Классическое определение вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события: «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из п приобретенных билетов» денежно-вещевой лотереи — обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.

Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно таким стало, необходимо определить его количественно.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т. е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами¹. При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн» (ибо любую вероятностную задачу для рассматриваемого испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов).

Случай называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события Л.

Согласно классическому определению вероятность³ собъппия, А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему_у к общему числу случаев, т. е.

Р (А) = ~, (1.1).

п

где Р (А) — вероятность события А; т — число случаев, благоприятствующих событию А; п — общее число случаев.^[1][2]

[> Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов — выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все п = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т. е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А — «появление четного числа очков» благоприятствуют 3 исхода (случая) — 2, 4 и 6 очков. По формуле (1.1).

Классическое определение (точнее, классическая формула) вероятности (1.1) долгое время, с XVII вплоть до XIX в., рассматривалось действительно как определение вероятности, так как в то время методы теории вероятностей применялись в основном к азартным играм, которые сводились к схеме случаев, или в задачах, которые искусственно сводились к этой схеме. В настоящее время формальное определение вероятности не дается (это понятие считается первичным и не определяется, а при его пояснении используют понятие относительной частоты события (см. параграф 1.3)).

Поэтому классическое определение (классическую формулу) вероятности (1.1) следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей для испытаний, сводящихся к схеме случаев.

Отметим свойства вероятности события.

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т. е.

3. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

? Свойства очевидны, так как Р (А) = т/п, а число т благоприятствующих случаев для любого события удовлетворяет неравенству 0 < т < п, для достоверного события равно п (т = п) и для невозможного события равно нулю (т = 0). ?

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются соответственно практически невозможными или практически достоверными событиями.

• [1] В литературе события, А и, А называют также взаимно-дополнительными, а событие Аотрицанием или дополнением события А.
• [2] В теоретико-множественной трактовке (см. параграф 1.12) такие исходы называютэлементарными событиями. ^ Для вероятности события, А в литературе используется также обозначение Рг (А)(сокращение слова probability (вероятность)).