Обобщённое неравенство Шоттки

При доказательстве теоремы Пикара нам придётся пользоваться неравенством Шоттки в обобщённом виде. По доказанному в предыдущем пункте модуль функции f (z), голоморфной и выпускающей два значения, 0 и 1, внутри круга | z | < R, на круге |, г|г^/?8, заключён между двумя пределами, которые зависят только ог значения функции в центре круга и числа 8, представляющего отношение радиусов наружного и внутреннего кругов. Предполагая ^ |/(0)| покажем, что эти пределы можно считать зависящими лишь от а, р и 8. В этом и будет заключаться нужное нам обобщение неравенства Шоттки.

Для этого, возвращаясь к рассуждениям п. 1, заметим, что наше утверждение будет оправдано, если мы покажем справедливость неравенства:

где F есть вспомогательная функция п. 1, а /(а, р) зависит только от, а и (1. Заметив, что

немедленно получаем:

Обозначим через 1п⁺з число In з, если о>1, и нуль, если а¹. Тогда очевидно, справедливо равенство:

и неравенство Так как

и, следовательно, можно написать:

откуда становится очевидным неравенство:

Получив верхний предел для модуля функции f (z) в круге зависящим лишь от а,? и 0, мы для определения нижнего предела применим полученное неравенство к функции, как это было сделано в примечании к п. 1, замечая, что в данном случае модуль значения в центре заключён между числами и —, Итак, обобщённое неравенство Шоттки формулируется в следующем виде: если f (z) есть функция, голоморфная w выпускающая два значения 0 и 1 внутри круга |г|</?, причём а ^ |/(0) | ^ J, то в круге выполняется неравенство: