Двумерные уравнения теории ноля

Ряд задач физики и техники описываются уравнением.

В частности, уравнение (3.120а) используется при решении задач о течении жидкости, переносе тепла, кручении упругого стержня, нахождении электростатического поля и т. п.

Применим метод Галеркина к решению этого уравнения в случае задачи переноса тепла. В этом случае Я — коэффициент теплопроводности, ер — температура, Q — источник тепла внутри тела (Q >0, если тепло подводится к телу) и, например, на некотором участке границы происходит конвективный теплообмен, что дает граничное условие.

на этом участке. Здесь И — коэффициент теплопередачи.

Интерполяционная функция (р является кусочно-линейной, поэтому интегралы в (3.126) можно представить суммой соответствующих интегралов для отдельных элементов:

Неизвестные функции cp^x] в уравнении (3.127) определяются соотношениями

• — f N^{u, 1} Q‘" 'dA — f лГл'" '¹]' ——di U (l (3.127)
• 7*> i

Найдем теперь интегралы для отдельного элемента. При этом будем опускать верхний индекс (е) во всех обозначениях матриц элементов, исключая случай, когда необходимо различать два разных элемента.

Рассмотрим первый интеграл в (3.127). С учетом (3.128), получим Введя обозначение.

перепишем этот интеграл в форме.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Неизвестная функция <�р в уравнении (3.131) определяется следующей формулой: поэтому.

Подставляя полученные формулы в первый интеграл (3.126), имеем.

Рассмотрим третий интеграл в уравнении (3.126).

Предположим, что мы имеем ряд треугольных элементов вдоль вертикальной границы (рис. 24) и хотим вычислить интеграл.

вдоль этой границы.

Поток тепла вдоль границы соответствует тепловым потерям, вызванным конвективным теплообменом, и представляется величиной

где (p_s — температура границы тела, а щ — температура окружающей среды.

Рис. 24. К выводу третьего интеграла в уравнении (3.126) Температура внутри элемента.

Этот интеграл отличен от нуля по той стороне треугольника, на которой — * 0. Это имеет место на граничной стороне, через которую.

дп

проходят тепловые потери, вызванные конвективным теплообменом. Этот поток тепла представляется величиной h (cp —

Q), что на граничной стороне дает

С учетом (3.143) для интеграла (3.142) получится.

причем интеграл здесь вычисляется вдоль той стороны треугольника, через которую идет конвективный теплообмен (рис. 25).

Рис. 25. Конвективный тетообмен через сторону i-j Вычислим сначала интеграл

Пусть конвекции подвержена сторона между узлами / и j.

N_k = 0 вдоль этой стороны и интеграл сводится к следующему выражению:

Воспользуемся L-координатами и положим Применив формулу (3.99), получим для стороны /у.

Аналогичные формулы можно получить и для сторон j к к k i. Найдем теперь интеграл.

и используя Производя вычисления для той же стороны ij

L-координаты, получим:

Вычислим, наконец, последний интеграл в (3.127):

Предположим, что величина Q постоянна внутри элемента. Тогда будем иметь.

Итак, все интегралы, входящие в (3.137) для каждого элемента, вычислены.

После этого необходимо вычислить матрицы для каждого элемента и объединить их в ансамбль, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

Получение такой системы и ее решение — весьма трудоемкие процедуры. Для их выполнения, как правило, необходимо систематическое использование высокопроизводительных ЭВМ и современного специализированного программного обеспечения.