Частные случаи уравнений II порядка

Рассмотрим частные случаи уравнений II порядка, допускающих «понижение» порядка, т. е. случаи, когда уравнение II порядка приводится к интегрированию двух уравнений первого порядка.

Правая часть не содержит и.

(1).

Положим. Тогда и .

Получили уравнение первого порядка.

Отсюда или .

Имеем опять уравнение первого порядка или.

Получили общее решение уравнения (1).

Правая часть уравнения не содержит.

(2).

Положим, тогда для z имеем уравнение .

Пусть его решение будет. Следовательно, .

Отсюда .

Это общее решение уравнения (2).

Пример. .

Положим, тогда и его решение .

Следовательно, и.

или — общее решение уравнения (2).

Правая часть не содержит х.

(3).

Положим и будем считать z функцией y.

Тогда. Итак, .

Подставляя это в уравнение (3), получим:, т. е. уравнение первого порядка относительно z. Решив его, будем иметь или .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Отсюда .

Это общий интеграл уравнения (3). Пример. .

Положим, тогда или. Отсюда или или — общее решение.

Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.

(1).

и соответствующее ему однородное.

(2).

где и — постоянные коэффициенты.

Найдем общее решение уравнения (2).

Будем искать решение уравнения (2) в форме .

Тогда .

Подставляя это в уравнение (2), получим: .

Но так как, то.

(3).

Это уравнение по отношению к уравнению (2), называется характеристическим.

Если функция есть решение уравнения (2), то должно быть корнем характеристического уравнения (3).

Рассмотрим три возможные случая:

корни уравнения (3) вещественны и различны.

корни вещественны и равны.

корни комплексные сопряженные.

1 случай. и действительны.

В этом случае функции и будут решениями уравнения (2). Так как их отношение, то эти решения линейно независимы и, следовательно, они составляют фундаментальную систему. А поэтому общее решение уравнения (2) в этом случае будет.

(4).

Пример.

Характеристическое уравнение будет .

Его корни. Общее решение будет .

2 случай. Корни равны .

В этом случае имеем пока только одно решение. Покажем, что вторым решением будет. Действительно,.

Подставим это в левую часть уравнения (2), тогда получим.

.

так как есть корень уравнения (3), и потому, что. А это значит, что есть решение (2), что и требовалось доказать.

Итак, мы имеем два решения и. Они линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общий интеграл будет .

Пример.

Характеристическое уравнение. Корни .

Общее решение .

3 случай. Корни комплексные сопряженные.

Следовательно, имеем два комплексных линейно независимых решения .

Общее решение будет .

Ясно, что иметь вещественное общее решение надо считать и комплексными числами. Выразим и по формулам Эйлера, тогда.

Положим здесь. Тогда .

Поэтому .

Таким образом, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, уравнение (2) имеет два линейно независимых вещественных решения .

Общее решение .

Пример.

Общее решение .