Моделировании метода Монте-Карло

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования Предположим, требуется вычислить определённый интеграл Рассмотрим случайную величину, равномерно распределённую на отрезке интегрирования. Тогда также будет случайной величиной, причём еёматематическое ожидание выражается как где — плотность распределения случайной величины, равная на участке .

Таким образом, искомый интеграл выражается как.

.

Но математическое ожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем точек, равномерно распределённых на, для каждой точки вычисляем. Затем вычисляем выборочное среднее:

.

В итоге получаем оценку интеграла:

Точность оценки зависит только от количества точек .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как.

и суммируем их площади.