных и нелинейных псевдопараболических уравнений, проистекающих из конкретных задач физики полупроводников и гидродинамики, в классическом, сильном обобщенном, или слабом обобщенном смысле, и вопросам о разрушении обобщенных решений нелинейных уравнений за конечное время.

По результатам диссертации опубликовано 3 работы [119] - [121] (на момент подачи всех публикаций в печать автор носил фамилию Чубенко).

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 86 страниц, включая список литературы, содержащий 135 работ.

Заключение

.

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Доказано существование классического решения внутренней и внешней смешанных краевых задач для одного линейного псевдопараболического уравнения в постановке с ненулевыми начальным и граничным условиями.

2. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, найдены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи для нелинейного нелокального уравнения типа Соболева и получена двусторонняя оценка на время разрушения.

3. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, получены достаточные условия разрушения решения задачи для системы нелинейных уравнений типа Соболева и двусторонняя оценка на время разрушения.

4. Доказана локальная разрешимосгь задачи для обобщенного уравнения Буссинеска в постановке с нелинейным граничным условием Неймана, получены достаточные условия разрушения слабого обобщенного решения за конечный промежуток времени и двусторонняя оценка на время разрушения.