Вычислительные модели прогнозирования передвижений, расселения и размещения деятельности

Оптимизация перевозок и размещения деятельности в линейном программировании

Развитие методов математического (прежде всего линейного) программирования и исследования операций^[1] позволило обобщить и решить в общем виде (для любого числа переменных) некоторые задачи размещения, рассматривавшиеся выше (в подпараграфах 2.1.1—2.1.3). Так, модель размещения сельскохозяйственного производства И. Тюиена приобретает следующий вид^[2]:

Xj >0 (у = 1…п); г > 0 (изменяющийся параметр),.

где: S — общее количество пригородной земли (га);у — способ использования земли (у = 1,…, я); Xj — количество земли, используемой у-м способом; г — расстояние до рынка сбыта (км); а_; — разница между валовой выручкой и производственными издержками с 1 га земли, используемой у-м способом; Ь. — транспортные издержки на перевозку урожая с 1 га земли, используемой у-м способом, на расстояние в 1 км.

Учтем, что чистый доход (реализуемый на рынке) с 1 га земли, используемойу-м способом, составит Су = dj-bjr.

При этом считается, что транспортные издержки на реализацию продукции у'-го способа, полученной с 1 га земли, пропорциональны удалению хозяйства от рынка, т. е. равны Ьр

Данная задача является параметрической задачей линейного программирования, где в качестве изменяющегося параметра выступает (?) — расстояние до рынка сбыта¹.

Аналогично модели Лаунхардта-Вебера могут быть обобщены следующей однопродуктовой производственно-транспортной задачей:

где Cj — затраты на производство единицы продукции в пункте г; ^ci + Су = Су — суммарные производственные (с,) и транспортные (су) затраты на производство и доставку единицы продукции из пункта i в пункту; я, — максимально возможный объем выпуска в пункте г; Ь_} — спрос на продукцию в пункте потребления у; х)j — объем поставок продукции из пункта производства i в пункт потребления у.

Считаем, что.

т

Чем больше максимально возможное предложение продукции ().

п /=1.

превышает суммарный спрос (X h) и чем больше дифференциация произ;

М

водственных затрат (c_t), тем шире возможности для оптимизации масштабов производства в каждом из производственных пунктов. Решение этой задачи позволяет удовлетворить имеющийся спрос на продукцию с минимальными издержками на производство и транспортировку.

В теории линейного программирования каждой задаче оптимизации соответствует двойственная ей задача, а поиск оптимального решения предполагает нахождение двойственных оценок, имеющих важный экономический смысл². Так, в рассматриваемой нами однопродуктовой производственно-транспортной задаче условия оптимальности выражаются посредством двойственных оценок следующим образом.

• 1 Граиберг А. Г. Основы региональной экономики: учебник для вузов.
• 2 Takayama A. Analytical Methods in Economics. P. 137—139.

Пусть Uj — оценка i-го пункта производства, V-_} — оценка у-го пункта потребления. В двойственной к рассматриваемой нами задаче имеем следующие соотношения:

Из теории двойственности следует, что неравенство (2.31) выполняется как равенство для каждого положительного значения перевозки в оптимальном решении задачи, т. е.:

Мы видим, что: U*— оценка, характеризующая ренту по местоположению /-го пункта производства в расчете на единицу продукции (т.е. тот максимальный эффект, который получит производитель от выпуска дополнительной единицы продукции в пункте i); V* — полные затраты потребителя из пункта j на приобретение единицы продукции, включая себестоимость продукции (с,), затраты на доставку продукции в пункту (с_(/), а также ренту по местоположению производителя продукции (т.е. удельные затраты производителя от размещения в пункте /, возникающие, например, в связи с арендой или покупкой земельного участка).

Таким образом, К* оказывается ценой продукции в пункте j при оптимальном решении задачи, а удельная (на единицу продукции) рента U* показывает, что весь дополнительный эффект производителя от выпуска дополнительной единицы продукции в пункте / отразится в ставках арендной платы за землю и других расходах, связанных с местоположением производителя.

Поскольку в пункте j по цене V* может потребляться продукция поставщиков из нескольких пунктов производства, получаем равенство (2.32), т. е. производители, выигрывающие от расположения в пунктах с низкими затратами на производство и транспортировку, получат более высокую ренту по местоположению (которую или присвоят себе, или заплатят собственнику земли, или частично выплатят муниципалитету или государству в виде более высоких налогов).

Аналогично производители из пункта / будут поставлять свою продукцию во все пункты, где конечная цена потребителя отличается от их производственных и транспортных издержек на величину удельной ренты по местоположению, т. е.:

Во второй половине XX в. решению задач размещения методами математического программирования было посвящено много усилий экономистов и математиков. Рассмотренные в данном параграфе простые примеры лишь иллюстрируют основные идеи этого направления экономико-математического моделирования. В условиях плановой экономики в СССР строились многопродуктовые производственно-транспортные модели большой размерности, пытавшиеся учесть ограничения на объемы потребляемых ресурсов, включая трудовые, различные виды продукции и используемых технологий. Имеются также многоэтапные и динамические модификации данной задачи, учитывающие несколько стадий переработки сырья (добыча и производство сырья, производство комплектующих узлов и деталей, сборка, удовлетворение спроса на готовую продукцию).

Недостатком оптимизационных моделей размещения является то обстоятельство, что лучшие решения при формализованных в задаче ограничениях, как правило, оказываются нежизнеспособными, так как не учитывают интересы и поведение реальных экономических агентов, не в состоянии учесть все факторы, оказывающие влияние на принятие ими решений о размещении, производстве, поставках и перевозках, а также оказываются очень чувствительными к изменению граничных значений заданных ограничений и других параметров модели, которые в реальной жизни могут изменяться весьма динамично (себестоимость продукции, удельные транспортные издержки, транспортные тарифы и пр.). Чем глобальнее задача размещения, чем больше факторов пытается учесть экономико-математическая модель, тем менее реалистичным оказывается результат. Вот почему многопродуктовые производственно-транспортные модели нашли весьма ограниченное применение даже в СССР, где полученные оптимальные решения задач большой размерности использовались для обоснования крупных программ освоения территорий, создания территориально-производственных комплексов (ТПК) и в других задачах территориального планирования, но эти планы и программы, как правило, реализовывались лишь частично, с большими корректировками, а полученные на основе экономико-математического моделирования оптимальные решения никогда не были осуществлены на практике.

• [1] Takayama Л. Analytical Methods in Economics. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1993.
• [2] ГранбергА. Г. Основы региональной экономики: учебник для вузов. 4-е изд. М.: Изд-воГУ ВШЭ, 2004. С. 209−213.