Пространство решеток и функции на нем

Работа посвящена изучению аналитических и алгоритмических проблем геометрии чисел и приложениям теории чисел к вопросам приближенного анализа. Рассматриваются структуры метрического пространства на множестве решеток, изучаются аналитические свойства обобщенной гиперболической дзета — функции решеток с помощью вывода асимптотической формулы для числа точек сдвинутой решетки в гиперболических звездных телах, строятся алгоритмы вычисления гиперболического параметра решеток, предлагаются конструкции нормированного пространства и нормированной алгебры на множестве сеток с весами.

Нумерация параграфов общая для всей работы. Определения, леммы, формулы и доказываемые в работе теоремы нумеруются двумя числами, первое из которых — номер главы. Теоремы, приводимые без доказательства, обозначаются буквой. Нумерация констант С (Л) единая для всей работы. Когда формулы переносятся на следующую строку, знак дублируется в начале каждой строки.

Цель работы.

1. Рассмотреть различные способы задания метрики на множестве решеток.

2. Получить асимптотические формулы для количества точек сдвинутой решетки в гиперболическом звездном теле.

3. Получить аналитическое продолжение для обобщенной гиперболической дзета — функции целочисленной и рациональной решеток.

4. Построить и обосновать рекурсивный алгоритм вычисления гиперболического параметра решетки. 5.

5. Построить нормированные пространство и алгебру сеток с весами и метрическое пространство сеток.

6. Выразить норму линейного функционала погрешности приближенного вычисления коэффициентов Фурье на классе Е" через обобщенную гиперболическую дзета — функцию целочисленной решетки.

Объем работы.

Диссертация состоит из предисловия, введения, пяти глав, 21 параграфа, списка литературы из 55 наименований и приложений.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях.

Апробация.

Результаты работы докладывались на III — й Международной конференции «Современные проблемы теории чисел» (Тула, 1996), Международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ» (Тула, 1998), теоретико — числовом семинаре под руководством кандидата физ.- мат. наук Н. М. Добровольского в ТГПУ им. Л. Н. Толстого, теоретико — числовом семинаре под руководством доктора физ.- мат. наук Д. А. Митькина в МПГУ, семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук В. И. Иванова в ТулГУ.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доктору физико — математических наук, профессору В. И. Нечаеву и кандидату физико — математических наук, доценту Н. М. Добровольскому за руководство и помощь при работе над диссертацией, доктору физико — математических наук, профессору Д. А. Митькину за внимание, полезные советы и обсуждение работы. 6.

Актуальность темы

.

Центральное понятие геометрии чисел — решетка — позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел. Так, например, решеткой является множество A (ai,. ., asN) решений линейного сравнения, а • х +. + as • xs = 0 (mod N), (1) а также множество всех целых алгебраических чисел чисто вещественного расширения К степени s поля рациональных чисел Q.

А{к) = {(в (1),., e (s)) | (2) где ZK — кольцо целых алгебраических чисел поля К, и система алгебраически сопряженных чисел.

Как известно (см. [3], стр. 117), общее определение теоретико — числовой решетки в геометрии чисел следующее.

Пусть Ai,., ATO, т < s — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства Rs. Совокупность Л всех векторов вида aiAi +. + где a, j независимо друг от друга пробегают все целые рациональные числа, называется т — мерной решеткой в Rs, а сами векторы Ai,., Ага базисом этой решетки. Если т = s, то решетка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решетки, то, следуя традиции многих изложений (см. [23]), для краткости будем говорить просто о решетках, опуская слово полная. 7.

Множество всех 5 — мерных полных решеток из будем обозначать через РЯ, 8.

На формирование геометрии чисел как самостоятельного раздела теории чисел огромное влияние оказали два выдающихся математика родившихся в России в 60 — ых годах XIX столетия — Г. Минковский и Г. Ф. Вороной.

Основатель геометрии чисел, Герман Минковский, родился 22 июня 1864 года в местечке Алексоты Минской губернии. С 1893 года он профессор университета в Бонне, а с 1894 — в Кенигсберге. Минковский впервые употребил геометрические методы для решения трудных вопросов теории чисел (см. [29]). От геометрии чисел Минковский перешел к работам по теории многогранников и геометрии выпуклых тел (теорема Минковского 1896 г.), где им были получены важные результаты. В частности, доказательство теоремы Дирихле о строении группы единиц конечного расширения поля рациональных чисел существенно упрощается при использовании понятия решетка и теоремы Минковского о выпуклом теле.

Одновременно и независимо от Минковского геометрию чисел разрабатывал Георгий Феодосьевич Вороной. Он родился 28 апреля 1868 года в селе Журавка Черниговской области. С 1907 года Г. Ф. Вороной был членом — корреспондентом Петербургской АН. Его работа «Об одной задаче из теории асимптотических функций «стимулировала развитие современной аналитической теории чисел. В этой работе Г. Ф. Вороной сделал существенное продвижение в проблеме делителей Дирихле, которая на геометрическом языке формулируется как проблема о количестве целых точек под гиперболой х-у = N. Продолжая традиции Петербургской школы теории чисел, Вороной занимался теорией алгебраических чисел, в которой успешно развивал геометрические методы в алебраиче8 ском изложении. Вместо в — мерной решетки он рассматривал систему из й линейных форм от 5 целочисленных переменных.

Работы Г. Минковского и Г. Ф. Вороного дополняют друг друга и являются фундаментом в развитии геометрии чисел.

Важные результаты по теории чисел и геометрии чисел были получены Борисом Николаевичем Делоне ([12]). Основные его труды в этой области относятся к теории неопределенных уравнений 3-й степени с двумя неизвестными, а по геометрии — к теории правильного разбиения пространства, теории приведения квадратичных форм, теории решетчатых покрытий пространства сферами. В более позднее время геометрией чисел занимались Дмитрий Константинович Фаддеев, Александр Васильевич Малышев, Борис Фадеевич Скубенко и другие Российские математики.

Многие задачи геометрии чисел формулируются в терминах сдвинутых решеток, то есть множеств вида Л + х, где Л — решетка, ах — произвольный вектор (точка) из и нормы N (00) = х •. • х8.

Так знаменитая неоднородная гипотеза Минковского состоит в том, что в пространстве В71 для любой унимодулярной решетки Л и любой точки х сдвинутая решетка Л + х содержит точку у — (?/!,.,?/"), для которой.

М = Лг (у) < 2~п.

Гипотеза Минковского была доказана для п = 2 (Минковский), п = 3 (Ремак, 1923 — 24), п = 4 (Дайсон, 1948). Для п > 4 имеется оценка Н. Г. Чеботарева (1934).

М < 2~п/2.

Эта оценка несколько раз уточняласьлучший результат был получен 9.

Бомбьери (1963):

М < (3 + 10~А)г]п ¦ 2~п/2 для п > п0, где г]п —> (2е — 1) 1 при п —> оо.

В середине 60 — х гг. Б. Ф. Скубенко заинтересовался этой знаменитой гипотезой Минковского и в 1972 г. доказал её для п = 5, что по оценке специалистов явилось математической сенсацией. Для доказательства Борис Фадеевич разработал новый метод в геометрии чисел («метод паруса»), который позволил ему доказать гипотезу Минковского сразу для всех п < 5 (см. [40]).

Через несколько лет Б. Ф. Скубенко рассмотрел гипотезу Минковского для больших п ([41]) и получил оценку значительно усиливающую результат Бомбьери.

Среди целого ряда других результатов Б. Ф. Скубенко по геометрии чисел важное значение для приложений теории чисел имеют теоремы переноса, в которых речь идет о связи неоднородных и однородных минимумов унимодулярной решетки, а также теоремы изоляции для алгебраических решеток [43], то есть решеток, подобных решеткам вида (2). Очень интересные работы Б. Ф. Скубенко [44], [45] были посвящены исследованию норменного минимума решетки, то есть величины N (A). В этих работах особую роль играет метрическая структура пространства решеток, критерий компактности Малера и дальнейшее развитие метода паруса. Позднее эти идеи, а также смежные вопросы, нашли отражение в работах М. М. Скриганова [33] - [39].

Для произвольной решетки Л? PRS норменным минимумом ([1]) называется величина inf N (x). (3) ж? Л{0}.

Иногда дают другое определение N'(Л) = N (A)/detA, [27].).

С норменным минимумом тесно связан усеченный норменный минимум или гиперболический параметр решетки, так называется величина.

15]) q (A) — min q (x), (4) яел{о} которая имеет простой геометрический смысл: гиперболический крест К (Т) не содержит ненулевых точек решетки Л при Т < q (A). Гиперболическим крестом называется область.

К (Т) = {? | q (x) < Г}, (5) где q{x) = х •. • xs — усеченная норма ж, и для вещественного х обозначаем х = тах (1, |ж|), ([26], 1963).

Так как тах (1,N{x)) < q (x), то max (l, iV (A)) < g (Л) для любой решетки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что д (А) < max (detA, 1).

В 1957 — 1959 годах вышли первые работы [24], [25] Н. М. Коробова, в которых были применены методы теории чисел к вопросам численного интегрирования кратных интегралов. Выделение класса периодических функций позволило для оценки погрешности приближенного интегрирования использовать методы гармонического анализа и теорию тригонометрических сумм, важный раздел аналитической теории чисел.

Первые результаты по применению теоретико — числовых сеток для вычисления интегралов произвольной кратности были получены в работе [24] для периодических функций, разлагающихся в абсолютно.

11 сходящийся ряд Фурье. В этих работах Н. М. Коробова в связи с изучением погрешности приближенного интегрирования для квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе Е* периодических функций с быстросходящимися коэффициентами Фурье (см. [25]), наверное, впервые встречается частный случай гиперболической дзета — функции решетки для вещественного, а > 1 и решетки, А = А (аь., а5-Ж):, N рз SN (ai ¦ mi + • • • + as ¦ ms) СнЩа) = E -7=——-mi,., ms=—oo v^l ' • • • ' f^s).

6) где.

SN (m) =.

1 при m = 0 (mod TV), О при m ф 0 (mod N), и (a, j, N) = 1 (j = 1 ,., s). При этих условиях detA = N. Здесь и далее означает, что суммирование проводится по всем ненулевым точкам.

Гиперболическая дзета — функция вида (6) встречается в работах многих исследователей. В частности, Н. С. Бахвалов ([2], 1959) доказал оценку.

Ся (АИ < lng (A) + 1) s—1 яЩ а.

7).

Н. М. Коробов ([25], 1959) показал, что для таких решеток / * | IIIе-1 det Л с" (Л|а) «1ВДГ при любом выборе целых а,., а8, взаимнопростых с N.

Были построены алгоритмы нахождения., а8 таких, что.

8).

Ся (Л|а) <С lnsa det Л (det Л) а.

Н. М. Коробов, 1960), н (Аа) —(d tA) a— ^ ^axBajlOB' Коробов).

9) (10).

В общем виде гиперболическая дзета — функция решеток встречается в работах К. К. Фролова [47], [48]. В кандидатской диссертации [47] К. К. Фролов показал, что для любого, а > 1 и произвольной 5 -мерной решетки Л ряд.

•. • х8уа хеА сходится абсолютно.

Рассмотрев алгебраическую решетку вида (2), К. К. Фролов показал, что при I > 1 для решетки Л (?, А) = ?Л (АГ) с сЫ-Л (?, А") — tsdetA (K) справедлива оценка.

Развитие метода К. К. Фролова содержится в работах [4], [5] В. А. Быковского и работах [15], [16], [17] П. М. Добровольского.

Термин «гиперболическая дзета — функция решетки» был введен Н. М. Добровольским в работах [15], [16], в которых получены нижние оценки для гиперболической дзета — функции произвольной вмерной решетки н (Аа) > С (а, в)^ Л)-1 при 0 < ск^ Л < 1,.

Ся (Л|а) > ^(а^^Л^Ьг'-^Л при сЫЛ>1, (12) где С (а, в), С2(сх, я) > 0 — константы, зависящие только от, а и 5, доказана верхняя оценка для гиперболической дзета — функции 5 — мерной решетки.

Ся (ЛН <�С3(а, 5) С!(ЛГ при д (Л) = 1, Ся (Л|а) <�С4(«, 5) д-а (Л)(1п^(Л) + 1)5−1 при д (А) > 1. (13).

Эта теорема является обобщением теоремы Н. С. Бахвалова, то есть обобщением неравенства (7). Из оценки (13) получены различные следствия. В частности, из нее автоматически следует результат К. К. Фролова (11), так как гиперболический параметр д (А^, К)) = при I > 1.

Также Н. М. Добровольским доказана теорема: для любой целочисленной решетки, А и натурального п справедливо представление.

Ся (Л|2п) = —1 + (сЫ, Л)-1? (14) где В2П (х) — полином Бернулли порядка 2п и М (А) — обобщенная параллелепипедальная сетка решетки А. Эта теорема указывает на аналогию между гиперболической дзета — функцией решетки и дзета — функцией Римана, для которой.

С (2 п) = (-1) п-1.

7 Г.

2 «)!

— В.

2 п.

Для гиперболической дзета — функции решетки, А {Ь, К) Добровольским Н. М., Ваньковой В. С., Козловой С. Л. ([18]) была получена асимптотическая формула хи К) Ь) 2 • (^ЬА (К)Г (г 1 Ь-1 ?еЬА (^К) <�н№К)а) — пЛз1)1 Е^р

1п*~2 ае! Л (?, К)' 0.

15) где Я — регулятор поля К ([7]) и в сумме Е («,) |дг (ц,)|» суммирование проводится по всем главным идеалам кольца Zк^.

Гиперболической дзета — функцией (#(Л|а?) решетки Л ([16]) для комплексного аргумента, а называется функция, задаваемая в правой.

14 полуплоскости, а — а + it (а > 1) абсолютно сходящимся рядом х? А.

16).

По теореме Абеля ([51], с. 106) гиперболическую дзета — функцию решеток можно представить в следующем интегральном виде.

Ся (Л| a) = aj ,.

17) где 1)(Т|Л) — количество ненулевых точек решетки Л в гиперболическом кресте К (Т).

Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета — функция решеток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.

Норменным спектром решетки Л называется множество значений нормы на ненулевых точках решетки Л:

Nsp{Л) = {Л | Л = iV (?),? G Л{б}}.

18).

Соответственно, усеченным норменным спектром решетки Л — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках решетки:

Qsp (A) = {Л | Л = q (x), х ел{б}}.

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, т. е.

QSJЛ) = {Ai < Л2 <. < Хк < ¦ ¦ ¦} и lim к = оо. к—^оо.

Очевидно, что.

N (A)= inf Л, q (Л) = min, А = Аь.

Порядком точки спектра называется количество точек решетки с заданным значением нормы. Если таких точек решетки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки Л норменного спектра обозначается через п (А), а порядок точки Л усеченного норменного спектра, соответственно, <?(А).

Из дискретности усеченного норменного спектра вытекает, что гиперболическую дзета — функцию произвольной решетки Л можно представить как ряд Дирихле: оо.

Ся (ЛИ —. .х8)-° = Е д (х)~а =? д (к)ь° =? д (А)А" а. хеА хеА к=1 л еС}ар (А).

20).

Так как ?>(Т|Л) = 0 при Т < ?(Л), то я (Л|а) = «7^ (21,.

Л).

Из равенства (20) следует, что для любого комплексного, а = а + И в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (16), и справедливо неравенство.

Ся (ЛИ|<�С (ЛИ. (22).

Возникает естественный вопрос о продолжении для произвольной решетки Л гиперболической дзета — функции решетки С#(Л|а-) на всю комплексную плоскость. В работах [19], [53], эти вопросы исследовались для PZS — множества всех целочисленных решеток, Р (^8 — множества всех рациональных решеток, РП3 — множества всех решеток с диагональными матрицами. Доказано, что для любой целочисленной решетки Л Е гиперболическая дзета — функция ?#(Л|а) является регулярной функцией во всей, а — плоскости, за исключением точки, а = 1, в которой она имеет полюс порядка я.

Для любой решетки Л? PQS гиперболическая дзета — функция (#(A|cy) является регулярной аналитической функцией во всей, а — плоскости, за исключением точки, а = 1, в которой она имеет полюс порядка s.

Изучено поведение гиперболической дзета — функции решеток на пространстве решеток. В частности, установлено что, если последовательность решеток {Лп} сходится к решетке Л, то последовательность гиперболических дзета — функций решеток (н (Апа) равномерно сходится к гиперболической дзета — функции решетки (#(Л|а?) в любой полуплоскости сг > его > 1.

Другой результат такого типа формулируется следующим образом. Для любой точки, а из, а — плоскости, кроме точки, а = 1, найдется окрестность, а —? < 5 такая, что для любой решетки Л = A (dh., ds) ePDs hmA (H (M?) = (H (A?), причем эта сходимость равномерна в окрестности точки cv.

Получение этих результатов существенно опирается на асимптотическую формулу для числа точек произвольной решетки в гиперболическом кресте.

В случае целочисленной решетки A — Zs вопрос о величине D{T |Л) тесно связан с проблемой делителей Дирихле.

Пусть D (N) = T, i.

D (N) = NnN + (27 — 1) N + 0{VN), (23) где 7 — константа Эйлера.

Для, А — Z2 мы получаем связь с теоремой Дирихле ([51], с.73). Количество точек решетки Z2 в гиперболическом кресте выражается.

17 через сумматорную функцию для числа делителей.

В (гг2) = 4 М + 4?>(*). (24).

В случае Л = Zs мы получаем связь с многомерной проблемой делителей Дирихле ([7], с .117): в (1г8) = ±фквк (г), (25) к=1 где п<�Л.

Л. Дирихле ([14]) был рассмотрен вопрос о поведении среднего значения функции Тк (п) и получена асимптотическая формула. Проблемой уточнения остаточного члена для числа точек решетки Л = ¿-у^, в = 2,3,. занимались Вороной, Ландау, Харди и Литтлвуд, Хис — Браун, Рихер, Ивич, Карацуба, Пантелеева и др. ([б], [26]).

Наряду с классическим направлением уточнения теоремы Дирихле для решетки, А = Zs возникает естественный вопрос об обобщении теоремы Дирихле на случай произвольной решетки А. Этими вопросами занималась А. Л. Рощеня в работах [30], [31], [32].

Серия важных работ по применению теории дивизоров для поиска оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных сеток принадлежит С. М. Воронину и Н. Тимергалиеву (см. [8], [9], [10], [46]). Фактически в этих работах указаны алгоритмы поиска целочисленных решеток с большим значением гиперболического параметра решетки.

Краткое содержание и основные результаты работы.

В § 1 первой главы рассматривается вопрос о связи лучевой функции.

F (x) (см. с. 28) с другими аналитическими определениями звездных тел (см. с. 29).

Пусть Mq (c) — множество непрерывных, невырожденных, строго монотонно возрастающих функций f (x) (точное определение см. с. 31). Для точечного множества.

Tf, a = {х | /(я) < а}, определенного при, а > с и f (x)? Mo ©, доказаны следующие теоремы: Теорема 1.1 При, а > с и f{x)? А/о © точечное множество TftU является ограниченным звездным телом.

Теорема 1.2 Лучевая функция F{x) ограниченного звездного тела Tf)(1 при f (x)? Mo ©, а > с задается равенством.

F (x) =.

О при х = 0.

Далее приводятся примеры гиперболических звездных тел, для которых удается выразить лучевую функцию Г (х) в явном виде.

В § 2 рассматриваются нормы, которые необходимы для одного из способов задания метрики. Два неэквивалентных способа задания метрики приведены в § 3. Доказано, что относительно одного из них пространство решеток является полным, а относительно другого — неполным дискретным пространством.

Теорема 1.4 Для любого, а > 1 и любого Ъ? Л5 ¿-(А1, Л2) — метрика на пространстве РЯ3.

Теорема 1.5 Для любого, а > 1 пространство РЛ8 относительно метрики ра о (Ах, Л2) — неполное пространство изолированных точек.

Теорема 1.6 Относительно метрики р (АьЛг) пространство РЯ8 — полное метрическое пространство.

Вторая глава посвящена вопросу о количестве точек сдвинутой ре—* шетки Л + Ь в гиперболических звездных телах к8 (Т), П1 (т, 3), п2 (Г, ?5, (<г > 0).

Для получения асимптотической формулы в этих трех случаях используется один и тот же метод.

Количество точек сдвинутой решетки Л + Ъ в звездном гиперболическом теле выражается через количество точек решетки Zs в некоторых областях, получающихся с помощью замены переменных, а затем с помощью покрытия каждой целой точки из такой области единичной 5 — мерной областью вопрос о количестве точек сводится к вычислению объема достаточно сложного тела.

В § 5 получены формулы для вычисления объемов гиперболических звездных тел. Доказана теорема.

Теорема 2.1 Пусть, а > 0, тогда для объемов гиперболических звездных тел справедливы соотношения:

У (П 1(Т, а)) = 0 при 0 < Т < Щ •. • а8,.

Т • 2* Е1 ¿-(1пТ — 1па ¦. • а^^^ГСЦ^^а^аи ., а8) п=О га=0 при Т >а ¦. • а8.

У (К*(Т)) =.

0 при 0 < Т < 1,.

5−1.

2* Е.

Т1п" Г п.

1 при Т > 1.

У (П2(Т, 3)).

72=0.

0 при 0 < Т < 1,.

5—1 ГТЛЛ п ГГЛ 5—1—71.

Га8{аь., а8)+2 В Е&bdquo- ^ Е С^-^К., ав) п=0 к=0 при Т > 1.

В § 6 получена асимптотическая формула для количества точек сдвинутой решетки Л + Ь в гиперболическом кресте К8(Т). Доказана следующая теорема.

Теорема 2.2 Для любой решетки Л и для любого вектора Ь при Т > 3 справедливо асимптотическое равенство.

О вир Т «^ — 1 гр

В{-Т I Л+= МЩ — ^ + ¿-¡-«л •(т-л>' г де.

Д1 (Т, Л) = е3 • Т Т • П (я- + 2) + 64 • а! •. • а8.

3=1 и.

— е<63<1, |В4| < 1.

Вывод асимптотической формулы для количества точек сдвинутой решетки Л + Ь в гиперболической звезде П^Т, с?) проходит по той же схеме, что и для гиперболического креста, но с принципиальным отличием.

При получении оценки сверху может оказаться, что объемлющее тело будет либо гиперболической звездой, либо гиперболическим крестом, либо модифицированным гиперболическим крестом, в то время как вложенное тело — только гиперболической звездой. Поэтому для остаточного члена в асимптотической формуле получаем три различные оценки сверху.

Теорема 2.3 Для любой решетки Л и для любого вектора Ь? В? при й> 0 и Т > 3 справедливы асимптотические равенства:

28Тп8~1Т.

1(Т, Сг|Л + 6) = -5А (6) + я -1)! аегл" .

21 еЬА где.

— е • ах + .

— ах) ¦. • - ав) + е • (?1 — сц) •. ггр" а + 1 < с?, 25−1Т1п"-2т, а < ¿-Т< а + 1, 1 п-=1 И, — + 2 — + 2) J ть^т б остальных случаях.

В § 8 получена асимптотическая формула для количества точек сдвинутой решетки Л + Ь в модифицированном гиперболическом кресте П2(Т, с?). Для вывода используется та же схема, что и для гиперболического креста и гиперболической звезды. Отличие состоит лишь в том, что объемлющее тело будет только модифицированным гиперболическим крестом, а вложенным телом будет либо гиперболическая звезда, либо гиперболический крест, либо модифицированный гиперболический крест. В этом случае остаточный член в асимптотической формуле имеет три различные оценки снизу.

Теорема 2.4 Для любой решетки, А и для любого вектора Ъ Е Яв —> —>. при с1 > 0 и Т > 3 справедливы асимптотические равенства:

28Тп*-1Т.

02{Т, с1А + Ъ) = -5А{Ъ) + з — 1)! сЫ-Л с! е1-Л.

22 где + + + ^ + + Т1пв~2Т,.

Д2(тДл, 6) > (Л (а ¦ -!) + №- ах) + ••• + (4 — а8) 82гг {¿-х — сц) ¦. • (й8 — а8) Л—^-ТЫ Т при, а < д,.

Т1п8~2Г при, а = 1 «2)!

1)^1 — а •. • д8 — а8 — е • й — а ¦. • ?8 — а8 • Т 1пв~2 Т в остальных случаях.

В третьей главе доказывается непрерывность обобщенной гиперболической дзета — функции решеток и строится аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета — функции для целочисленных и рациональных решеток. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.1 Для любого, а = о + И в правой полуплоскости ряд Дирихле (н (Л | а, Ь) абсолютно сходится и в полуплоскости, а > сто > 1 равномерно сходится.

Теорема 3.2 Если последовательность решеток {Лп} сходится к решетке А, то для любого вектора Ъ последовательность обобщенных гиперболических дзета — функций решеток (н (Апа, Ь) равномерно сходится к обобщенной гиперболической дзета — функции решетки ?#(Л|а, Ь) в любой полуплоскости, а > а о > 1.

Теорема 3.3 Для любого вектора Ь 6 -К5 и любой целочисленной решетки, А Е PZS обобщенная гиперболическая дзета — функция (#(Л|а, Ъ) является регулярной функцией во всей, а — плоскости, за исключением точки, а = 1, в которой она имеет полюс порядка в.

Теорема 3.4 Для любого вектора Ъ Е Rs и любой решетки A Е PQS обобщенная гиперболическая дзета — функция? д (Аа, Ь) является регулярной функцией во всей, а — плоскости, за исключением точки, а = 1, в которой она имеет полюс порядка s.

Задача о вычислении гиперболического параметра q (A) решетки Л рассматривается в четвертой главе. Параграф 12 посвящен изучению простейших свойств гиперболического параметра, далее в § 13 доказывается теорема.

Теорема 4.1 Для решетки, А решений сравнения х + а ¦ у = 0 (mod N) справедливо равенство q (A) = min где N.

Qk 1 k = 0,., п — 1.

Qk + 1.

Oik+1 = qk+2 + qk+з + i.

— i + IT.

В § 15 построен рекурсивный алгоритм для вычисления гиперболического параметра решетки решений сравнения xq + х ¦ а +. + • as-i + d = 0 (mod N).

Пятая глава посвящена рассмотрению применения теоретико — числовых подходов к вопросам приближенного вычисления линейных.

24 функционалов на некоторых пространствах периодических функций многих переменных.

В параграфе 16 даются необходимые определения и обозначения, связанные с классами функций, сетками и квадратурными формулами, а также в конце § 16 рассматривается вопрос о приближенном вычислении коэффициента Фурье с помощью квадратурной формулы с параллелепипедальными сетками где Длг, т[/] — линейный функционал погрешности приближенного вычисления коэффициента Фурье с (га). Установлена связь между нормой линейного функционала погрешности Даг-Гй[/] на классе и обобщенной гиперболической дзета — функцией решетки. Справедлив следующий результат.

Теорема 5.1 Для нормы линейного функционала погрешности Длг, т[/] справедливо равенство 1 о о.

ЯлГ, га[/]|к° =^Р |ДлГ, т[/]| лг,"й[/]|к° = + Ся (Л I а, т) — (тг •. • т8) а,.

Л = А (ах,., а5, ./V) — решетка решений сравнения, а • х +. + а3 • х8 = 0 (тос! Ж).

25 и.

Ся (Л | а, га) = Е' (Х1 + Ш1 ' • • • • х8 + тзуа хеА обобщенная гиперболическая дзета — функция решетки Л.

Семнадцатый параграф посвящен построению структур линейного пространства и алгебры на множестве всех сеток с весами. Показано, что множество всех сеток с весами ЕТ-^д (см. с. 123) является коммутативной алгеброй с единицей над полем К, где К — поле действительных или комплексных чисел.

Так как каждой сетке с весами (X, р) можно поставить в соответствие линейный функционал М.

9х, р (}{х)) = Е.

3=1 на некотором функциональном пространстве V, то определено вложение пространства ТУ8д сеток с весами в сопряженное пространство V*. В параграфе 18 рассматривается случай V = АР8 (см. с. 136). Исходя из нормы на АР3, получаем норму на АР* и как следствие индуцированную норму на Доказан следующий результат.

Теорема 5.3 оо ш=—оо м.

Е Рз (.

3 = 1.

2тгг (то, ж-).

В параграфе 19 более детально изучается образ пространства сеток с весами в сопряженном пространстве АР* и, в частности, конструктивно доказывается, что — сепарабельное пространство. Структура нормированного пространства сеток с весами позволяет на пространстве сеток задать структуру метрического пространства.

Для частного случая параллелепипедальных сеток доказана важная для первой главы теорема о расстоянии между двумя параллелепипе-дальными сетками.

Теорема 5.5 Для произвольных параллелепипедальных сеток.

-¦} U.

Ml liVi iVi.

Pf (X, Xi) = J2 F (m) ¦ 5N (mQ + ai ¦ mx +. + as! • msi) + m——00.

00 Yl F (rh) •5Nl (rn0 + bi-m1 +. + bsi-msi)m=—00.

2? F{m) • 5N (m0 + a • mi +. + asx • mei) x.

DO x 6Nl (mQ + bi • mi +. + bsi ¦ msi). m=—oo.

В заключении пятой главы рассматривается структура нормированной алгебры сеток с весами. Доказана важная теорема о системе тригонометрических сумм m.

T (m, р) = Ypje2^'^ j=1 сетки (X, р) с весами.

Теорема 5.7 Если (Х, р) — ненулевая сетка, то найдется rh Е Zs такое, что Т (т, р) ф О, из которой выводится следующий результат о вложении алгебры ТУ8д в алгебру линейных операторов L (AFsj{, AFsj{).

Теорема 5.8 Если D (F) = Zs, то отображение (X, р) —"¦ G^x^ алгебры ЕУ5д в алгебру L (AFStK, AFsj<) является вложением.

Интересен результат о норме оператора сеточной свертки.

Теорема 5.10 Норма оператора сеточной свертки вычисляется по формуле а>Н1 = SUP Т (т, р). rhed (f).

Новизна результатов.

1. Предложена новая дискретная метрика на пространстве решеток.

2. Получены асимптотические формулы для числа точек сдвинутой произвольной s — мерной решетки в гиперболических звездных телах.

3. Построено аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета — функции целочисленных и рациональных решеток на всю комплексную плоскость.

4. Доказана теорема о непрерывности обобщенной гиперболической дзета — функции решеток как функции от решеток.

5. Построен рекурсивный алгоритм вычисления гиперболического параметра решетки решений линейного сравнения от s переменных.

6. Предложены конструкции нормированного пространства сеток с весами и нормированной алгебры сеток с весами.

Все результаты работы являются новыми.

1. Акрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям, — В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций. 10. Зап. научн. семин. ЛОМИ 185 (1990), 5−12.

2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вести. МГУ, 1959 N 4 с. 2 18.

3. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

4. Быковский В. А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток // Препринт. Владивосток. 1985.

5. Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов // Препринт. Хабаровск. 1995, с. 1 13.

6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

7. Воронин С. М., Карацуба A.A. Дзета функция Римана. М.: Физ-МатЛит, 1994.

8. Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. N 5, с. 189 194.

9. Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. Т. 59. N 4.150.

10. Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Матем. заметки, 1989, Т. 46, N 2, с. 34 41.

11. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. — Соб. соч. в 3-х томах, Т. I. Киев, Изд во АН УССР, 1952, с. 197−391.

12. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей степени. М.- Л., Труды МИАН, 1940, т. XI.

13. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М JL, Изд — во. АН СССР, 1947.

14. Dirichlet L. Uber die Bestimmung der mitteleren Werte in der Zahlentheorie // Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49−66)-1849. Math. Abh., 69−83.

15. Добровольский H.M. Теоретико числовые сетки и их приложения: Дис.. канд. физ. — мат. наук. — Тула, 1984.

16. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. ВИНИТИ, N 6090−84.

17. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Еf и Щ. Деп. ВИНИТИ, N 6091−84.

18. Добровольский Н. М., Ванькова B.C., Козлова C.JI. Гиперболическая дзета функция алгебраических решеток. Деп. ВИНИТИ, N 2327−390.151.

19. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета функции решеток // Изв. Тул. гос. ун-та Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1996, Т.2, Вып.1, С.77−87.

20. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1996. Т.2.Вып.1, с. 71−77.

21. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып. З, с. 56−67.

22. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решетки в гиперболическом кресте // Матем. заметки, 1998, Т.63. Вып. З, с.363−369.

23. Касселс Дж.

Введение

в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

24. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // Докл. АН СССР, 1957. Т.115, N 6, с. 1062−1064.

25. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов // Докл. АН СССР, 1959. Т.124. N 6, с. 1207−1210.

26. Коробов Н. М. Теоретико числовые методы в приближенном анализе. М.: Наука, 1963.

27. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.152.

28. Коробов Н. М. О теоретико числовых методах приближенного интегрирования // «Историко — матем. исследования». С.- Пб. 1994. Вып. XXXV. с. 285−301.

29. Minkowski Н. Geometrie der Zahlen. Leipzig Berlin, 1896.

30. Рощеня А.JI. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек целочисленной решетки в гиперболическом кресте // Тезисы докладов III-й Межд. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 1996. С. 120.

31. Рощеня А. Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек сдвинутой решетки под гиперболой х • у = N. Тула, 1996. Деп. в ВИНИТИ. N 2743-В-96.

32. Рощеня А. Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек целочисленной решетки в гиперболическом кресте. Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ. N 2087;N-97.

33. Скриганов М. М. Решетки в полях алгебраических чисел и равномерные распределения по mod 1. Препринт ЛОМИ Р-12−88, Ленинград, 1988.

34. Скриганов М. М. Равномерные распределения и геометрия чисел. Препринт ЛОМИ Р-6−91, Ленинград, 1991.

35. Skriganov М.М. On integer points in polygons, Ann. Inst. Fourier, 43, No. 2 (1993), 313−323.

36. Skriganov M.M. Constructions of uniform distributions in terms of geometry of numbers, Prepublication Inst. Fourier (1992), No. 200-Algebra Analiz. 6, No. 3 (1994), 200−230- Reprinted in St. Petersburg Math. J., 6, No. 3 (1995), 635−664.

37. Skriganov M.M. Ergodic theory on homogeneous spaces and the lattice point counting for polyhedra, Doklady RAN, (1996) .

38. Skriganov M.M. Anomalies in spectral asymptotics, Doklady RAN, 340, No. 5 (1995), 597 599- English transl.: Doklady Mathematics, 51, No. 1, (1995), 104 — 106.

39. Skriganov M.M. On the Littlwood Paley theory for multidimensional Fourier series, Zap. Nauchn. Semin. POMI, 226, (1996), 155 -169- English transl.: Journal of Math. Sciences (Plenum Publish. Corporaton).

40. Скубенко Б. Ф. Доказательство гипотезы Минковского о произведении п линейных неоднородных форм от п переменных для п < 5. -В кн.: Исследования по теории чисел. 2. Зап. научн. семин. ЛОМИ 33 (1973), 6−36.

41. Скубенко Б. Ф. К гипотезе Минковского при больших п. Труды МИАН СССР 148 (1978), 218−224.

42. Скубенко Б. Ф. О произведении п линейных форм от п переменных. Труды МИАН СССР 158 (1981), 175−179.

43. Скубенко Б. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени п > 3. В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. научн. семин. ЛОМИ 112 (1981), 167−171.154.

44. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных. В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. научн. семин. ЛОМИ 168 (1988), 125−139.

45. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при п > 3. В кн.: Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. научн. семин. ЛОМИ 183 (1990), 142−154.

46. Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Матем. сб. 1990. Т. 181. N 4, с. 490 505.

47. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис.. канд. физ. мат. наук. — М., 1971.

48. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР 231. 1976. — N 4, с. 818−821.

49. M.N.Huxley, Exponential sums and lattice points II, Proc. London Math. Soc., 66, No. 2 (1993), 273−301.

50. Хинчин А. Я. Цепные дроби. M.: Физматгиз, 1961.

51. Чандрасекхаран К.

Введение

в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

52. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета функции решеток // III — я Межд. конф. «Современные проблемы теории чисел». Тула: ТЕПУ, 1996, стр. 119.

53. Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета функции решеток // Матем. заметки, 1998, Т.63, Вып.4, с. 522−526.155.

54. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета функции решеток и ее аналитическое продолжение// Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып. З, с. 99−108.

55. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток // Тезисы Межд. конф. «Теория приближений и гармонический анализ». Тула: ТулГУ, 1998, с. 90.