Качественное объяснение затухания гравитационных волн

Оценим мощность, поглощаемую в вязкой жидкости, при колебании ее поверхности. Характерным размером выступает длина волны, площадью, амплитуду колебаний будем обозначать аналогично, частоту, амплитуду скорости. Пусть число Рейнольдса мало. Мы взяли характерным размером длину волны, так как в колебательном движении при распространении гравитационных волн вовлекается слой жидкости толщиной порядка .

Рассмотрим уравнение Навье-Стокса. Так как число Рейнольдса мало, пренебрежем инерционным членом. Слагаемое не может быть велико по сравнению, иначе получится стационарная задача. Как известно, затухание обязано последнему члену. Итого поучаем качественное уравнение.

Оценим вклад в диссипацию энергии, превращающийся из кинетической энергии колебаний в теплоту из-за вязкости от области с характерным размером. Энергия движения жидкости, содержащийся в единичном объеме, имеет порядок величины. Изменение этой энергии за 1 с имеет порядок величины:

Используя преобразуем к виду:

Мы можем оценить как, тогда принимает вид:

Коэффициент затухания определяется как отношение диссипируемой мощности к энергии жидкости (все значения для единичного объема жидкости). На основе получаем Подставляя закон дисперсии для гравитационных волн в случае глубокого водоема, находим Итак, коэффициент затухания гравитационной волны пропорционален 4 степени частоты.

Поймем, при каких условиях данная оценка применима. Ясно, что следует потребовать: за период колебаний жидкость диссипировала только малую часть энергии (иначе само понятие волнового движения отсутствует). Формульно это означает где T — период колебаний, который по порядку равен. Подставим в:

Выражая черезс помощью закона дисперсии для глубокого водоема, окончательно находим Это условие ограничивает вязкость жидкости значениями, выше которых гравитационные волны на поверхности жидкости невозможны вследствие мгновенной диссипации энергии волн в теплоту, приводящую к апериодичности колебания.

Что же произойдет в противоположном случае, когда глубина водоема мала. Применение закона дисперсии для мелкой воды приводит к коэффициенту затухания Замечаем, что при этом коэффициент затухания пропорционален не 4-ой степени частоты, а всего лишь 2-ой.

Условие применимости приобретает вид:

При, как и должно быть, совпадают, принимая вид.

А коэффициент затухания, согласно, имеет оценку Отметим, что общее условие того, что волна не затухала за пару периодов: .

Результат справедлив при выполнении условия, (следствие).

— Толщина слоя, в котором происходит поглощение энергии.

Если же, то мощность, диссипируемая в единичном объеме жидкости, определяется оценкой. Пусть сначала при этом. Тогда мощность диссипации, отнесенная к единичной площади дна, порядка. Деля ее на энергию колебательного движения мелкой жидкости, отнесенную также к единичной площади дна, получаем коэффициент затухания для случая, т. е. :

Он обязан трению жидкости о дно. Условие применимости, заключающееся в неравенстве, имеет вид Что уже предполагалось выше.

Если же, то и волна в мелкой жидкости распространяться не может, так как апериодично затухает.