Решение некоторых сингулярных задач математической теории дифракции методами Фурье и потенциалов

Явлением дифракции (от лат. — «??//гас^ив» — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теории дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [37], [40]).

В приложениях также могут возникать задачи дифракции для уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя, которые в дальнейшем и назовем сингулярными задачами дифракции. Например, осесиммет-рическая задача дифракции является частным случаем сингулярных задач дифракции.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными аналогами интегральных уравнений типа свертки. Подробный обзор работ по поводу интегральных уравнений типа свертки и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений дан в монографии [10].

Краевые задачи как для эллиптических уравнений, так и для эллиптических уравнений с оператором Бесселя могут ставиться также в неограниченных областях. Однако в этом случае для обеспечения единственности решения, кроме условий на границе области необходимо задавать еще некоторые условия на бесконечности. Эти условия, называемые «условиями излучения», для уравнения Гельмгольца впервые были найдены А. Зоммерфельдом [55].

Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе [18]. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом изучения в работах большого круга авторов [7, 8, 1, 23, 52, 53] и других. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. Впервые теорема единственности решения сингулярной задачи дифракции для бесконечных областей с границей, простирающейся в бесконечность, была доказана Ф. Г. Мухлисовым [26].

Среди методов решения краевых задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя серьезного внимания заслуживает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений. Поверхностные потенциалы, построенные Н. Раджабовым [33], оказались достаточными при полном исследовании основных краевых задач для сингулярного уравнения ВХри = 0, (0.1) где Ах> = ^ — лапласиан, ВХр = ^ + ^^ — оператор Бесселя, з V р р при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть гиперповерхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [21, 28, 29, 30, 31, 32], хорошо известны. Впервые Ф. Г. Мухлисову метод потенциалов удалось применить к решению сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на конечной границе раздела областей. В работе [26] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих сингулярную задачу дифракции к регулярной системе интегральных уравнений.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов Ф. Г. Мухлисова на другие задачи математической теории дифракции. Здесь доказываются теоремы единственности решений сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела областей, а также с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей нехарактеристической границей. При решении сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и бесконечных границах раздела областей применяются методы Фурье и потенциалов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Авазашвили Д. 3. Пространственная задача дифракции для электромагнитных колебаний / Д. 3. Авазашвили // Сообщения АН Грузинской ССР. — 1953. — N 14. — С. 321−328.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 294 с.

3. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 295 с.

4. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 161 с.

6. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации / Л. А. Вайнштейн. — М.: Сов. радио, 1966. — 430 с.

7. Векуа И. Н. О метагармонических функциях / И. Н. Векуа // Труды Тбилисского матем. ин-та АН Грузинской ССР. — 1943. — N 12. С. 105−174.

8. Векуа И. Н. О доказательстве некоторых теорем единственности, встречающихся в теории установившихся колебаний / И. Н. Векуа // ДАН СССР. Т. 80, N 3(1951). — С. 341−343.

9. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

10. Гахов Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский.М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 296 с.

11. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

12. Денисова М. Ю. Решение основной краевой задачи для В бигар-монического уравнения методом потенциалов / М. Ю. Денисова // Известия вузов. Математика. — 2001. — N 8(471). — С. 79−81.

13. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 752 с.

14. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико гиперболического типа / И. Л. Кароль // Математический сборник — 1956. — Т. 38(80), N 3. 0. 261 — 282.

15. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // ДАН СССР. 1951. — Т. 77, N2.-0. 181 — 183.

16. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И. А. Киприянов // Дифференциальные уравнения.- 1971. Т. 7, N И. — С. 2066;2077.

17. Киприянов И. А. Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. Н. Кононенко // Дифференциальные уравнения. — 1967. — Т. 3, N 1. — С. 114−129.

18. Купрадзе В. Д. О принципе излучения А. Зоммерфельда / В. Д. Купрадзе // ДАН СССР. 1934. — N 2. — С. 1−7.

19. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов университетов и вузов / Л. Д. Кудрявцев. В 3 т. — Т. 3. — 2-е изд., перераб. и доп. —М.: Высш. школа, 1989. — 352 е., ил.

20. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. М.: Наука, 1966. — 513 с.

21. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям /Я. Б. Лопатинский // Укр. математический журнал. — 1953. — Т. 5, N 2. — С. 123−151.

22. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы / Л. Н. Ляхов // Дифференциальные уравнения. 1985. — Т. 21, N6.-0. 1020−1032.

23. Мецхваришвили Я. Г. О некоторых свойствах регулярных решений колебательного уравнения / Я. Г. Мецхваришвили // Труды Тбилисского ун-та (А). N 26(1945). — С. 13−22.

24. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных: учеб. пособие для вузов / С. Г. Михлин. — М.: Высш. школа, 1977. — 431 е., ил.

25. Мухлисов Ф. Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных эллиптических уравнений / Ф. Г. Мухлисов // Сибирский математический журнал. — 1990. — Т. 31, N 5. С. 79−91.

26. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений // Дис.. д-ра физ.-мат. наук / Ф. Г. Мухлисов. — Казань, 1993. — 324 с.

27. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка / О. И. Панич // Математический сборник. — 1960. Т. 50, N 3. 0. 335−368.

28. Панич О. И. Эквивалентная регуляризация краевых задач с помощью потенциалов / О. И. Панич // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 184, N 3. 0. 554−557.

29. Панич О. И. О потенциальных представлениях решений краевых задач, приводящих к сопряженным псевдодифференциальным уравнениям на границе области / О. И. Панич // Краевые задачи для уравнений в частных производных. — Киев, 1979. — С. 88−92.

30. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1966. — 292 с.

31. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1964. — 206 с.

32. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

33. Солимено С. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения: пер. с англ. / С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто. М.: Мир, 1989. — 664 е., ил.

34. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. М.: Наука, 1979. — 416 с.

35. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды / М. В. Федорюк.М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 544 с.

36. Хенл X. Теория дифракции: пер. с нем. / X. Хенл, Ф. Мауэ, К. Вестпфальпод ред. Г. Д. Малюжинца. — М.: Мир, 1964. — 428 с.

37. Хусаинова Э. Д. Решение одной сингулярной задачи дифракции методом потенциалов / Э. Д. Хусаинова // Труды одиннадц. меж-вуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». — Ч. 3. СамГТУ, ИАР. — Самара, 2001. — С. 129−132.

38. Хусаинова Э. Д. О некоторых сингулярных задачах дифракций с общей границей / Э. Д. Хусаинова // Известия вузов. Математика. 2002. — N 9(484). — С. 75−78.

39. Чернокожин Е. В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границейЕ. В. Чернокожин, Ю. В. Шестопалов // Дифференциальные уравнения. 1998, — Т. 34, N 4. — С. 546−553.

40. Янке Е. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы) / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. — М.: Наука, 1968. — 344 е., ил.

41. Freudenthal Н. Uber ein Beugungsproblem aus der electromagnetischen Lichttheorie / H. Freudenthal // Compositio Math. 1938. — N 6. — S. 221−227.

42. Magenes E. Sulla teorieadel Potenziale / E. Magenes // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1955. — N 24. — P. 510−522.

43. Reilich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungen von AU + XU = 0 in unendlichen Gebieten / F. Reilich //1 Ber. Deutsch. Math. Verein. 1943. — N 53. — S. 57−65.

44. Sommerfeld A. Die Greensche Funktion der Schwingungleichung / A. Sommerfeld // Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 1912. — Bd 21, S. 309−353.