Построение модели сезонности

Теперь предположим, что во временном ряду не наблюдается долгосрочной тенденции, но имеют место периодические изменения. В этом случае модель временного ряда должна содержать в себе либо функцию сезонности, либо функцию цикличности, либо обе эти функции одновременно. При построении функций сезонности и цикличности используются одни и те же методы, поэтому рассмотрим только случай наличия сезонных колебаний. Запишем модель временного ряда.

Для построения функции сезонности S (t) существует множество подходов. Перечислим самые простые из них:

• • вычисление индексов сезонности;
• • использование известных периодических функций;
• • использование фиктивных переменных;
• • использование рядов Фурье.

Как уже отмечалось, функция S (t) является периодической. Оценка периода представляет собой отдельную задачу. Часто период сезонной функции можно определить из постановки задачи. Однако в некоторых случаях требуется применение специальных довольно сложных методов, например, теории спектрального анализа [49]. Изложение этих методов выходит за рамки данного учебника, поэтому будем считать, что период нам известен. Обозначим через Р количество сезонов в периоде. Эта величина определяется спецификой исходных данных или задачами анализа. Например, при рассмотрении ежеквартальных данных по потреблению тепловой энергии становится очевидным, что период сезонных колебаний равен году, а количество сезонов Р = 4. Если же данные по потреблению тепловой энергии представлены за каждый месяц, то период по-прежнему равен одному году, а количество сезонов Р — 12.

Самым простым способом задания функции сезонности является табличный (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Табличное представление сезонной функции S (t)

Традиционно предполагают, что все сезонные воздействия за период взаимоиогашаю гся:

Учитывая это условие и принимая во внимание тот факт, что реальные временные ряды, как правило, имеют ненулевые математические ожидания, вместо модели (7.1) целесообразно рассматривать модель вида.

Первый подход заключается в оценивании сезонных индексов 5. как средних отклонений элементов временного ряда от оценки математического ожидания:

где M_j — множество моментов времени, соответствующих i-му сезону; т_i — количество элементов в множестве М_}; а — оценка математического ожидания временного ряда.

Если вычисленные таким образом сезонные индексы не взаимопогашаются, т. е.

то необходимо перейти к скорректированным индексам:

Второй подход предполагает представление сезонной функции в виде различных линейных комбинаций элементарных периодических функций, например:

После подстановки выражения (7.3) в формулу (7.2) получаем регрессионное уравнение, параметры которого можно оценить методом наименьших квадратов. Трудность заключается в том, что неизвестные параметры входят в полученное регрессионное уравнение нелинейно, что делает непригодными стандартные процедуры МНК, ориентированные на линейные модели.

Суть третьего подхода состоит в использовании набора фиктивных переменных (переменных-индикаторов), включаемых в функцию сезонности:

где 2., /=1,2, …, Р — фиктивные переменные, значения которых определяются по правилу.

Такой подход является, с одной стороны, очень гибким, с другой — достаточно сложным, так как требует привлечения специального математического аппарата для оценивания неизвестных параметров модели (7.4) [9, 27, 68].

Четвертый подход основан на том факте, что любую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье [49, 53]:

С точки зрения формального анализа выражение (7.5) представляет собой разложение функции S (t) в бесконечный ряд по периодическим функциям с частотами колебаний (о_кУ кратными некоторой базовой круговой частоте со₀.

Практическое использование (7.5) предполагает вычисление некоторой частичной суммы ряда, порядок которой определяется исходя из анализа значений так называемых спектральных характеристик изучаемого процесса [49].

Для вычисления коэффициентов разложения (7.5) применяется теория дискретного преобразования Фурье, согласно которой оценки значений сезонной компоненты вычисляются как.

а в качестве оценок параметров разложения используются величины.

Существует большое число модификаций выражения (7.6) [71], применяющихся, например, для ограниченных временных рядов (т < x (t) <�М, т, М = const). В этом случае базовая круговая частота заменяется на На практике большое значение имеет определение числа элементов разложения Фурье для адекватного описания функции S (t). Согласно (7.6) эта величина равна

Очевидно, что реальный период, как правило, оказывается меньше этой величины. Поэтому после построения разложения (7.6) следует привлечь методы спектрального анализа [49, 71] для выделения тех гармоник, которые оказывают значимое влияние на величину S (t).

Преимуществом подхода Фурье следует считать его универсализм, т. е. возможность получения приемлемых результатов для временных рядов любой природы и с произвольными свойствами. К недостаткам можно отнести некоторую громоздкость вычислений и определенные проблемы, связанные с неоднозначностью определения порядка частичных сумм, применяемых для аппроксимации сезонной компоненты.