Элементы теории флуктуаций

Распределение Гаусса

Уже много раз подчёркивалось, что физические величины, характеризующие равновесное состояние макроскопической системы, практически всегда с большой точностью равны своим средним значениям. Однако, как ни малы отклонения от средних значений, они все же происходят (физические величины, как говорят, флуктуируют). Поэтому возникает вопрос о нахождении распределения вероятностей таких отклонений или флуктуаций физических величин.

Рассмотрим некоторую замкнутую систему и пусть F — физическая величина, характеризующая систему в целом или какуюлибо ее часть. Обозначим через х отклонение величины F от своего среднего значения.

Очевидно, что Тот факт, что среднее значение х равно нулю, указывает на случайный характер флуктуаций — равновероятными оказываются отклонения от среднего значения как в сторону больших, так и в сторону меньших значений.

Согласно результатам гл. I распределение вероятностей р (, т) для произвольной физической величины .г пропорционально ее статистическому весу

Так как, по определению эн тропии то В состоянии статистического равновесия х = х = 0, a S (x) принимает максимально возможное значение. Следовательно,.

Величина х при флуктуации очень мала, поэтому, разлагая S (x) в ряд по степеням х и ограничиваясь членом второго порядка малости относительно х, получим.

Подставляя найденное выражение для энтропии в соотношение (7.3), находим

Соответственно, вероятность того, что величина * имеет значение, лежащее в интервале от х до х + dx равна.

Постоянная Л находится из условия нормировки.

Пределы интегрирования в (7.5) должны соответствовать пределам изменения величины х. Хотя отклонения от среднего малы, однако подынтегральная функция в (7.5) очень быстро убывает с ростом jc, поэтому интегрирование в этом выражении можно распространить на всю числовую ось. Тогда

Таким образом, окончательно получаем.

Распределение (7.6) называют распределением Гаусса.

График зависимости р (лг) представлен на рис. 22.

Выясним физический смысл параметра (3. Для этого вычислим среднее значение квадрата флуктуации. Имеем.

Функция р (лг) имеет тем более острый максимум, чем меньше.

х, поэтому естественно величину yjx принять в качестве меры флуктуации. Ее мы во Введении и назвали флуктуацией физической величины х; саму величину л;² часто называют квадратичной флуктуацией х.