Малые централизаторы в группах и кольцах Ли

Общая характеристика работы.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Теория нилыготентных групп — одна из старейших областей теории групп. В определенном смысле ее начало положено в работе Силова 1872 года [97] (которая также содержит знаменитую теорему Силова), где было доказано, что конечная группа порядка рк обладает центральным рядом с циклическими факторами простого порядка р. Бернсайд в своей книге [40] (1911) показал, что конечная группа обладает центральным рядом тогда и только тогда, когда она является прямым произведением р-групп. В 30-х годах XX века было замечено, что группы, обладающие центральным рядом (позднее они были названы нильпотентными), тесно связаны с линейными группами Ли, чьи алгебры Ли состоят из нильпотент-ных матриц. В группах Ли операции коммутирования соответствует умножение в алгебре Ли, поэтому нильпотентиому кольцу, т. е. кольцу, в котором произведение данного числа любых элементов равно нулю.

XI. .. Хц — 0, соответствует группа, которая удовлетворяет тождеству хьх2],., хп] = 1. (1).

По этой причине термин «нильпотеитная» закрепился и за группами с тождеством (1).

После того, как в 30-х годах понятие абстрактной алгебры Ли выделилось из теории групп Ли в самостоятельный объект, методы колец Ли стали активно применяться для изучения произвольных нильпотентных групп. Первыми, кто заметил, что на прямой сумме факторов ф" =1 нижнего центрального ряда пильпотентной группы й можно задать структуру кольца Ли были Магнус [77,78] и Витт [105]. При этом сложению в кольце Ли соответствует умножение в группе, а лиевскому умножению — коммутирование в группе.

Чуть позже в 1949 г. Мальцев [18] по аналогии с использованием экспоненциального отображения в группах Ли нашел еще один метод задаиия структуры алгебры Ли на нильпотентной группе, основанный на формуле Кемпбелла-Бейкера-Хаусдорфа. В основе этого соответствия лежат формальные тождества, устанавливающие связь между умножением и коммутированием в полных нильпотентных группах без кручения, с одной стороны, и сложением и умножением в алгебрах Ли — с другой.

Замечательным примером того, насколько эффективно работают методы колец Ли в теории нильпотентных групп является история решения знаменитой ослабленной проблемы Бернсайда. Само возникновение вопроса о существовании универсальной конечной ¿—порожденной группы данного периода т, гомоморфными образами которой являются все конечные ¿—порожденные группы периода ш, названного Магнусом в [79] ослабленной проблемой Бернсайда (ОПБ), во многом обязано развитию новых линейных методов и желанием продвинуться вперед в той области, где эти методы эффективно работают. После того как Магнусом [79] (1950) и Сановым [22] (1952) для групп простого периода р была получена редукция теоретико-групповой задачи к вопросу о локальной нильпотентности (р — 1)-энгелевой алгебры Ли над полем простой характеристики р, Кострикин [7, 8] (1958) решил ОПБ в этом частном случае. Решение Зельмановым [3−5] ОПБ для групп показателя рк также включает редукцию к алгебрам Ли.

Другая важная область, где эффективно работают линейные методы, — конечные р-группы (и про-р-группы) данного кокласса с, т. е. группы порядка рп ступени нильпотентности п — с (Донкин, Лидхэм-Грин, Маккэй, Манн, Шалев, Зельманов и другие [42,68−72,76,80,81,92,93]).

В настоящей диссертации линейные методы применяются к исследованию групп с почти регулярными автоморфизмами. Полученные результаты объединяет общая тема — малые централизаторы в группах и кольцах Ли. В более общем контексте отметим, что наложение ограничений на централизаторы — одно из самых плодотворных и интересных направлений во всех разделах как теории групп так и колец Ли. Отметим лишь некоторые результаты: теорема Брауэра-Фаулера о конечных группах с почти регулярной инволюцией, лежащая в основе классификации простых конечных групп [39]- теорема Томпсона о нильпотентности конечной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка [98]- теорема Шункова о локальной конечности периодической группы с конечным централизатором инволюции [29]- теорема Бахтурина-Зайцева-Линченко о существовании тождества, которому удовлетворяет алгебра Ли, если некоторому тождеству удовлетворяет подалгебра неподвижных точек некоторой конечной группы автоморфизмов взаимно простого с характеристикой поля порядка [33,73].

Возвращаясь к группам, кольцам и алгебрам Ли, допускающим автоморфизмы с малыми централизаторами, напомним, что под централизатором понимается подгруппа (подалгебра, подкольцо) неподвижных точек. При этом в зависимости от объекта, выбираются разумные параметры для «измерения» централизатора. В конечных группах и кольцах Ли — это порядокв бесконечных нильпотентных группах — это рангв алгебрах Ли — размерность.

В предельном случае, когда нетривиальных неподвижных точек нет, автоморфизм называется регулярным. Хигмэн [55] в 1957 доказал, что ступень нильпотентности нильпотентной группы с регулярным автоморфизмом простого порядка ограничена некоторой функцией h (p), зависящей только от р. Крекпии и Костри-кин [9,10] в 1963 г. нашли новое доказательство теоремы Хигмэна, дающее явную оценку для функции h (p). Фактически, теоремы Хигмэна, Крекнина и Костри-кина — это некие комбинаторные факты о (й/п2)-градуированных кольцах Ли с тривиальной нуль-компонентой, из которых теоретико-групповые следствия вытекают в силу того, что ступень нильпотентности присоединенного кольца Ли нильпотентной группы совпадает со ступенью нильпотентности группы.

Что касается регулярных автоморфизмов произвольного конечного порядка, то Крекнин [10,11] (1963) также доказал, что кольцо Ли с регулярным автоморфизмом произвольного конечного порядка п разрешимо ступени ^ 2″ — 2.

Ранее Борель и Мостов [38] доказали разрешимость в конечномерном случае без оценки ступени разрешимости.) В группах ситуация намного сложнее. В отличие от колец Ли, для групп необходимы определенные дополнительные ограничения: например, свободная 2-порожденная группа допускает регулярный автоморфизм порядка 2, переставляющий образующие. Вопрос заключается в том, справедлив ли аналог теоремы Крекнина для конечных (или нильпотентных) групп: ограничена ли в терминах п ступень разрешимости конечной (или ниль-потентной) группы с регулярным автоморфизмом конечного (взаимно простого) порядка п? В многочисленных работах этот вопрос (так же, как и более общие вопросы о почти регулярных автоморфизмах или даже группах автоморфизмов) для локально конечных групп уже сведен к случаю конечных нильпотентных групп (см., например, [43,50,51,53,85,99,101]). Тем не менее, для нильпотентных групп аналог теоремы Крекнина пока доказан только в случае автоморфизма простого порядка (теорема Хигмэна-Крекнина-Кострикила), автоморфизма порядка 4 (теорема Ковача [67]) и групп без кручения (для которых результат непосредственно вытекает из теоремы Крекнина в силу соответствия Мальцева). Причиной трудностей для нильпотентных конечных групп является плохое соответствие между ступенью разрешимости присоединенного кольца Ли и самой группы: линейная задача о кольцах Ли является более грубой.

Естественно ожидать, что свойства групп или колец Ли, допускающих автоморфизмы с малым числом неподвижных точек, должны быть «близки» к случаю регулярного автоморфизма. Для колец (алгебр) Ли долгое время стояла проблема обобщения теоремы Бореля—Мостова—Крекнина. Решение этой проблемы — один из основных результатов диссертации. Именно, в совместных работах с Е. И. Хух-ро [111−113] доказана почти разрешимость алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом произвольного конечного порядка. Как и в теореме Крекнина доказательство сводится к рассмотрению (2/п2)-градуированной алгебры Ли Ь = Ь{. Но если в теореме Крекнина нуль-компонента Ь0 тривиальна, то в данном случае она имеет конечную размерность т.

Градуированные алгебры и кольца Ли возникают также во многих других задачах о группах и кольцах Ли. В некоторых случаях может оказаться, что почти все однородные компоненты (2/п2)-градуированной алгебры (кольца) Ли тривиальны и требуется получить оценки в терминах числа нетривиальных компонент, не зависящие от самой градуировки (т.е. числа п). Так, Шалев [90], используя (2/пй)-градуированные кольца Ли с малым числом нетривиальных компонент, доказал, что конечная группа ранга г с автоморфизмом, имеющим ровно то неподвижных точек, обладает разрешимой подгруппой (г, т)-ограни-ченного индекса. Доказательство этого результата использует следующий аналог теоремы Крекнина: если Ь = ф"¹ Ь^ — (2/п2)-градуированное кольцо Ли с малым числом (I нетривиальных компонент Li и Ьа = 0, то Ь разрешимо ступени ^ 2^ — 2. Автором диссертации получено обобщение этой теоремы на случай Ьо = т, что позволило усилить иедавний результат Хухро и Шумяцкого [66] об алгебрах Ли с нильпотентной алгеброй дифференцирований.

Как уже отмечалось, изучение конечных групп с почти регулярными автоморфизмами во многих случаях уже сведено к нильпотентным группам. Из классификации конечных простых групп вытекает (почти) разрешимость конечной группы с (почти) регулярной группой автоморфизмов взаимно простого порядка. Для разрешимых групп в ряде работ, инициированных работой Томпсона [99], на основе «немодулярных» теорем типа Холла-Хигмэна получены ограничения нильпотентной длины (почти всей) такой группынапример, близкие к неулучшаемым оценки получены в [51,101]. Отметим также теорему Хартли-Ту-рау [54] для циклической группы автоморфизмов порядка рп с точной оценкой.

В нильпотентных группах, допускающих автоморфизмы с малым централизатором, самым «благополучным» является случай нильпотентных (или конечных) р-групп с почти регулярным автоморфизмом порядка рп, где теоремы о регулярных автоморфизмах колец Ли позволили получить в некотором смысле исчерпывающие результаты [24,30,61,83,84,91,109]. В случае автоморфизма ко-простого порядка Е. И. Хухро [25] доказал, что конечная нильпотептная д-груп-па, допускающая автоморфизм <р простого порядка р с малым числом неподвижных точек ]Со{<�р) = ?{<7 € С | д* = д} = дт, почти нильпотентна, т. е. существует нормальная подгруппа Н<�зС ступени нильпотентности, ограниченной в терминах р, и индекса, ограниченного в терминах д, т и р. Значительная часть доказательства этой теоремы — о кольцах Ли с почти регулярным автоморфизмом простого порядка. Однако в отличие от регулярных автоморфизмов, групповой результат — далеко не очевидное следствие теоремы о кольцах Ли. Обратный переход от колец Ли к группам занимает больше половины доказательства. Причина заключается в том, что нет хорошего соответствия между подкольцами в присоединенном кольце Ли группы и подгруппами в самой группе.

Подобные трудности встречаются также при переходе от кольцевых результатов к группам с почти регулярным автоморфизмом порядка 4. Несмотря на наличие кольцевого обобщения упоминавшейся выше теоремы Ковача на случай малого числа неподвижных точек, не удавалось осуществить обратный переход к группам. Это сделано лишь совсем недавно с применением новой оригинальной техники в совместной работе автора диссертации и Е. И. Хухро [115].

Наконец, следует упомянуть методы, которые используются при исследовании нильпотентных групп и колец Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами. Основным здесь является метод градуированных централизаторов, созданный первоначально Е. И. Хухро для почти регулярных автоморфизмов простого порядка [25]. Суть в том, чтобы построить некоторое отображение (лучше, если это будет гомоморфизм) в малый централизатор и применить теорему о гомоморфизмах (или некий ее аналог), чтобы получить подгруппу или подпространство с малым фактором. Исторически одним из первых примеров доказательства такого сорта является теорема Ф. Холла [48] о том, что порядок факторгруппы произвольной группы С? по (2к)-му члену верхнего центрального ряда зависит только от к и порядка (к+1)-го члена нижнего центрального ряда группы С. Автором диссертации получен ранговый аналог этой теоремы для конечных нильпотентных групп [108].

Основные результаты диссертации.

1. Доказана почти разрешимость алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом конечного порядка. А именно, доказано, что если алгебра Ли допускает автоморфизм конечного порядка п с подалгеброй неподвижных точек размерности т, то Ь обладает разрешимым идеалом коразмерности, ограниченной в терминах т и п, и ступени разрешимости, ограниченной в терминах п.

В качестве следствия получен аналогичный результат для локально нильпотент-ных групп без кручения: если локально нильпотентная группа без кручения допускает автоморфизм конечного порядка п с подгруппой неподвижных точек конечного ранга г, то группа обладает нормальной разрешимой подгруппой, ко-ранг которой ограничен в терминах г и п, а ступень разрешимости ограничена в терминах п.

Эти результаты были получены автором диссертации совместно с Е. И. Хухро.

2. Доказано существование нильпотептпого идеала с оценками на коразмерность и ступень нильпотентности в алгебре (кольце) Ли с почти регулярным автоморфизмом простого порядка р. (Это усиливает заключение в теореме Е. И. Хухро [25], где было установлено существование лишь подалгебры с аналогичными свойствами).

3. Доказана теорема о (й/пй)-градуированных алгебрах Ли с малым числом нетривиальных однородных компонент и конечномерной нуль-компонентой: если в (2/^)-градуировашюй алгебре Ли Ь = Ь0 © 1а © ••• ® нуль-компонента ¿-о конечномерна размерности тп, и число ненулевых компонент среди равно (1, то Ь обладает однородным разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от <1, коразмерность которого ограничена функцией от тп и д,.

4. Разработана новая оригинальная техника, позволяющая нормальные подгруппы «преобразовывать» в характеристические. Доказано, что если произвольная группа содержит с-ступепно нильпотентную подгруппу конечного индекса п, то она содержит также характеристическую с-ступенпо нильпотентную подгруппу, имеющую конечный индекс, ограниченный в терминах п и с (совместный результат с Е. И. Хухро).

5. Для конечной 2-группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4 получен неулучшаемый результат: доказана почти центрально-метабелевость такой группы.

6. Получен положительный ответ на вопрос П. Шумяцкого 11.126 из «Коуровской тетради» [20] о конечных группах с почти регулярным автоморфизмом порядка 4: доказано, что если конечная группа б допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно т неподвижных точек, то она обладает нормальной подгруппой Я, у которой индекс ограничен в терминах т, а ступень нильпотентности подгруппы [[Я, Я], Я] ограничена некоторой константой (совместный результат сЕ. И. Хухро).

7. Доказано, что ступень нильпотентности коммутанта группы с /-расщепляющим автоморфизмом порядка 4 ограничена некоторой функцией, зависящей только от ступени разрешимости группы.

8. Доказан ранговый аналог известной теоремы Холла [48]: если (к + 1)-й член нижнего центрального ряда конечной нильпотентной группы (3 имеет ранг г, то фактор-группа группы 6? по (2&-)-му члену верхнего центрального ряда имеет (к, г)-ограниченный ранг.

Таким образом, основная цель диссертации — изучение строения групп, колец и алгебр Ли, допускающих автоморфизмы с малыми централизаторами, и разработка новых методов их исследования.

Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как нильпотеитиых групп и алгебр Ли с почти регулярными автоморфизмами, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. Доказательства большинства результатов диссертации имеют комбинаторный характер. Используются вычисления в групповых кольцах, тензорных произведениях и теоремы типа Холла-Хигмэна. В доказательстве теоремы о почти разрешимости алгебр Ли с почти регулярным автоморфизмом усовершенствован метод обобщенных централизаторов и разработана новая оригинальная техника гс-элементов.

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 1998 по 2006 год были представлены на международных конференциях в Новосибирске, Санкт-Петербурге, Берлине (Германия) и Монсе (Бельгия). В частности, на международных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2005 г.) и «Методы логики в математике III» (Санкт-Петербург, 2006 г.) автором были сделаны пленарные доклады по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ «Теория групп», и «Алгебра и логика».

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в форме статей в ведущих отечественных и зарубежных журналах [107−116], а также в тезисах и трудах конференций [117−120].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из семи глав, введения и списка литературы. Она изложена на 214 страницах, библиография содержит 120 наименований.

Содержание диссертации.

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Основные результаты каждой главы (теоремы и их следствия) явным образом сформулированы в первом параграфе главы. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая номер теоремы в главе. Вспомогательные утверждения (леммы, предложения) и определения имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе.

1. ГОРЧАКОВ Ю. М., О существовании абелевых подгрупп бесконечных рангов в локально разрешимых группах, ДАН СССР, 156 (1964), 17−22.

2. ГЛУШКОВ В.М., О некоторых вопросах теории нильпотентных и локально нильпотеитных групп без кручения, Мат. Сб. 30, N 1 (1952), 79−104.

3. Зельманов Е. И., О некоторых проблемах теории групп и алгебр Ли, Матем. сборник, 180, N 2 (1989), 159−167.

4. Зельманов Е. И., Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя, Изв. АН СССР, сер. матем., 54, N 1 (1990), 42−59.

5. Зельманов Е. И., Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп, Матем. сборник, 182, N 4 (1991), 568−592.6. каргаполовм.и., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., Наука, 1982.

6. Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда, ДАН СССР 118, N 6 (1958), 1074−1077.

7. Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР, сер. матем., 23, N 1 (1959), 3−34.

8. Крекнин В. А., Кострикин А. И., Алгебры Ли с регулярными автоморфизмами, ДАН СССР, 149 (1963), 249−251.

9. Крекнин В. А., Разрешимость алгебр Ли с регулярными автоморфизмами конечного периода, ДАН СССР, 150 (1963), 467−469.

10. КРЕКНИН В. А., Разрешимость алгебр Ли с регулярным автоморфизмом, Сиб. мат. ж., 8, N 3 (1967), 715−716.

11. Макаренко Н. Ю., О почти регулярных автоморфизмах простого порядка, Сиб. матпем. ж., 33, N 5 (1992), 206−208.

12. МАКАРЕНКО Н. Ю. Конечные 2-группы, допускающие автоморфизм порядка 4 с малым числом неподвижных точек, Алгебра и логика, 32, N 4 (1993), 402— 427.

13. Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И. Большие характеристические подгруппы, удовлетворяющие полилинейным тождествам, ДАН, 412, N 5 (2007).18. мальцев А. И., Нильпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, сер. машем., 13 (1949), 201−212.

14. Мерзляков Ю. И., О локально разрешимых группах конечного ранга, Алгебра и логика, 3, N 2 (1964), 5−16.

15. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 11-е изд., Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1990.

16. ХУХРО Е. И., Конечные р-группы, допускающие автоморфизм порядка р с малым числом неподвижных точек, Матем. заметки, 38, N 5 (1985), С. 652 657.

17. ХУХРО Е. И. Кольца Ли и группы, допускающие почти регулярный автоморфизм простого порядка, Матем. сб., 181, N 9 (1990), 1207−1219.

18. ХУХРО Е. И. Конечные разрешимые и нильпотентные группы с ограничением на ранк централизатора автоморфизма конечного порядка, Сиб. Мат. журнал, 41, N 2 (2000), 451−469.

19. Шунков В. П., О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 11, N 4 (1972), 478−494.

20. Alperin J., Automorphisms of solvable groups, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 175−180.

21. Bell S. D, Hartley В., A note on fixed-point-free actions of finite groups, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 41, N 162 (1990), 127−130.

22. Berger T., Nilpotent fixed point free automorphism groups of solvable groups, Math. Z., 131 (1973), 305−312.38. borel A., Mostow G. D., On semi-simple automorphisms of Lie algebras, Ann. Math. (2), 61 (1955), 389−405.

23. Brauer R., Fowler K. A., On groups of even order, Ann. Math., V. 62, N 21 955), 565−583.40. burnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

24. Dade E., Carter subgroups and Fitting heights of finite solvable groups, Illinois J. Math., 13 (1969), 449−514.

25. Donkin S., Space groups and groups of prime power order. VIII. Pro-p-groups of finite coclass and p-adic Lie algebras, J. Algebra, 111, (1987), 316−342.

26. Fong P., On orders of finite groups and centralizes ofp-elements, Osaka J. Math., 13 (1976), 483−489.

27. Glauberman G., Large subgroups of small class in finite p-groups, J. Algebra, 272, N 1 (2004), 128−153.

28. Glauberman G., Abelian subgroups of small index in finite p-groups, J. Group Theory, 8, N 5 (2005), 539−560.46. gorenstein D., Finite groups, Harper and Row, New York, 1968.

29. Gross F. Solvable groups admitting a fixed-point-free automorphism of prime power order, Proc. Amer. Math. Soc., 17, (1966), 1440−1446.

30. Hall Ph. Finite-by-nilpotent groups, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 52,1956), 611−616.

31. P. HALL, Some sufficient conditions for, а групп to be иильпотент, III. J. Math., 2 (1959), 787−801.

32. Hartley В., A general Brauer-Fowler theorem and centralizers in locally finite groups, Pacific J. Math. 152 (1992), 101−117.

33. HARTLEY В., ISAACS I. M., On characters and fixed points of coprime operator groups, J. Algebra, 131 (1990), 342−358.

34. Hartley В., meixner T. Periodic groups in which the centralizer of an involution has bounded order, J. Algebra, 64, N 1 (1980), 285−291.

35. Hartley В., meixner Т., Finite soluble groups containing an element of prime order whose centralizer is small, Arch. Math. (Basel) 36 (1981), 211−213.

36. Hartley В., Turau V., Finite soluble groups admitting an automorphism of prime power order with few fixed points, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102 (1987), 431−441.

37. HlGMAN G., Groups and rings which have automorphisms without non-trivial fixed elements, J. London Math. Soc., 32 (1957), 321−334.

38. Huppert В., Blackburn N., Finite groups II, Springer, Berlin, 1982.

39. Jabara E., Groups admitting a 4-splitting автоморфизм Italian], Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser., 45, N 1 (1996), 84−92.58. jaber K., Groups and identities, Commun. Algebra, 30, N 5 (2002), 2387−2404.

40. Jaber K., Wagner F. O., Largeur et nilpotence. Commun. Algebra, 28, N 6 (2000), 2869−2885.

41. Jacobson N., A note on automorphisms and derivations of Lie algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), 281−283.

42. Jaikin-Zapirain A., On almost regular automorphisms of finite p-groups, Adv. Math., 153, N 2 (2000), 391−402.

43. Khukhro Е. I, Nilpotent groups and their automorphisms, De Gruyter, Berlin, 1993.63. khukhro E. I, p-Automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1999.

44. Khukhro E. I., Shumyatsky P., Lie algebras with almost constant-free derivations, J. Algebra, 306, N 2 (2006), 544−551.67. kovacs L., Groups with regular automorphisms of order four, Math. Z., 75, (1960/1961), 277−294.

45. Leedham-Green C.R., Pro-p-groups of finite coclass, J. London Math. Soc., 50,(1994), 43−48.

46. Leedham-Green C. R., The structure of finite p-groups, J. London Math. Soc., 50, (1994), 49−67.

47. Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class I, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 27, (1976), 297−311.

48. Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class II, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29, (1978), 175−186.

49. Leedham-Green C. R., McKay S., On p-groups of maximal class III, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 29, (1978), 281−299.

50. LlNCHENKO V., Identities of graded Lie algebras with actions of Hopf algebras, Comm. algebra, 25, (1997), 3179−3187.74. lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105 (1987), 484−505.

51. Magnus W., Uber Beziehungen zwischen hoheren Kommutatoren, J. Reine Angew. Math., 177 (1937), 105−115.

52. Magnus W., Uber Grupen und zugeordnete Liesche Ringe, J. Reine Angew. Math., 182 (1940), 142−149.

53. Magnus W., A connection between the Baker-Hausdorff formula and a problem of Burnside, Ann. Math., 57 (1950), 111−126.

54. McKay S., On the structure of a special class of p-groups I, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 38, (1987), 489−502.

55. Medvedev Yu., p-Divided Lie rings and p-groups, J. London Math. Soc. (2), 59 (1999), 787−798.

56. Pettet M.R., Automorphisms and Fitting factors of finite groups, J. Algebra, 72 (1981), 404−412.

57. Poizat B., Groupes stables. Villeurbanne, France: Bruno Poizat 1987.

58. D. robinson, A course in the theory of rpynns. New York: Springer-Verlag 1995.

59. SHALEV A., The structure of finite p-groups: effective proof of the coclass conjectures, Invent. Math., 115, (1994), 315−345.

60. Siialev A., Zelmanov E. I., Pro-p-groups of finite coclass, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Ill (1992), 417−421.94. schult E., On groups admitting fixed point free Abelian operator groups, Illinois J. Math., 9 (1965), 701−720.

61. Shumyatsky P., Involutory automorphisms of finite groups and their centralizers, Arch. Math. (Basel), 71 (1998), 425−432.

62. Stewart A. G. R., On the class of certain imjibnoTeirr rpynns, Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A, 292 (1966), 374−379.

63. Sylow M. L., Theoremes sur les groupes de substitution, Math. Ann., 5 (1872), 584−594.

64. Thompson J., Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A., 45 (1959), 578−581.99. thompson J., Automorphisms of solvable groups, J. Algebra, 1 (1964), 259−267.

65. TOBIN S. J., Groups with exponent four, in: Groups, Conf. St. Andrews 1981, Lond. Math. Soc. Led. Note Ser., 71 (1982), 81−136.101. turull A., Fitting height of groups and of fixed points, J. Algebra, 86 (1984), 555−566.

66. Wagner F. О., Commutator conditions and splitting automorphisms for stable rpynns, Arch. Math. Logic, 32 (1993), 223−228.

67. R. B. WARFIELD, Nilpotent groups, Lecture Notes in Math. 513, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

68. Winter D. J., On groups of automorphisms of Lie algebras, J. Algebra, 8, N 2 (1968), 131−142.

69. Макаренко Н. Ю., Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра, Сиб. Мат. Ж., 41, N 6 (2000), 1376−1380.

70. Макаренко Н. Ю., Конечные 2-группы с автоморфизмом порядка 4, Алгебра и логика, 40, N 1 (2001), 83−96.

71. Макаренко Н. Ю., ХухроЕ. И., О группах с 1-расщепляющим автоморфизмом порядка три и четыре, Алгебра и логика, 42, N 3 (2001), 293−311.

72. Kiiukhro Е. I., makarenko N. Yu., Lie rings with almost regular automorphisms, J. Algebra, 264, N 2 (2003), 641−664.

73. МАКАРЕНКО Н. Ю., Нильпотентный идеал в кольцах Ли с автоморфизмом простого порядка, Сиб. Мат. Ж., 46, N 6 (2005), 1360−1373.

74. Макаренко Н. Ю., Хухро Е. И., Конечные группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4, Алгебра и логика, 45, N 5 (2006), 575−602.

75. МАКАРЕНКО Н. Ю., Градуированные алгебры с малым числом нетривиальных компонент, Сиб. Мат. Ж., 48, N 1 (2007), 91−112.

76. Васильев А. В., ВдовинВ.П., Заварницин А. В., Макаренко Н. Ю., пожидаев А. п., Конечные группы и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых, посвященной 100-летию М. А. Лаврентьева, Математика, Новосибирск, 2000, 8−11.

77. МАКАРЕНКО Н. Ю., Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра, IV Международная алгебраическая конференция, Новосибирск, 2000, С. 111.

78. Васильева. В., ВдовинВ.П., Заварницин А. В., Макаренко Н. Ю., Теория конечных групп и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М. А. Лаврентьеву, Ч. I, Новосибирск, 2002, 16−19.