Характеристики движения. 
Физика: механика, электричество и магнетизм

Движение — процесс изменения положения материальной частицы. Поэтому кроме меры положения необходима количественная мера изменения положения. Такой мерой является перемещение.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки в пространстве и равный Дг = r2 — i*i = r (t + At) — r (t).

В декартовых координатах перемещение можно выразить как Дг = Ах + jAy + кДz.

Перемещение за бесконечно малый интервал времени dt обозначают dr. Направление этого вектора совпадает с касательной к траектории.

Одно и то же перемещение может произойти за разное время, т. е. с разной быстротой. Поэтому необходима количественная мера быстроты изменения положения. Такой мерой является скорость.

Принято различать среднюю и мгновенную скорости.

Средняя скорость равна отношению перемещения Дг, совершён;

*. Дг ного телом за время At, к времени At: v = —.

* At

Направление вектора средней скорости совпадает по направлению с направлением вектора перемещения Дг.

Мгновенная скорость равна пределу отношения перемещения Дг к времени At, за которое произошло перемещение при At, стремящемся к нулю:

Другими словами, мгновенная скорость — это вектор] равная производной от радиуса-вектора по времени. Вс* направлен по вектору dr, т. е. вдоль касательной к траектс В декартовых координатах скорость выражается как Другими словами, мгновенная скорость — это векторная величина, равная производной от радиуса-вектора по времени. Вектор скорости направлен по вектору dr, т. е. вдоль касательной к траектории.

В декартовых координатах скорость выражается как или

где v_х, v, v _z — проекции вектора скорости на оси х, у, z.

Мгновенную скорость можно выразить и так: dr

v = — = xv у где V— модуль вектора мгновенной dt

скорости; т — единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

Таким образом, вектор скорости равен произведению единичного вектора т на модуль скорости.

Скорость может изменяться с течением времени, причём одно и то же изменение может произойти за разное время, т. с. с разной быстротой. Поэтому необходима количественная мера быстроты изменения скорости. Такой мерой является ускорение.

Ускорение — это векторная величина, равная производной от скорости по времени:

или Вектор ускорения направлен, как это видно из определения, по вектору dVy т. е. по вектору приращения скорости.

В СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

Из полученного выражения следует, что ускорение можно представить в виде суммы двух компонент.

Используя естественный способ описания движения, можно записать:

Компонента — т представляет собой производную модуля скоро- di

сти по времени, умноженную на единичный вектор т. Производная модуля скорости по времени показывает, как быстро он изменяется с течением времени. Следовательно, эта компонента ускорения показывает, как быстро изменяется модуль скорости. Направлена эта компонента по вектору т, т. е. по касательной к траектории, и называется тангенциальным ускорением а_х.

. dj

Физическии смысл компоненты —v заключается в следующем.

dt

По условию вектор т является единичным. Следовательно, его модуль не изменяется. Изменяться может лишь его направление.

Это означает, что вектор приращения т, равный dx, направлен так, что единичный вектор т изменяет своё направление, но не изменяет модуль. Такое изменение т возможно лишь в том случае, если угол между т и dx прямой.

Поэтому компонента ускорения —v перпендикулярна касатель;

dt

ной к траектории и отлична от 0, если направление скорости в процессе движения изменяется, т. е. в случае криволинейного движения.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки по дуге окружности (см. рисунок²).

Пусть радиус траектории равен R и пусть модуль скорости в процессе движения не изменяется.

За время At материальная точка совершила перемещение AR. При этом скорость изменила своё направление.

На рисунке бесконечно малое перемещение заменено на конечное.

Переместим вектор конечной скорости v₂ параллельно самому себе так, чтобы совместить начала векторов начальной и конечной скорости.

Треугольники, образованные векторами скорости V|, V₂ и Av, радиусами дуги R и вектором перемещения AR, равнобедренные и имеют одинаковые углы при вершине.

Треугольник, образованный единичными векторами, имеет такой же угол при вершине, поскольку направления единичных векторов совпадают с направлениями векторов скоростей.

Д R Дт Считая угол, а малым, можем записать: а = — = —.

R т.

_тт ^AR AR ,.

Из этого выражения получаем Дт = т — =— (здесь.

R R

учтено, что модуль единичного вектора т равен 1). Разделим последнее выражение на А/ и перейдём к его пределу:

Таким образом, производная — равна отношению модуля скоро;

dt

сти к радиусу кривизны траектории. Направление производной —,.

dt

как уже отмечено, перпендикулярно касательной к траектории.

dxvv²

Следовательно, компонента ускорения —v = n —v = п — (здесь.

dt R R

п — единичный вектор, перпендикулярный касательной к траектории). Эта компонента показывает, как быстро изменяется направление скорости, и она называется нормальным ускорением а" (его также называют центростремительным ускорением).

Окончательно выражение для ускорения тела, движущегося по криволинейной траектории, можно записать в виде.

Модуль полного ускорения связан с модулями нормального и тан генциального ускорений следующим образом: