Коэффициент корреляции. 
Эконометрика

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида (3.12).

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи К от Л' является коэффициент регрессии />|, ибо, как уже было отмечено, он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется К, когда X увеличивается на одну единицу. Однако Ь зависит от единиц измерения переменных. Например, в полученной ранее зависимости он увеличится в 100 раз, если мощность пласта X выразить не в метрах, а в сантиметрах.

Очевидно, что для «исправления» Ь как показателя тесноты связи нужная такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую систему единиц. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной ее среднее квадратическое отклонение s.

Представим уравнение (3.12) в эквивалентном виде:

В этой системе величина.

показывает, на сколько величин s_y изменится в среднем Y, когда X увеличится на одно s_x.

Величина г является показателем тесноты линейной связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).

Две корреляционные зависимости переменной Y от Л' приведены на рис. 3.2. Очевидно, что в случае а зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б, так как точки корреляционного поля а дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б.

Рис. 3.2.

Если г > О (Ь > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если г < О (Ь < 0), — обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой.

Учитывая (3.13), формулу для /* представим в виде:

Отметим другие модификации формулы /*, полученные из формулы (3.18) с помощью формул (3.7)—(3.10), (3.13)—(3.15):

Для практических расчетов наиболее удобна формула (3.20), так как по ней г находится непосредственно из данных наблюдений и на значении г не скажутся округления данных, связанные с расчетом средних и отклонений от них.

Выборочный коэффициент корреляции г (при достаточно большом объеме выборки п) так же, как и коэффициент корреляции двух случайных величин (§ 2.5), обладает следующими свойствами.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [—1; 1], т. е. -1 1.

Чем ближе Ы к единице, тем теснее связь.

• 2. При r—± 1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии (рис. 3.3).
• 3. При г = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Ох (рис. 3.4).

Рис. 3.4.

Рис. 3.3.

Следует отмстить, что мы ввели выборочный коэффициент корреляции г исходя из оценки близости точек корреляционного поля к прямой регрессии У по X. Однако г является непосредственно оценкой генерального коэффициента корреляции р между X и У лишь в случае двумерного нормального закона распределения случайных величин Л" и К В других случаях (когда распределения Хи К отклоняются от нормального, одна из исследуемых величин, например X, не является случайной и т. п.) выборочный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.

? Пример 3.2.

По данным табл. 3.1 вычислить коэффициент корреляции между переменными Хи Y

ю Решение. В примере 3.1 были вычислены х, = 94;

/=1.

• 10 10 10
• ?xf =908; =68, ^х,^, — =664. Вычислим сумму

/=i 1=1 /=1.

• 10
• 2>Г=5²+1(Я+10- +72 +₅2 +62 +б² + 5² +6² + 8² =496.

/=1.

По формуле (3.20) т. е. связь между переменными достаточно тесная. ?