Когомологии пространства свободных петель односвязных 4-многообразий

Рассмотрим замкнутое односвязное многообразие X. Через Xs1 обозначим пространство свободных петель над X, т. е. пространство непрерывных отображений стандартной окружности S1 = {2- Е С, = 1} в X. Это пространство может быть представлено также в виде расслоения Xs X, где QX — пространство петель с отмеченной тонкой. Работа посвящена вычислению когомологий пространства Xs1 с рациональными коэффициентами в том случае, если X — произвольное односвязное 4-миогообразие.

Свойства пространства Xsi в настоящий момент активно изучаются. В частности, интерес вызывает изучение некоторых алгебраических структур, таких как произведение петель (loop product), структуры когомологий Хохшильда, структуры алгебры Баталина-Вилковиского. Более подробный обзор можно найти в работах [17j, [18] и [19].

Одним из направлений в изучении свойств пространства Xs1 является задача вычисления когомологий H*(Xsl]). Результаты вычислений H*(Xsl) известны для X = Sn, для X = СРп [24]. Мы также считаем известными когомологии H*(Xsl) для тех односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти 62 меньше или равно двум, так как они могут быть получены из работ [20, 24]..

В нашей работе мы вычисляем H*(Xsl, Q) для односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти 62 больше двух. Сложность данной задачи, как будет видно из дальнейшего, заключается в том, что для рассматриваемого случая размерности пространств Hn (Xsi, Q) растут экспоненциально вместе с п..

По видимому, наиболее мощным аппаратом для решения данной задачи, является метод минимальных моделей, который был разработан Салливаном [21] и применен к пространству свободных петель для общего случая в работах [21, 22, 23]..

Напомним, что минимальной моделью односвязного пространствах называется свободная градуированная коммутативная алгебра АV над <0> с дифференциалом с/, обладающая рядом свойств. Точное определение мы дадим в главе 1, а пока отметим, что минимальная модель X единственна в естественном смысле, причем ее когомологии Н*(АУ, в) совпадают с Н*(Х, 0). Напомним, что здесь V — ф V- — градуированг>0 ное векторное пространство, а АV — свободная градуированная коммутативная алгебра, порожденная V, т. е. тензорное произведение кольца многочленов от образующих четной размерностей и внешней алгебры от образующих нечетной размерности..

Для рассматриваемого класса пространств X некоторые свойства минимальной модели установлены в работах [27] и [26]. В частности, вычислены размерности пространств Уг (мы приведем соответствующие результаты в главе 1), найдено описание пространства К в виде градуированной алгебры Ли, а также установлены важные свойства дифференциала минимальной модели..

Кроме того, в работах[21, 22, 23] приводится явный метод построения минимальной модели пространства расслоениях54 X по минимальной модели X..

Эти результаты позволяют построить минимальную модель пространства свободных петель над односвязным 4-многообразием. Размерности пространств минимальной модели в каждой градуировке можно получить из результатов [27] и [28], а дифференциал задавать в каждой градуировке последовательно с помощью некоего рекуррентного правила, выводимого из результатов работы [26]..

Это означает, что при вычислении когомологий Н* (Х^) как когомо-логий минимальной модели возникают дополнительные сложности. В частности, для односвязных 4-многообразий лишь при 62 = 0,1,2 минимальная модель Хь1 имеет конечное число мультипликативных образующих и тогда соответствующие вычисления Н* (Х5*) несложно провести в явном виде. Однако уже при Ь2 > 2 число образующих минимальной модели в размерности п растет экспоненциально по п [26], поэтому непосредственное применение упомянутых результатов не позволяет эффективно вычислять.

Результаты настоящей работы позволяют вычислить когомологии для односвязных 4-многообразий в случае 62 > 2 в явном виде, т. е. в виде явной формулы, зависящей от 62 и п..

Содержание диссертации:.

В главе 1 приведены основные определения и предварительные сведения из теории минимальных моделей. С использованием известных результатов работ [27, 26, 21] описывается минимальная модель пространства свободных петель одиосвязного 4-многообразия..

Также в главе 1 приводится конструкция спектральной последовательности в минимальной модели пространствах51 по некоторой специальной фильтрации Рп. В дальнейшем мы будем называть ее спектральной последовательностью минимальной модели Исследованы свойства этой спектральной последовательности для односвязных 4-многообразий. Получены следующие результаты:.

• Приведено разложение минимальной модели расслоения видаХ5 — X для коформальных пространств X в прямую сумму. (Следствие 1).

• Доказана теорема о том, что в спектральной последовательности минимальной модели выполнено тождество d^ — 0, в том случае если X — односвязное 4-многообразие, > 2 (Теорема 7).

В главе 2 показывается, что рассматриваемая в главе 1 конструкция спектральной последовательности минимальнои модели X допускает обобщение до спектральной последовательности минимальной модели произвольного расслоения Серра. Новым результатом является теорема 21, которая доказывает, что такая спектральная последовательность совпадает, начиная с члена i?2, с классической последовательностью Лере-Серра..

В главе 3 мы исследуем связь спектральной последовательности минимальной модели Xs1 с геометрией расслоения. В главе 3 показано, что для произвольного односвязного многообразиях, где dimX = п, фильтрация F* классической спектральной последовательности Jlepe расслоения удовлетворяет условию Ann Fn = Кег i*, где /* — отображение пересечения со слоем. В этой же главе показано, что данный результат р верен для произвольных расслоений Серра тг: Е —> X над односвяз-ными многообразиями..

Этот результат позволяет при известном Im I* делать выводы о изучаемой спектральной последовательности. Результаты работы [23] позволяют вычислять Im /* через центр алгебры когомологий Н*{?1Х) относительно умножения Понтрягина. Для односвязного 4-многообразия X центр Z (H*(ttX)) можно вычислить. Вычисление Z (H*(QX)) является самостоятельным нетривиальным результатом и вынесено в главу 4..

Два этих результата позволяют получить соотношение для четвертого столбца изучаемой спектральной последовательности = Q..

Глава 5 объединяет результаты глав 1−3 для вычисления Основным результатом главы 5 является формула, выражающая ряд Гильберта Н*(Хчерез размерности пространств минимальной модели ЛV многообразия X. Результаты вычислений для некоторых конкретных 62 и п приведены в приложении..

1 Минимальная модель xs1 для односвязного 4-много-образия.

1. A.K. Bousfield, V. Gugenheim On PL de Rharri theory and rational homotopy type — Mem. Amer. Math. Soc, 179 (1976), No. 8.

2. J. Neisendorfer Lie algebras, coalgebras and rational homotopy theory for nilpotent spaces — Pacific Journal of Mathematics, Vol. 74 No. 2 (1978), 429−460.

3. P. Deligne, P. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan Real homotopy theory of Kahler manifolds— Inventiones Mathematicae, 29 (1975), 245−274.

4. Ф. Гриффите, Дж. Харрис Принципы алгебраической геометрии — Москва, Мир, 19829J Ботт Р., Ту JI.B. Дифференциальные формы в алгебраической топологии — Москва, Наука, 1989.

5. А. Фоменко, Д. Фукс, Курс гомотопической топологии. — Москва, Наука, 1989.

6. McCleary J. A User’s Guide to spectral sequences — Cambridge Univesity press, 2001.

7. Barnes D.W. Spectral sequence constructors in algebra and topology. — Merri. Amer. Math. Soc., 1985, 53, no. 317.

8. Vick J.W. Homology Theory. — Academic Press, 1973.

9. M. Chas, D. Sullivan String topology — preprint, arXiv: math/991 1159vl, January 2004.

10. D. Sullivan String topology: background and present state, preprint, AT/0710.4141, October 2007.

11. K. Kuribayashi, T. Yamaguchi The cohomology algebra of certain free loop spaces Fund. Math, 154 (1997), 57−73.

12. M. Vigue-Poirrier, D. Sullivan The homology theory of the closed geodesic problem— J. Differential Geom. Vol. 11, N 4, 1976, 633−644.

13. M. Vigue-Poirrier, D. Burghelea, A model for cyclic homology and algebraic K-theory of 1-connected topological spaces — J. Differential Geom. Vol. 22, N 2, 1985, 243−253.

14. I. Babenko, On real homotopy properties of complete intersections. — Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 43 (1979), 1004−1024.

15. И. Бабенко Об аналитических свойствах рядов Пуанкаре пространства петель — Матем. заметки, т. 26, No. 6 (1979).

16. Е. Witt, Treue Darstellung Liescher Ringe, J. Reine Angew. Math., 177, No. 3 (1937), 152−160.

17. J. Neisendorfer, T.J. Miller Formal and Coformal spaces — Illinois.J. Math, 22 (1978), 565−580.

18. J. Milnor, J.C. Moore, On the structure of Hopf algebras, — Annals of Math. 81 (1965), 211−264.

19. H. Samelson A connection between the Whitehead and the Pontryagin product — American Journal of Mathematics, Vol. 75, No. 4 (Oct., 1953), 744−752.

20. L.A. Bokut, A.A. Klein Serre relations and Groebner-Shirshov bases for simple Lie algebras. — International J. Algebra Comput. Vol. 6 (1996), 389−400, 401−412.

21. L.A. Bokut Unsolvability of the equality problem and, subalgebras of finitely presented Lie algebras. — Russian Acad. Science Izv. Math. Vol. 6 (1972), 1153−1199.

22. L. Bokut, S.J. Kang, K.H. Lee, P. Malcomson Groebner-Shirshov bases for Lie superalgebras and their universal enveloping Algebras— Journal of Algebra, Vol. 217, 2, 1999, 461−495.

23. Онищенко А. Понеленский Ф. Об эквивалентности некоторых спектральных последовательностей расслоения. Спектральная последовательность Лере в дифференциальных формах и в минимальной модели. — Мат. Сборник, 2011, No. 4, 85−110.

24. Онищенко А. О центре алгебры рациональных когомологий некоторых пространств петель относительно умножения Понтрягина. — Вестник Московского Университета, 2008, No. 2, 28−33.

25. Онищенко А. Понеленский Ф. Вычисление когомологий Хохшиль-да односвязных четырехмерных многообразий. — Деп. в ВИНИТИ РАН, 09.07.10 N429-B2010.