Устойчивые распределения. 
Высшая математика: математический аппарат диффузии

Со статистической точки зрения, распространение диффузанта в ходе классического броуновского движения в бесконечной однородной среде описывается нормальным (гауссовым) распределением, у которого все статистические моменты (в том числе — математическое ожидание и дисперсия) конечны. Однако, обнаруженные к настоящему времени многочисленные отклонения от классической диффузии (большой и несимметричный разброс данных, тяжёлые хвосты, острые вершины и т. п.) требуют привлечения для своего описания более широкого класса распределений. Были попытки использовать такие распределения, как скошенное t- Стыодетна, обобщенное распределение ошибок и т. д. Однако эти распределения не обладают устойчивостью к суммированию и не существует предельных теорем, согласно которым они могут выступать пределами сумм одинаково распределенных случайных величин. Лучшие результаты при описании процессов аномальной диффузии дают устойчивые распределения, в которых (если исключить гауссово распределение) математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна. Перспективным считается применение устойчивого скошенного распределения Леви, которое описывает широкий класс распределений, устойчивых к суммированию, но способных в некоторых параметризациях иметь тяжёлые хвосты и быть несимметричными. Кроме того, этот класс распределений является подклассом безгранично делимых распределений, которые могут быть пределами сумм одинаково распределенных случайных величин.

Замечание. Крылья статистического распределения принято называть «хвостами», которые могут быть обычными (значение вероятности быстро убывает по экспоненциальному закону; пример: распределение Гаусса), но могут быть тяжёлыми (медленное спадание по степенному закону). В теории вероятности, распределения с тяжелыми хвостами — распределения, чьи хвосты спадают не экспоненциально, т. е. они имеют более тяжелые хвосты, чем экспоненциальное распределение. Обычно имеется ввиду правый хвост распределения, но распределение может иметь тяжелый левый хвост, или оба тяжёлых хвоста. Есть три важных подкласса с тяжелыми хвостами распределений: распределения с толстыми хвостами, длиннохвостые распределения и распределения субэкспоненциальные. Все широко используемые распределения с тяжёлыми хвостами относятся к классу субэкспоненциальных. Длиннохвостые распределения являются тяжёлохвостными, но обратное неверно. К тяжёлохвостным распределениям относятся распределения Парето, логнормальное (хвост спадает медленнее, чем по экспоненте, но быстрее, чем по степенному закону), Леви, Вейбула, логгамма, логкоши и др. Распределение с толстым хвостом — распределение вероятностей, обладающее большой асимметрией или островершинностью, чем распределение Гаусса. Плотность вероятности при х-*оо изменяет;

р ос jr~^(l+a)

ся по закону ^v, а>о, где, а — параметр распределения Леви. Толстое распределение, в отличии от нормального, отклоняется от среднего на пять и больше стандартных отклонений (правило 5-сигм), имеют меньшее максимальное значение, т. е. повышается вероятность редких событий. Толстые распределения (все устойчивые распределения, за исключением нормального распределения) имеют «неопределенную сигму» (дисперсия не ограничена). Если экспериментальные данные, подчиняющиеся толстому распределению обрабатывать с использованием нормального распределения, то рассчитанная сигма окажется сильно заниженной по сравнению с истинной.

Случайная переменная X устойчива, если четыре реальных параметра а (параметр устойчивости), 0 (параметр асимметрии), у (параметр масштабирования), 6 (параметр сдвига) такие, что их характеристическая функция имеет каноническую форму.

Устойчивое распределение — распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин. Например, линейная комбинация двух случайных выборок описывается тем же распределением с поправкой на среднее и на масштабирование. Семейство устойчивых распределений иногда называют алъфа-устойчивъьчи распределениями Леви.

Замечание. Важность устойчивых распределений обусловлена тем, что они — «аттракторы» нормированных сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин. Согласно классической центральной предельной теоремы нормированной суммы множества случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсией, стремится к нормальному распределению при росте числа переменных. Если у распределений дисперсии бесконечны, то их суммы стремятся к устойчивому распределению.

Устойчивые распределения вероятностей образуют семейство непрерывных распределений, управляемых четырьмя параметрами:

• — ае (о, 2] -характеристическая экспонента (параметр устойчивости), определяющий асимптотику распределения при а<2 (задаёт степенной закон убывания хвостов, т. е. высоту хвостов); максимальное возможное значение а=2, при этом возникает нормальное распределение, для которого у=а²/2). Параметр, а обратно пропорционален параметру Хёрста, т. е. a=i/H/.
• —0е[—1, i] - параметр асимметрии (скошенность, определяющая степень асимметрии распределения: при 0=о распределение симметрично, например, распределение Гаусса); Оимеет разные знаки для а*1 и а=1.

Параметры, а и 0 задают форму распределения.

Замечание. В математической статистике параметр асимметрии (skewness) принято обозначать р, однако при рассмотрении уравнений с дробными производными, производную по координате также обозначают (}. При совместном использовании этих двух теорий возникает изрядная путаница. Поэтому в данной книге скошенность распределения обозначена буквой 0.

• —уб[о, ос) — мера дисперсии (ширины) распределения, горизонтальный масштабраспределения, у>о (в распределении Гаусса ст²=2у²);
• -6рЕ/?(-оо, <�") — параметр местоположения (локализации, сдвига), в некоторых конкретных ситуациях совпадающий со средним значением (математическое ожидание, ц), медианой или модой.

Дополнительный параметр п — номер способа выбора параметров (часто применяются два способа параметризации, так что п=о или l). В параметризациях п=о и п=1 параметры а, 0, у одинаковы. Различаются только величины параметра локализации 6*. Параметр п используют как индекс. Характеристические функции всегда существуют, тогда как плотности распределений в аналитической форме известны лишь для распределений: Леви, Кошии Гаусса.

Дифференциальное распределение плотности вероятности {pdf) обычно аналитически не выражается (за исключением некоторых частных случаев при определённых значениях параметров), интегральное распределение плотности вероятности (cdf)(за исключением некоторых случаев) не определено. Среднее р определено при а>1, в остальных случаях нет, медиана равна р при 0=о, в других случаях аналитически не выражается. Дисперсия равна 2у²— в остальных случаях бесконечна. Параметр асимметрии 0=0 при а=2, в других случаях неопределён. Радиус кривизны в моде (островершинность) равен о при а=2, в остальных случаях неопределён. Энтропия аналитические не выражается за исключением нескольких случаев). Все устойчивые распределения бесконечно делимы, за исключением нормального распределения (а=2) стабильные распределения островершинны и имеют тяжёлые хвосты. Устойчивое распределение может быть представлено в виде ряда Тейлора.

Рис. 2. Плотности устойчивых распределений: а — симметричные астабильные распределения, 0=1, y=i, 6=о: а=2,о (l), 1,5 (2), 1,0 (3), 0,5 (4); б — несимметричные распределения с одинаковым масштабным фактором, а=о, 5 (1), у=1, 6=0: 0=о, о (1), 0,25 (2), 0,50 (3), 0,75 (4), 1,0 (5).

Рис. 3. Устойчивые распределения в двойном логарифмическом масштабе: а — симметрично центрированные устойчивые распределения, демонстрирующие степенной закон поведения при больших х. Важная особенность — степенной закон на хвосте распределения о чём свидетельствует появление прямолинейного участка для больших х, с наклоном, равным -(a+i) (единственным исключением является черная кривая для а=2 — нормальное распределение), 0=0, у=1, 5=0: a=2,o (1), 1,5 (2), 1,0 (3), 0,5 (4); б — скошенное центрированное распределения: степенной закон поведения для больших х наклон линейной части равен -(a+i), 01=0,5, 7=1″ 5=о: 0=0,0 (1), 0,25 (2), 0,5 (3), 0,75 (4), i"o (5).

Устойчивые распределения определяются интервалом значений параметра о распределение переходит в дельтафункцию Дирака б (л:-р).Если дисперсия приращений координат становится бесконечной, то в одномерном случае функция распределения смещений может быть только степенной и определяться двумя параметрами: а, и 0. При а<1 функция распределения приращений координат блуждающей частицы имеет не только бесконечную дисперсию, но и бесконечно большую среднюю величину. И хотя невозможно найти устойчивые средние для каждой из частиц в отдельности, средние значения плотности частиц в заданной точке пространства остаются устойчивыми переменными и имеют привычный физический смысл.

В классической модели диффузии дисперсия длины пробега является конечной величиной, что означает наличие в среде характерного масштаба. Если приращения координат происходят через одинаковые промежутки времени и функция приращений имеет конечную дисперсию, изменение со временем плотности пространственного распределения частиц описывается классическим уравнением диффузии, а крылья распределения спадают по экспоненциальному закону. При а>1 математическое ожидание всегда существует. Параметр, а определят какого порядка статистические моменты существуют}' величины: чем он ближе к двум, тем больше распределение похоже на нормальное, при а=2 распределение Гаусса и только в этом случае у него существуют моменты больших порядков. В случае a=i, 0=о — распределение Коши (дисперсия бесконечна), а в случае а=о, 5, 0=1 — симметричное сх-распределение Леви. В случае а<2 дисперсии не определены, для a<2 асимметрия, как третий центральный момент, не определена (распределения вообще не имеют моментов выше первого). В случае 0=0 характеристическая функция растянута в экспоненту; при а<1 и 0=1 интервал параметров [6, со]. Аналитических выражений для плотностей распределения вероятности не существует (за исключение трёх случаев); среднее (и медиана) р имеет смысл, только при0=о, в других случаяханалитически невыражается; мода =р, если 0=о, в противном случае аналитически невыражается; дисперсия а=2у², если а=2, в противном случае бесконечна; асимметрия р=о при а=2, в противном случае не определена;, эксцесс =0 при а*=2, в противном случае не определён. Свойство всех стабильных распределений: для любого, а стабильное pdf — одномодально и имеет колоколобразную форму; их п-ная производная имеет точно п нулей.

Следующие устойчивые плотности распределений представляются в элементарных функциях:

— распределение Гаусса (a=2, 0=о), N (p, a²)=S (2,o, a/>/2, р), все моменты конечны, среднее (параметр сдвига) ц, дисперсия а²=2у²:

— распределение Коши (a=i, 0=о), С (у, м)=5(1,о, у, р), дробные моменты порядка меньше 1, параметр сдвига ц, параметр масштабирования у:

• — распределение Леви-Смирнова a=i/2,0=-i/2, д:>о;
• — a-распределение Леви с a=i/2, 0=1, Levy (у, р) =5(о, 5,1,у, ц), Леви распределение, параметр сдвига р, параметр масштабирования у;
• — распределение Ландау с а=1 и 0=1;
• — распределение Холыдмарка а=з/2 и 0=о параметр сдвига ц, параметр масштабирования у.

В пределе при стремлении уи, а к нулю распределение приближается к дельта функции Дирака 6(лг-р).

Устойчивые распределения с экстремальными значениями параметра асимметрии (0=±i) называются чрезвычайно устойчивыми; онипри 0<�а<1 с 0=-1 или 0=+1 односторонни.