Математическое моделирование гидродинамических процессов на основе решеточных уравнений Больцмана

Актуальность темы

Математические модели вычислительной гидродинамики в настоящее время являются базой для исследования большого количества самых разнообразных природных явлений, технологических процессов и экологических проблем. Масштабы изучаемых явлений самые разнообразные: от движения воздуха вблизи нагретой солнцем пылинки до циркуляции воздуха в атмосфере, от движения жидкости в капиллярах, крови в кровеносных сосудах до океанических течений, от распространения примесей малой концентрации в замкнутых малых объемах до распространения выбросов промышленных предприятий в атмосферу и т. п. Такие задачи привели к созданию большого научного направления, называемого вычислительной гидродинамикой (англоязычная аббревиатура — CFD — Computational Fluid Dynamics), которое инициировало создание вычислительных систем высокой производительности — суперкомпьютеров.

Основой традиционных моделей вычислительной гидродинамики являются законы сохранения массы, импульса, энергии. Эти законы записываются в виде системы дифференциальных уравнений, которая адаптируется к различным прикладным задачам путем постановки соответствующих граничных и начальных условий и, если возможно, путем упрощения этих уравнений. Спецификой этих уравнений является то, что они в частных производных, нелинейные и с малым параметром при старшей производной. Технология решения этих задач на компьютерах включает в себя:

1. дискретизацию уравнений — замена дифференциальных уравнений разностными уравнениями, изучение свойств разностных схем, численное решение алгебраических систем уравнений большой размерности;

2. разработку алгоритмов, ориентированных на различные компьютеры: скалярные, многопроцессорные, векторно-конвейерные;

3. создание программ для реализации численных методов, построения сеток, визуализации результатов расчетов (компьютерная графика);

4. проведение расчетов, анализ результатов и их интерпретация.

В последнее время широко применяются схемы и подходы, основанные на кинетическом уравнении Больцмана, например: кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС), квазигазодинамические и квазигидродинамические (КГД) системы уравнений (см. Б.Н. Четверушкин[90], Ю.В. Шеретов[91], Т.Г. Елизарова[92]) и Lattice Boltzmann метод (LBM).

Кратко рассмотрим несколько различных моделей для численного решения задач гидродинамики. Различные вычислительные методы зависят от дискретизации основных уравнений, которые описывают основополагающие физические законы. Эти описания можно сделать на различных уровнях. В одном из таких подходов, руководствуются физикой на молекулярном уровне, где отслеживают большое количество «частиц», как в случае подхода Ньютона-Гамильтона, а в других подходах, описывают жидкость непосредственно в макроскопических пределах, как и в случае уравнений Навье-Стокса. Выделяют четыре основных уровня описания моделей, основанных на уравнениях: Гамильтона, Лиувилля, Больцмана и Навье-Стокса. Наиболее подробное описание, учитывающее индивидуальную динамику частиц, использует уравнения Гамильтона, затем уравнение Лиувилля, далее модель Больцмана мезоскопических взаимодействий функций распределения частиц, и, наконец, макроскопические уравнения Навье-Стокса, описывающие механику сплошных сред.

На основе выше описанных уравнений применяются соответствующие различные численные подходы: Lattice Gas, Lattice Liouville, Lattice Boltzmann и традиционные CFD методы. Первые три численных метода включают в себя более подробную информацию о физике жидкости, чем тот метод, который необходим для прогнозирования на уровне механики сплошных сред, соответствующий большинству (инженерных) приложений. Они, как правило, называются методами «снизу-вверх» и основаны на дискретизации микроскопических и мезоскопических кинетических уравнений. В каждом из этих подходов для восстановления макроскопического поведения жидкости применяется мульти-масштабное разложение (multi-scale expansion). С другой стороны в традиционных CFD методах, например в методе конечных объемов, конечных разностей и спектральном методе, для уравнения Навье-Стокса непосредственно строятся конечноразностные схемы, поэтому такие методы называются методами «сверху-вниз» .

Очевидно, что более подробную информацию о жидкости дают первые три уравнения. Таким образом, когда мелкомасштабность не имеет большого значения для решения задач, численные методы, основанные на дискретизации уравнений Навье-Стокса, являются на сегодняшний день наиболее простыми, обеспечивающими тем самым оптимальный подход в решении. Неудивительно, что они нашли широкое применение во многих областях.

Для детального моделирования очень сложных течений с мелкомасштабной структурой, таких как горение и турбулентность, следует преимущественно использовать мезоскопические методы. В настоящей работе применяется решеточный метод Больцмана — далее LBM (Lattice Boltzmann method). Причины, по которым был выбран именно этот метод вместо «прямого» решения уравнений Навье-Стокса (например, методом конечных разностей, конечных объемов или спектральным методом), кроются в простоте и эффективности вычислительного метода.

Есть два основных отличия LBM и традиционных CFD методов, которые следует считать преимуществами LBM:

• конвективный оператор в LBM (шаг распространения) линейный в пространстве скоростей, в то время как в решателях Навье-Стокса он квадратично нелинейный. Тем не менее, используя разложение Чепмена-Энскога, с помощью LBM можно раскрыть это нелинейное конвективное поведение;

• существенно различаются процедуры расчета давления: в LBM, оно получается из уравнения состояния, т. е. неявно на основе локальной плотности, в то время как в традиционных СББ методах, давление рассчитывается из уравнения Пуассона. Последний подход сталкивается с вычислительными трудностями в областях со сложной геометрией. Эти две особенности дают ЬВМ его первое преимущество: он приводит к простым явным вычислительным процедурам.

Другим преимущественным аспектом ЬВМ является его численная эффективность. Разные авторы работали над этим аспектом и сделали сравнение с традиционными методами. 8исс1 и др. (1991)[89] изучали развитую двумерную турбулентность и сделали сравнение кода, основанного на псевдоспектральном метод и на ЬВМ на сетке 128×128. Они пришли к выводу, что потребуется 150№ операций с плавающей точкой для ЬВМ кода и (25 ^2М)№ для спектрального кода, где N — число точек решетки и О является размерность задачи.

Это исследование имеет большое значение, потому что, во-первых, оно обеспечивает прямое сравнение между двумя методами для приложения, решение которого псевдо-спектральным методом было признано наилучшим. Он показал также, что общее число операций (№) для ЬВМ увеличивается на константу, в то время как для спектрального метода на логарифм от количества точек. Их исследование показало, что ЬВМ практически в 2,5 раза быстрее, чем для двумерного течения, которое они изучали. Аналогичное исследование было выполнено в работе Чена и др. (1992)[21] для изотропной турбулентности в трехмерном случае и привело к аналогичному выводу: ЬВМ в 2,5 раза быстрее, чем спектральный метод. Очевидно, что при использовании большего количества узлов сетки, разница в эффективности между двумя методами увеличивается в пользу ЬВМ.

В данной работе проведено аналогичное исследование относительно времени счета трехмерной задачи обтекания выступа в форме прямоугольного параллелепипеда при различных входных параметрах и различной размерности. В итоге для числа узлов порядка 200 000 ЬВМ быстрее в 4−6 раз в зависимости от точности, чем классический метод поправки к давлению. Исследование проводилось по фиксированному числу итераций по времени, а так как число итерации всегда было больше, чем для установления процесса, отсюда следует, что на самом деле выигрыш LBM еще больше (в 6−8 раз).

Некоторые другие преимущества LBM возникают в силу его происхождения из кинетической теории. Он имеет преимущества молекулярной динамики (например, есть возможность получения четкого понимания физики процесса и легкость в реализации сложных сил). Задание различных граничных условий осуществляется прямо (по явным схемам). Это очень привлекательное свойство LBM, поскольку применение условия прилипания на границе требует очень мало времени для вычислений. Это имеет ключевое значение при работе с твердыми границами, где так необходим подход эффективного взаимодействия между стенками и жидкостью, как и в настоящей работе (стенки задаются как препятствия в расчетной области). Благодаря своей локальности, метод прост в распараллеливании (нет необходимости в спектральном разложение или в решении уравнения для давления).

Наконец, LBM применим и надежен в различных сложных приложениях, которые себя хорошо зарекомендовали.

Одно из его главных приложений в области вычислительной гидродинамики, где он себя хорошо зарекомендовал — это решение слабо сжимаемых уравнений Навье-Стокса (смотрите Wolf-Gladrow [4], Succi [38], Chen и Doolen [36], Dellar [69, 80]), а также в более сложных задачах, связанных с многофазными и многокомпонентными течениями (смотрите например ShannChen [79], Reis and Phillips [81]).

В 1989 году R. J. DiPerna, P.-L. Lions[93] доказали теорему существования решения уравнения Больцмана в целом и его устойчивость. Поэтому, при использовании решеточных моделей Больцмана, решения дискретных уравнений, аппроксимирующих уравнение Больцмана и являющихся вычислительно устойчивыми, будут сходиться к решению этого уравнения с точностью, соответствующей порядку аппроксимации.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей, основанных на кинетическом уравнении Больцмана, правдоподобно описывающих гидродинамические процессы в водоемах, а также написание программного комплекса, реализующего эти модели для конкретных входных данных.

Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач:

1) Разработка трехмерной математической модели на основе кинетического уравнения Больцмана для расчета полей функции распределения частиц по скоростям, плотности и компонент скорости жидкости в водоеме, учитывающих внешние силы (силу Кориолиса, ветер), сложную геометрию водоема, вязкость, источники и стоки, различный тип граничных условий.

2) Численное исследование устойчивости Lattice Boltzmann методов с помощью анализа Неймана.

3) Построение последовательного и параллельного алгоритмов Lattice Boltzmann метода, а также расчет оценок для ускорения и эффективности для супервычислительной системы ТТИ ЮФУ.

4) Программная реализация построенных алгоритмов на языке С++ при поддержке ОрепМР для многоядерных компьютерных систем и MPI для кластера распределенных вычислений с возможностью графической визуализации результатов при помощи OpenGL.

Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики мелководных водоемов производилось на основе уравнения Больцмана, для которого построены дискретные аналоги в виде Single Relaxation Time и Multiple Relaxation Time Lattice Boltzmann моделей (далее SRT и MRT LBM). В полученных моделях явные схемы для расчета частичной функции распределения на каждом временном слое, а затем по функции распределения вычислялись плотность (аналог давления в LBM) и скорость жидкости. Данные дискретные модели были эффективно распараллелены для:

1) кластерных систем декомпозицией по двум пространственным переменным;

2) многоядерных компьютеров с использованием равномерного распределения вычислений во всех узлах трехмерной сетки между ядрами.

Численные расчеты были реализованы на языке программирования С++ с использованием открытых библиотек параллельного программирования ОрепМР и MPI. Результаты визуализировались и анализировались в одной из написанных автором программ при помощи открытой библиотеки OpenGL.

Научная новизна.

Развитие LB моделей ориентированных на математическое моделирование гидродинамических процессов, обеспечивающих выполнение основных законов сохранения.

Определение областей устойчивости LB моделей, гарантирующих сходимость вычислительных процедур для численного решения задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от областей изменения входных параметров.

Эффективные параллельные алгоритмы численной реализации решеточного уравнения Больцмана для кластерных систем с распределенной памятью и для многоядерных систем с общей памятью и их теоретическое обоснование.

Достоверность научных положений и выводов обусловлена корректным построением и исследованием моделей и проведением численных экспериментов, а также сравнением результатов с известными тестовыми решениями и классическими решениями на основе уравнений Навье-Стокса.

Научная и практическая значимость работы.

Практическое применение полученной математической модели связано с моделированием экологических проблем, возникающих в реальных водоемах, а также прогнозирования их последствий. Комплекс программ, основанный на построенных математических моделях, позволяет производить расчет гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в исследуемых трехмерных областях произвольной геометрии, при заданных начальных и граничных условиях, внешнем воздействии для всевозможных параметров жидкости. Во время расчета одна из программ выполняет онлайн визуализацию картин течений в режимах 2D и 3D отображения, что помогает в принятии решений и мгновенной оценке состояния в исследуемой области. Проведенное сравнение на примере тестовых задач результатов расчетов и эффективностей алгоритмов, полученных с помощью LBM и классических методов CFD, показало: разницу в 5% между полями скорости течения жидкости по одной из оцениваемых нормпревосходство LBM в быстродействии в 4−6 раз и более в зависимости от параметров задачи.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Анализ и выбор граничных условий для методов класса LBM, обладающих свойством консервативности и обеспечивающих возможность проведения численного решения задач вязкой несжшчаемой жидкости с погрешностью не более 2%.

2. Области устойчивости LBM, зависящие от компонент вектора скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана на основе: MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятьюОрепМР технологии для многоядерных ПЭВМ с общей памятью и их теоретические оценки ускорения и эффективности.

4. Комплекс программ, предназначенный как для персональных многоядерных ЭВМ, так и для супервычислительных систем (например, кластер ТТИ ЮФУ), реализующий параллельный алгоритм расчета течений в заданной трехмерной области с помощью LBM и позволяющий отслеживать в режиме онлайн картины течений.

Апробация работы.

Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах:

1. VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов, Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. ТРТУ, Таганрог, 19−20 октября 2006.

2. Международная научно-техническая конференция. Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы (24−29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия).

3. V Всероссийская научная конференция «Экология 2009 — море и человек» (16−18 сентября, 2009, Таганрог, Россия).

4. V Международная конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1−5 июня 2009, Ростов-на-Дону).

5. III Международная научная конференция. СППМиММ-09. (2−7 февраля 2009, Воронеж).

6. IX Всероссийская научная конференция молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и у правление». (2 — 4 Ноября 2011, Геленджик).

7. Научные семинары кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ в 2008;2011 гг.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, из них 4 статьи в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК:

1. Сидоренко Б. В. MRT Lattice Boltzmann метод в моделировании гидродинамики мелководных водоемов. Известия ЮФУ. Технические науки, № 7 2009. Экология 2009 — море и человек. Таганрог, 16−18 сентября 2009, 186 192 стр.

2. Сидоренко Б. В. Моделирование гидродинамики мелководных водоемов на основе SRT Lattice Boltzmann метода. Известия ЮФУ. Технические науки, № 8 2009. Таганрог, 2009, 18−24 стр.

3. Алексеенко Е. В., Сидоренко Б. В., Колгунова О. В., Чистяков А. Е. Сравнительный анализ классических и неклассических моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом. Известия ЮФУ. Технические науки, № 8 2009. Таганрог, 2009, 6- 18 стр.

4. Сидоренко Б. В., Сухинов А. И. Построение дискретной модели гидродинамики мелководного водоема Lattice Boltzmann методом. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 2, 104 110 стр.

В других изданиях:

5. Сидоренко Б. В. Моделирование задач гидродинамики с помощью КСРС. Тезисы доклада. VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов, Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. ТРТУ, Таганрог, 19−20 октября 2006, 225 -227 стр.

6. Сидоренко Б. В. Расчет течений в областях со сложной геометрией на основе квазигидродинамической системы уравнений. Материалы Международной научно-технической конференции. Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы. 24−29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия, 317−321стр.

7. Сидоренко Б. В. Моделирование гидродинамики мелководных водоемов на основе Lattice Boltzmann метода. Тезисы доклада. СППМиММ-09. Материалы III Международной научной конференции. Воронеж, 2−7 февраля 2009 г. Том 1. 113−117 стр.

8. A.I. Sukhinov, E.V. Alexeenko, B.V. Sidorenko, A.E. Chistyakov, F. Dumas, S. Theetten. Comparative analysis of classical models (Mars3d, Azov3d) and Lattice Boltzmann models for shallow water hydrodynamics computations. 19eme Congres Francais de Mecanique. Marseille, 24−28 aout 2009.

9. Сидоренко Б. В. «Математическое моделирование задач гидродинамики мелководных водоемов на основе Lattice Boltzmann уравнения». Тезисы доклада. V Международной конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (Россия, Ростов-на-Дону, 1−5 июня, 2009).

10. Сидоренко Б. В. Исследование устойчивости метода решеточных уравнений Больцмана для мелководных водоемов. Тезисы доклада. IX Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление»: Сборник материалов. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. — Т.2, 187−189 стр.

Зарегистрирован программный продукт «Lattice Boltzmann method 3D for Basins (LBM 3D for Basins)» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2 010 611 337 от 16.02.2010 г.) в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Краткое содержание и структура работы.

Диссертация изложена на 147 страницах, включает в себя 95 иллюстрации, 13 таблицсостоит из введения, 5 глав, заключения, приложения и списка используемой литературы из 93 наименований.

Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту:

1. Анализ и выбор граничных условий в LBM, обладающих свойством консервативности. Метод отскока (Bounce-Back) и метод Zou-He оказались наиболее подходящими для проведения расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, т.к. решения, полученные с их помощью, сохраняют поток массы в моделируемой области с погрешностью не более 2%.

2. Области устойчивости SRT и MRT подходов LBM, зависящие от компонент скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана: 1) при помощи декомпозиции расчетной области по двум пространственным направлениям на основе MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятью- 2) при помощи равномерного распределения вычислений на основе ОрепМР технологии для многоядерных систем с общей памятью. Для этих алгоритмов получены теоретические оценки ускорения и эффективности. Проведенные численные эксперименты на супервычислительной системе ТТИ ЮФУ для 128 узлов показали максимальное ускорение алгоритма 69,2 на сетке 200×200×50.

4. Комплекс программ, позволяющий рассчитывать с помощью LBM и визуализировать в режиме онлайн гидродинамику в задаваемой пользователем трехмерной области для различных входных параметров задачи. Этот комплекс применялся как на персональных многоядерных ЭВМ, так и на супервычислительной системе с распределенной памятью.

5. Численные эксперименты с помощью SRT и MRT подходов для нескольких известных тестовых задач при различных числах Рейнольдса, размерностях задачи, а также с возможностью учета турбулентной модели Смагоринского для вязкости. Данные эксперименты показали преимущества в сходимости разностной схемы MRT подхода над SRT при числах Рейнольдса свыше 1000, а также преимущества применения турбулентной модели для вязкости в SRT подходе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей вычислительной гидродинамики, основанных на решеточном уравнении Больцмана, а также разработке комплекса программ, реализующего параллельные вычислительные алгоритмы используемых подходов и позволяющего визуализировать результаты расчетов. Проведенное исследование показало, что LBM имеет несколько преимуществ над традиционными CFD методами: 1) конвективный оператор в LBM линейный в t> пространстве скоростей, в то время как в решателях Навье-Стокса он квадратично нелинейный- 2) процедура расчета давления в LBM существенно проще — нет необходимости решать уравнение Пуассона как в традиционных CFD методах- 3) показатели вычислительной эффективности и степени параллелизма LBM выше, чем у классических CFD методов.