Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области

В области D = (0, оо) х Q, где О, — неограниченная область R2, рассматривается следующая задача.

Здесь u (t, х) = (щ, и?) и p (t, х) — неизвестные скорости течения жидкости и давление, a tp = ( 1, ^2) — заданные начальные скорости.

Отметим, что в рассматриваемых нами вопросах допустима замена переменных u = z/v, t = г/г/, р = v2q, приводящая систему (0.1) к аналогичной с v = 1.

В последние два десятилетия появилось много работ, посвященных исследованию поведения при t —> 00 кинетической энергии.

Li2 — нормы) течения жидкости в неограниченной области. Качественный ответ о стремлении к нулю кинетической энергии в случае трехмерной задачи Коши был дан в работах Т. Като [1] (для сильного решения) и К. Масуды [2] (для слабого решения). Более того, в работе [1] получена следующая оценка. Если соленоидальный вектор <р принадлежит пересечению Ln (-Rn) П Lr (#n), r G [1, п], и норма ||у?||п достаточно мала, то существует единственное сильное решение задачи Коши (0.1), (0.2), и справедлива ut + (и • V) u = и, А и — Vp, divu = 0,.

0.1) и |i6an= 0, и |1=0= <-р{х).

0.2) оценка ||u (?)||a = 0(t 7), 7 = (n/r — n/a)/2, при a > r, t —ь oo. Здесь и далее причем для, а = 2 и Q = О, соответствующие индексы будут опускаться.

Оценка скорости убывания кинетической энергии для слабого решения та-мерной задачи Коши для системы вида (0.1) была дана в [3, п = 3] и уточнена в [4], [5]. Сформулируем результат работы [4]. Если соленоидаль-ный вектор (р принадлежит пересечению L2(Rn) flLr (Rn), n > 2, г G [1, 2), то существует слабое решение задачи Коши (0.1), (0.2), убывающее точно так же, как и в случае уравнения теплопроводности: ||u (?)|| = 0(t~7), 7 = (та/?—п/2)/2. В [5] такая же оценка установлена для произвольного слабого решения, удовлетворяющего энергетическому неравенству u (t)f + 2"j\Vu (T)fdT<\u (s)\ для s = 0, п.в. s > 0 и всех t > s. В случае задачи во внешности ограниченной области аналогичные результаты получены для г G (1,2) в работах [б, та = 3] и [7, п > 3].

Таким образом, нелинейные слагаемые и давление, участвующие в системе (0.1) не замедляют скорости затухания течения жидкости, обеспечиваемой входящим в систему (0.1) оператором теплопроводности. Конечно, условие прилипания на границе (0.2) вызывает дополнительное замедление течения, однако, судя по приведенным выше результатам, по-видимому, этот эффект не сказывается существенным образом в поведении решения внешней задачи. Хотя нам неизвестно, являются ли упомянутые результаты для внешней задачи точными.

Затухание течения, обусловленное прилипанием жидкости к границе области, заведомо сказывается в случае некомпактной границы. Это подтверждается результатом работы [8]. В частности, для областей вращения вида.

Q (f) = {x:x + x< f2{x3), ®3 > 0}, (0.3) определяемых монотонно неубывающей функцией /(г)? С3(0, оо), такой, что lim f®/f (qr) < оо, | Л + IЛ + IЛ < «о, г > 1, г—>00 при некотором q G (0,1), в этой работе установлены следующие оценки. Определим функцию r (t), t > 0, как обратную к монотонно возрастающей функции г/(г), г > 0. Пусть u (t, x) — сильное решение трехмерной задачи (0.1), (0.2) в области D = (0,оо) х ^(/) с соленоидальной начальной о функцией ip GW^^) tp (x) = 0 |ж| > До, (0.4) удовлетворяющей условию малости из работы [20]. Тогда найдутся положительные постоянные к, А такие, что при всех х € П (/) и t > 1 справедливы оценки u (f,*)| + ||Vp (t)|| < i4iexp (-«r2(0A)i (0−5).

Постоянная к не зависит от начальной функции <р.

Таким образом, скорость замедления течения жидкости, обусловленная прилипанием ее к границе, существенным образом зависит от геометрии неограниченной области.

Отметим, что в работах посвященных исследованию скорости затухания движения вращающейся жидкости, описываемого линейными [25], [26], [27], [28], [29] и нелинейными [30] уравнениями (задача Коши или первая краевая задача в полупространстве), изучается эффект затухания движения жидкости, вызванный ее вращением, а не условием прилипания на границе, как в нашей работе.

Доказательство оценок (0.5) для решения трехмерной задачи в работе [8] существенно опирается на следующий результат Дж. Хейвуда. В [20] для произвольной области Q, п = 3, с границей равномерно класса С3 доказана оценка sup|u (t, x)| = 0[t~l!2) при? —> оо. (Термин «граница равномерно класса С3» (см. 20]) означает существование таких положительных чисел d, b, что для произвольной точки? 6 dQ пересечение дО, П — < d} в местной декартовой системе координат является графиком функции, производные которой до третьего порядка ограничены постоянной b.) В [8] этот результат несколько усилен до следующего.

В двумерном же случае получить ограниченность последнего интеграла без дополнительных условий на начальную функцию затруднительно даже для решения уравнения теплопроводности. Это обстоятельство требует иных технических подходов при решении поставленной выше задачи в двумерной ситуации.

Напомним, что существование и единственность решения «в целом «задачи (0.1), (0.2) в классе L4 доказаны в работе О. А. Ладыженской [17]. В совместной работе Лионса и Проди [18] доказывается теорема единственности слабого решения.

В работе Маремонти [19] при соленоидальных начальных скоростях ср G LP (Q) П Z/2(f2), Р? (1- 2] для решения задачи (0.1), (0.2) в произвольной области ?1 С R2 с границей класса С2 установлены следующие соотношения lluWIk +t½||Vu (t)||L2 +t\ut (t)\L2 = 0(t~a) t 00, a = ! — i.

P 2.

Ve > 0 sup |u (rz, t) = 0{Г²~а+?), a = - - i xeft.

0.6) z€ft.

P 2.

В случае соленоидального начального вектора ip G L (Q) П из последнего соотношения нетрудно получить (0.6).

Целью настоящей работы является получение оценок вида (0.5) в терминах геометрических характеристик неограниченной области Q, имеющей несколько выходов на бесконечность. Частично такая задача решена в работе [22]. В ней для внутренностей парабол fi (a) = {х е R2: |ar2| < я?, > 1} (0.7) при a € (0,½) доказана следующая оценка u (*, z)| < Aiexp (-kt^).

В настоящей работе существенно расширен класс областей, для которых установлена оценка убывания решения (скорости течения жидкости) задачи (0.1), (0.2) при t —> оо. В частности, этот класс содержит все параболы fi (or) с a G (0,1). Доказательство наших результатов отличается от доказательства в трехмерном случае, не опирается на соотношение (0.6) и не использует результатов Маремонти.

Пусть двумерная область Q имеет к выходов на бесконечность, расположенных вдоль лучей S{, то есть имеет вид fi = fiU (U?=1 П),.

0 i где fi, г = 1,.,/- — односвязные непересекающиеся неограниченные об-i ласти, a Q — ограниченная область, не обязательно односвязная. Будем о предполагать, что если выбрать ось Ох направленной вдоль некоторого луча Sj, то область Q расположится в полуплоскости {^i > 0}, причем обi ласти Q, r = {х G Г2: х < г} будут ограничены и односвязны при г > Р (. i г.

Для полной постановки задачи (0.1), (0.2) следует задать потоки через сечения Sf = {х G Q: x = г} областей Q. Мы задаем их нулевыми i i ди gdS = 0, г' = 1,2,.,&.

5tr.

Обозначим через Аг (г) первое собственное значение оператора — А в области Qr с условием Неймана на части ее границы дО, П Q и условием i i Дирихле на оставшейся части границы.

А-(г) = inf{ [ Vv2dx v е C§°(Qr U Q), [ v2dx = 1}, г > Д.

J пг i 0 Jqr i i.

Очевидно, Лг (г), г > Pi, — невозрастающие функции. Выберем нумерацию так, чтобы lim Xdr) = 0, i = l, 2,., s (0.8) и lim Aj® >0, г = s + 1,., к. При этом допустимо равенство s = к. Однако s > 1, иначе, как хорошо известно, решение будет убывать быстрее, чем e~?t.

Легко видеть, что для области Q = QU (ufs+10) выполнено неравенство.

0 г ц = inf{ [ Vv2dx V е [ v2dx = 1} > 0. (0.9).

JQ JQ.

В работах ([45], [46]) предполагалось также существование таких абсолютно непрерывных монотонно неубывающих положительных функций h®, г > 0, i = l,., s, что при г > Pi области и-г-(г) = = г.

Q, r+li^Q, r удовлетворяют следующему условию D. Известно, что для кажг i дой ограниченной области Q с липшицевой границей уравнение (см. [24], а также [23]) divv = g, х в Q, g в L2(Q), / gdx = 0,.

JQ о имеет решение v EW^Q)) удовлетворяющее оценке.

Vv\Q < *Ш9\а.

Условие D заключается в том, что постоянную d в этом неравенстве можно выбрать единой для каждой области Ш{(г), г > Р (.

II’VvH^) < di||^||Wi®, г = 1,., s.

0.10).

В параграфе 2.2. приводятся достаточные условия при которых неограниченная область удовлетворяет условию D. Как следует из теоремы этого параграфа, условие D выполнено, в частности, если области г > Р^ равномерно звездны относительно некоторых шаров Д-. Равномерность означает, что отношения diam u^®/diam В (ограничены постоянной, не зависящей от i = 1,., s и г > Р{. Если Q (a) — область вида (0.7) с некоторым a € (0,1), то, очевидно, области ш (г), г > Р, равномерно звездны при достаточно большом Р, если выбрать 1(г) = га. Поэтому такая область удовлетворяет нашему условию.

Наложим еще на функции следующие условия регулярности. Существуют числа a, qi 6 (0,1) такие, что.

Это условие ограничивает рост функций li® сверху.

В качестве модельных областей будем рассматривать трубчатые области.

В двумерном случае для них мы будем выбирать функции /г-(г) = /((—1)V), г = 1,2, г>0,и предполагать, что они монотонно возрастают и удовлетворяют условию (0.11).

Определим функции t > P{li (Pi), как обратные к монотонно возрастающим функциям r/j®, г > Pj. Очевидно, что г-(£) монотонно возрастая стремится к бесконечности и удовлетворяет равенствам.

0.11).

1(f) = {х6 К", х = (®-1,г')| I х |< f (xi)}.

0.12).

Пусть существует число S G (0,1] такое, что ri-6.

Иш-—- = 0. (0.14).

— тах/г (г).

Г-> 00.

Это условие означает, что самый «широкий рукав» расширяется быстрее чем г1 5. и.

Пусть начальная функция <р из W^(^) является пределом финитных со-леноидальных функций и удовлетворяет условию.

М*Ш < е-" *> Р, г = 1,., 5 (0.15) г с некоторыми положительными постоянными си Р, где Qr = Q Qr. i i i.

Теорема 2.5. Пусть двумерная область Г2 имеет границу равномерно класса С3 и функции U удовлетворяют (0.11), (О.Ц) и условию D, а о соленоидальная начальная функция (р из удовлетворяет условию.

0.15). Тогда существуют положительные числа к, Аг, Т такие, что решение задачи (0.1), (0.2) при всех х € Q и t > Т удовлетворяет оценкам u (i, x)| + ||u (*)|| + ||Vu (t)|| + ||?>2u (<)|| + ||Vp (OII < Агexp (—f 1шп[А-(п (<)/к), к2(п (Щ), (0.16) i где A2 зависит только от (d, b) из определения принадлежности границы равномерно классу С3, Ц^Н, ||Vy?||, а к только от qi и, а из неравенства (0.11) и от d из неравенства (0.10).

В случае, когда области о>г-(г) равномерно звездны, оценку (0.16) можно привести к виду (см. § 2.4.) и (*, ж)| < А2ехр{-Ш min[Zr2(r.(t))]). (0.17) г.

Нам не удалось подтвердить точность оценок (0.16) — (0.17). Затруднительно также непосредственное сравнение их с аналогичными оценками для параболического уравнения, поскольку точность последних устанавливалась лишь для областей с одним выходом на бесконечность. Поэтому в главе 1 результаты по параболическому уравнению второго порядка приводятся в форме, удобной для сравнения с нашими результатами для уравнений Навье — Стокса. Кроме этого, наше изложение содержит элементы новизны в том плане, что расширен класс областей, для которых получены точные оценки решения первой смешанной задачи параболического уравнения.

Пусть Q — произвольная неограниченная область пространства Жп, п> 2, х = Х2, ., хп) Е Еп. Рассмотрим в цилиндрической области D — {t > 0} х Q линейное параболическое уравнение второго порядка: п ut = (°-18) i, j=l.

Коэффициенты уравнения aij (t, x) — измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные 7, Г такие, что для любого вектора у = (у,., уп) 6ln и почти всех (t, х) G D справедливы неравенства п тМ2 < а^ (0Л9) i, j=1.

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (0.18) с начально-краевыми условиями:

U (t, x) xedSl = 0, (0.20).

7(0,х) = ф), ф) е Ь2(П). (0.21).

Начало исследований зависимости скорости убывания решений смешанных задач для параболического уравнения от геометрических характеристик неограниченной области было положено в работах А. К. Гущина [9]-[12]. В них при определенных условиях изопериметрического характера на область получена точная оценка для решения второй смешанной задачи sup |u (£, х) < C\(p\Ll{Si)/v (Vi), v® = mesnQr. x€fi.

Эти исследования были продолжены в работах В. И. Ушакова, А. В. Лежнева, А. Ф. Тедеева [13, 14] для второй смешанной задачи и Ф. Х. Мукминова, JI.M. Кожевниковой [21, 36] для первой смешанной задачи. Известны также результаты для параболических уравнений высокого порядка [15, 16].

Чтобы сопоставить наши результаты для задачи (0.1) — (0.2) с аналогичными для случая параболического уравнения, приведем оценки, полученные для решения первой смешанной задачи в работе [36]. В ней рассматривались трубчатые области вида (0.12), лежащие в полупространстве х > 0, удовлетворяющие следующим требованиям: lim /(г) = оо, (0.22) г-+оо lim r/f® = оо. (0.23) г—к".

Пусть положительная функция /(г), г > 0, удовлетворяет условиям.

1.

1 Г ds lim -— / —т = оо, r->oo In Г Ji f{s).

2. rz+p/ 2 J.

ЗЛ > 0: Ajrr^ > 1, Vzi > 1,.

Jz-p/2 JKS) где z = (z, 0) — центр, p (z) — радиус наибольшего шара B (p, z), лежащего в Q (f).

Пусть существует положительная постоянная Е такая, что при всех г > 1 справедливо неравенство Е f (г) > 1. При этих условиях в работе [36] установлены оценки решения fp{t) mi exp (—K / ds/f (s) I < sup |C/(i, я)| < J1 J хбП Mi exp ^-k! j* ] ds/fis^j.

0.24) с неотрицательной начальной функцией , имеющей ограниченный носитель. Здесь p (t) определена из равенства Рт{р) fijjtj = Ъ гДе рт (?) — радиус наибольшего шара, помещающегося в figПостоянные mi, Mi, К, к положительны.

В первой главе найдены достаточно простые характеристики неограниченной области Q, определяющие для более широкого класса областей, чем в [36], поведение решения задачи (0.18), (0.20), (0.21) при t —ь оо. Для простоты изложения рассмотрим область Q, только с двумя выходами на бесконечность, расположенными вдоль оси Ох. Введем следующие обозначения.

Qba = {х е О, а < xi < Ъ}, Sr = {х eQ |a?i = г}, причем параметры, а = 0 и Ъ = оо могут быть опущены.

Толщиной d (S, I) множества S С Rn1 вдоль прямой I С Mn1 назовем диаметр ортогональной проекции множества на эту прямую. В частности, d (Rn~l) = oo.

Абсолютной толщиной множества S назовем величину d{S) = infd (5,0, где нижняя грань берется по всем прямым. Определим функцию h® = d (Sr), принимающую значения из интервала (0, оо].

Обозначим через B (p, z) = {х G Mn | х — z < р} - шар радиуса р с центром в точке z€ln.

Шар B (p, z), z &euro-Е ОХ 1, будем называть допустимым, если B (2p, z) С, но Ve > 0 B (2p + e, z).

На область мы накладываем лишь одно условие В: существует 9 > 0 такое, что для любого допустимого шара B (p, z), z > Ro выполняется следующее неравенство inf h® < вр, в > 1. zi-p, zi+p].

Легко видеть, что условие 2 из [36] достаточно для его выполнения.

Назовем правой цепочкой шаров B (pi, zl), i = 1, оо-последователь-ность допустимых касающихся шаров, такую, что l¹! — р = Rq, zl+l = zl + Pi + pi+. Она, очевидно, существует. Пусть уг = |zl+1| — Pi+1 — первые координаты точек касания указанной цепочки шаров.

Аналогичным образом определим левую цепочку шаров 21'), г = 1, оо такую что, = |z*|+pz-+A-+b обозначив первые координаты точек касания этой цепочки через у= —|2*'| + Pi.

Пусть отрицательное и положительное числа rf т2 по модулю превосходят Rq и 7*1 € (у8+1,у3], 7*2? [ymi Ут+1) — В качестве геометрических характеристик неограниченной области Г2, определяющих поведение решения задачи (0.18) — (0.21) при tъ оо в цилиндрической области D = {t > 0} х Q, рассмотрим две функции.

1. непрерывную кусочно-линейную N (xi), такую что N (yi) = N (yi) = г;

2. Р*(гъг2) =max{p (ri),/o+(r2)}, где р-(г{) = max {у3 — rh yl — у1'11, г = 1, 2,., 5- }, p+(r2) = max{r2 — ут, yi — у*'1, г = 1,2,., га- }.

Далее ri (t) и г2(£) определим из равенств Ш' N{ri) = Ж' (0'25).

Справедлива следующая.

Теорема 1.3. Пусть область удовлетворяет условию В и пусть ° о 1.

U (t, x) GW 2 (D) — решение задачи (0.18), (0.20), (0.21) с неотрицательной финитной начальной функцией (р (х) с носителем в fif^- Тогда найдутся положительные числа: к, К, зависящие от 7, Г, в, п, и М, М, зависящие от 7, Г, 9, n, ср,^шо при всех t > Т3, х & Q справедливо неравенство.

Miexp («VwUw)) — y (i, x) -Мехр (««йыет») •.

0.26).

Положительная постоянная Т3 зависит от п, Ro. % Как уже отмечалось выше, одно лишь условие 2 из [36] гарантирует выполнение нашего условия В. В работе [36] или более ранней [21] на область накладываются дополнительно условия вида (0.22), (0.23) и еще условие типа 1. Поэтому наши оценки точны для существенно более широкого класса областей, чем в упомянутых работах.

В параграфе 1.4. показано, что трубчатые двумерные области вида (0.12) при 1{(г) = /((—l)V), z = 1,2 удовлетворяют условиям теоремы 2.8., если выполнено условие (0.10) и функции /г (г) монотонно возрастают. При этом оценки (0.16) и (0.26) приобретают единообразный вид (0.17), причем как следует из теоремы 1.З., в параболическом случае эта оценка точна. В частности, когда рукава области Г2 имеют вид ^(аг), 0 < а < a. i < 1, оценка г.

0.17) принимает вид и (/, ж)| < А ехр (—Н1^).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.