Решение трехмерной задачи при действии локальной касательной нагрузки

Как показано в подпараграфе 5.2.1, при рассмотрении пространственной задачи для радиально неоднородного цилиндра решение сводится к системам трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций u_mn, v_mn и w_mn. По аналогии с подпараграфом 5.3.3 эти уравнения могут быть сведены к одному уравнению шестого порядка, однако численное интегрирование такого уравнения с использованием формул типа (5.43) требует использования достаточно густой сетки с введением большого количества законтурных точек. Более удобным в данном случае является сведение трех уравнений второго порядка к шести уравнениям первого порядка с последующей численной реализацией методом ортогональной матричной прогонки, рассмотренным в параграфе 4.6.

Поступая аналогичным образом, после ввода вектора неизвестных Y = {и_тп, и'_пт, v_mn, v'_mn, w_mn w’J систему уравнений (5.22)—(5.24) можно представить в виде (4.49), где А и F — соответственно квадратная матрица коэффициентов системы размером 6×6 и вектор правой части длиной 6:

Компоненты матрицы А и вектора F определяются по следующим формулам:

Граничные условия (5.18) на боковых поверхностях цилиндра (г = а, Ь) с учетом выражений (5.19), (5.25) и (5.26) также записываются в матричной форме:

где.

Компоненты матрицы В и вектора ср определяются равенствами.

Ниже в качестве примера рассматривается трехмерная задача расчета радиально неоднородного цилиндра при действии на его внутренней! поверхности локальных касательных нагрузок, распределенных по прямоугольной области, и температурного поля. Такие задачи возникают при расчете термонагруженных конструкций защит АЭС, воспринимающих также передачу вертикальной нагрузки от технологического оборудования. На рис. 5.15 показаны два способа приложения касательной нагрузки — постоянной по высоте прямоугольника 26 (V/, = q°_{) и изменяющейся по параболическому закону (q₂).

Рис. 5.15. Схема нагружения цилиндра касательной нагрузкой.

В окружном направлении нагрузка q прикладывалась периодически с периодом л/4. Благодаря периодичности достаточно рассмотреть интервал в направлении 0 от нуля до 0 = тг/8. Нагрузки <�у, и q₂ представляются соотношениями.

где Zj — z₂ = 26.

В соответствии с формулами (5.20) коэффициенты разложений в ряды Фурье нагрузок q_p i = 1,2, имеют вид.

Здесь.

Величина q была принята равной 1,5q_y при этом интегральное усилие, действующее на цилиндр, в двух вариантах нагружения являлось одинаковым.

Температурное поле в цилиндре описывалось формулой.

(5.45). Из функций g_mn, входящих в ряды (5.21), отличной от нуля была только g₀₀ = 3Ka_n]T (i). Неоднородность материала, обусловленная температурным полем, принималась такой же, как и в осесимметричной задаче (см. рис. 5.10).

В силу симметрии функций f (0, z) относительно среднего сечения цилиндра (г = Я/2) в разложениях нагрузок в ряд Фурье отличными от нуля будут только нечетные члены по п_у а благодаря периодичности по 0 не равными нулю будут члены при m = 0, 8, 16 и т. д. Как было отмечено выше, влияние числа членов рядов Фурье на напряженное состояние проявляется значительно слабее, чем при вычислении нагрузки. В результате анализа было установлено, что для достижения удовлетворительной точности достаточно было принять в расчетах N = 25, М = 96. Расчет проводился при следующих исходных данных: а = 0,75Я; b = Я; Т_а = = 200 °C; Т_ь = 20 °C; г, = 0,4Я; z₂ = 0,6Я; Е₀ = 0,36 * 10⁴ МПа; v = 0,2; а_то = 0,12* 10 ¹ 1/°С; q =100 МПа. Варьировались ширина области приложения нагрузки, определяемая значением 0₍₎, и способ приложения касательной нагрузки.

Размер площади нагружения в окружном направлении определяется углом 0_О. При 0_О = к/4 функции <^(0, г) представляют собой нагрузки, распределенные вдоль всей окружности. В этом случае в цилиндре реализуется осесимметричное напряженное состояние. Сопоставление результатов, полученных для случая осевой симметрии и, но методу решения пространственной задачи, показало практически их полное совпадение.

В результате расчетов было установлено, что напряжения а, и т_;<) существенно меньше остальных компонент тензора напряжений. Напряжения а₀ слабо зависят от угла 0_О, определяющего размер грузовой площади, и близки к значениям для осесимметричного случая (при соблюдении равенства интегральных усилий в направлении оси z). Напряжения х_п полностью определяются граничными условиями, т. е. способом приложения и величиной касательной нагрузки. Наибольшее влияние эта нагрузка оказывает на напряжения а₂, х₀₂ и перемещения w. При этом наибольшие значения напряжений а₂ достигаются в центре, а х_0г — в угловых точках грузовой площади.

На рис. 5.16 приведены эпюры напряжений а₂. Заметно существенное влияние температурной неоднородности. Сравнивая приведенные данные с кривой 3 на рис. 5.12, можно заметить, что в данном случае напряжения о₂ по абсолютной величине больше, чем в случае действия только температурного поля. Учитывая симметрию нагрузки q относительно плоскости z = 0,5Н, следует полагать, что под действием этой нагрузки верхняя часть цилиндра находится в состоянии растяжения, а нижняя — в состоянии сжатия. Исходя из этого может вызвать удивление тот факт, что напряжения v₂(q) при z = 0,5# не равны нулю. Это можно объяснить следующим образом. В горизонтальных сечениях цилиндра от действия нагрузки q возникают продольные силы N и изгибающие моменты М (рис. 5.17), при этом в сечении z = 0,5Н

Рис. 5.16. Эпюры напряжений с_г на внутренней стенке толстостенного цилиндра(г= а):

1 — 0 = 0₀/2; 2 — 0 = 0; сплошные линии — неоднородный материал; пунктирные линии — однородный материал.

Рис. 5.17. Внутренние усилия в цилиндре.

N = 0, а М 5^й 0, что и приводит к появлению дополнительных сжимающих напряжений на внутренней стенке цилиндра.

11а рис. 5.18 показаны эпюры напряжений т_0г на внутренней стенке цилиндра, вычисленные с учетом температурной неоднородности материала для трех значений угла 0_О. Из приведенных графиков видно, что с увеличением 0_О происходит уменьшение этих напряжений. Как отмечалось выше, при 0 = 45° возникает предельный случай — переход к осесимметричному состоянию, при котором т₀₂ = 0. Таким образом, тенденция уменьшения напряжений т₀₂ с ростом 0_О согласуется с физической стороной задачи.

Рис. 5.18. Эпюры напряжений т_9г вдоль внутренней стенки неоднородного цилиндра На рис. 5.19 представлены графики изменения напряжений о, и т_вг вдоль внутренней стенки неоднородного цилиндра для двух способов приложения сдвиговой нагрузки — с/,(2) и q₂(z) (см. рис. 5.15). Из приведенных эпюр напряже;

Рис. 5.19. Эпюры напряжений а_г и т₀₂ в неоднородном цилиндре при 0_О = 13,5°:

1 — Ч = 2 — q = q₂(z)

ний можно сделать вывод, что влияние способа приложения нагрузки на напряжения неоднозначно. Напряжения а, в случае приложения нагрузки по параболическому закону меньше, чем в случае, когда эта нагрузка постоянна, а напряжения т_0г, наоборот, становятся больше.