Пересечение прямой линии с поверхностью

Для построения точки пересечения прямой линии (АВ на рис. 9.16) с кривой поверхностью (Q) выполняют следующие построения:

заключают прямую линию во вспомогательную проецирующую плоскость, например плоскость Т

строят линию пересечения (CD) вспомогательной проецирующей плоскости Т с заданной поверхностью;

определяют точку пересечения (К) прямой (АВ) с построенной линией пересечения (CD).

С замкнутой поверхностью прямая пересекается в двух и более точках. Если прямая пересекает поверхность в одной точке, то она обычно является касательной к поверхности.

Вспомогательную проецирующую плоскость, проводимую через прямую при построении точек пересечения прямой с поверхностью, стремятся выбрать так, чтобы она пересекала поверхность по линии, простейшей для построения на чертеже. Желательно, чтобы это были прямые или окружности.

Рассмотрим некоторые примеры.

I 1-А**v"*"".

Рис. 9.16 параллелью

Построение точек пересечения прямой линии с цилиндром (рис. 9.17). Для построения точек пересечения прямой АВ общего положения с поверхностью наклонного кругового цилиндра выберем вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по прямым — образующим, параллельным оси.

В соответствии с общим планом решения задачи на рисунке 9.17 выполнены построения в следующем порядке:

прямая АВ заключена во вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра, для чего через проекции т', т произвольной точки М на прямой А В проведены проекции т’п', тп прямой MN, параллельной оси цилиндра. Проекции пересекающихся прямых А В и МN задают на чертеже вспомогательную пло- _{Рис 917}

скость;

построены проекции 3'5 3—5 и 4'6', 4 — 6 линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра. Для этого построена горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью основания цилиндра — плоскостью Я, проходящая через проекции / и 2, найдены точки с проекциями 3, 4 ее пересечения с окружностью основания цилиндра. Искомые проекции линий пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилиндра проходят через проекции 3', 3 и 4', 4 параллельно проекциям оси цилиндра — проекции 3'5 3—5 и 4'6 4 — 6;

Определены проекции к', к и Г, I искомых точек К и L пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра в пересечении проекций 3'5' и 4'6' с а’Ь' и 3—5 и 4 — 6саЬ;

определена видимость для участков прямой А В с учетом того, что цилиндр непрозрачен. Зоны видимости на фронтальной проекции определены по положению горизонтальных проекций точек 3 и 4 цилиндра. При взгляде по стрелке S очевидно, что точки 3, 5 и соответственно образующая 3—5 видимы, а точки 4, 6 и образующая 4 — 6 невидимы. Соответственно на фронтальной проекции отрезок а 'к' проекции прямой видим. Справа от точки к' прямая до точки /'проходит внутри цилиндра и справа от точки Г закрывается цилиндром, т. е. невидима. На горизонтальной проекции образующие 3—5 и 4—6 видимы, невидимая часть прямой А В — отрезок к/.

Рис. 9.18.

Построение точек пересечения прямой линии с конусом

(рис. 9.18). Чертеж конуса с проекциями вершин s, s' и прямой с проекциями a’b', ab приведен на рисунке 9.18, а. Для построения точек пересечения прямой и конуса используют вспомогательную плоскость. Плоскость, проходящая через вершину конуса и заданную прямую (плоскость Р на рис. 9.18, в), пересекает конус по образующим. Плоскость Р пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, являющейся в данном случае горизонталью. Образующие, по которым плоскость Р пересекает конус, определяются вершиной S и точками 1 и 2. На этих образующих и получаются точки М и N, в которых прямая пересекает поверхность конуса.

На рисунке 9.18, б плоскость /'задана проекциями a’b ab прямой АВ и проекциями s’c', sc прямой, в данном случае горизонтальной, проведенной через вершину 5, пересекающей прямую АВ в точке С и параллельной плоскости основания конуса. Плоскость Р пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, параллельной SC. Построив проекции d' и d, проводим de || sc. Образующие, по которым плоскость Р пересекает поверхность конуса, изображены лишь горизонтальными проекциями s—1 и s—2. В пересечении их с горизонтальной проекцией ab найдены горизонтальные проекции тип точек пересечения, а по ним проекции т' и п'. На горизонтальной проекции отрезок прямой между точками М и N закрыт поверхностью конуса. На фронтальной проекции образующие S—1 и S—2 видимы. Следовательно, невидимый отрезок прямой А В находится только между проекциями т' и п'.

Построение точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 9.19). Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Искомые точки Ки L получаются при пересечении этой окружности прямой линией. На рисунке 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций S выбирают параллельной вспомогательной, например горизонтально-проецирующей плоскости R (/?/,). В этом случае линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью сферы проецируется на плоскость S в окружность с центром с" с которой проекция аД прямой линии пересекается в точках к, и l_s. По ним строят горизонтальные к и / и фронтальные к'и /'проекции искомых точек пересечения.

Зоны видимости участков прямой А В. На фронтальной проекции точки К (к') и L (/') видимы (они на передней полусфере). Следовательно, видимы в проекции лучей а’к' и 1'Ь' прямой. Между точками к' к Г сфера закрывает прямую. На горизонтальной проекции видимым является луч lb прямой (точка L находится на верхней полусфере). Слева от проекции / горизонтальная проекция прямой закрыта сферой.

Построение точки пересечения прямой линии с тором (рис. 9.20).

Построение выполняют, руководствуясь общим правилом. В качестве вспомогательной плоскости выбирают, например, горизонтально-проецирующую плоскость R (/$,).

Построение проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью тора начинают обычно с построения проекций характерных точек /' /— крайней левой и 2% 2 — крайней правой и 3 3 — высшей точки. (Характерные точки линии пересечения — это высшие и низшие точки по отношению к плоскости Я; ближайшие и наиболее удаленные точки по отношению к наблюдателю; точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой; точки, лежащие в плоскости симметрии; точки пересечения трех поверхностей — при наличии трех и более пе- ^{Рис 9 20} ресекаюшихся поверхностей.) Для.

построения проекции 3' проводят горизонтальную проекцию параллели тора, касательной к плоскости /?, и на ее фронтальной проекции находят проекцию 3' Проекции промежуточных точек линии пересечения, например точки 4 4, 5', 5, находят с помощью параллели, проходящей через точку с проекциями к', к. Построенные фронтальные проекции точек соединяют плавной кривой линией, точки пересечения которой т' и п' с фронтальной проекцией а’Ь' прямой А В являются фронтальными проекциями искомых точек пересечения прямой А В с поверхностью тора. По ним в проекционной связи строят горизонтальные проекции тип точек пересечения. Невидимый отрезок MN прямой А В проведен штриховой линией.

• 1. Как строят линию пересечения поверхности плоскостью?
• 2. По каким линиям пересекаются цилиндр вращения плоскостями?
• 3. В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого вертикальна, фронтально-проецирующей плоскостью, проецируется на профильную плоскость проекций в окружность?
• 4. В чем заключается общий прием построения линии пересечения конической поверхности плоскостью?
• 5. Как надо провести плоскость, чтобы пересечь коническую поверхность по прямым линиям?

• 6. Какие кривые получаются при пересечении конуса вращения плоскостями?
• 7. Как строят малую ось эллипса, получаемого при пересечении конуса вращения плоскостью?
• 8. Как строят развертку боковой поверхности конуса вращения?
• 9. По каким линиям сферу пересекает любая плоскость и какие могут быть проекции этой линии?
• 10. В чем заключается способ построения сечения тора плоскостью?
• 11. Как должны быть направлены плоскости, пересекающие тор по окружностям?
• 12. Что мы понимаем под названием «кривая (линия) среза»?
• 13. В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью?
• 14. Как провести вспомогательную секущую плоскость при пересечении конуса прямой линией, чтобы получить на поверхности конуса прямые линии?